2020赣州石城中学高三下学期第二次（线上）考试数学（理）试题含解析

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石城中学2020届高三下学期第二次（线上）考试 理科数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题范围：高考范围 下次周考范围：高考范围 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设集合，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A． B． C． D． 3．若复数是纯虚数，则的值为( ) A． B． C． D． 4．如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，若正实数，满，则的最小值是（ ） A．1 B． C．9 D．18 6．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（ ） A． B． C． D． 7．（错题再现）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（ ） A． B． C． D． 8．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（　） A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年 9．如图所示，边长为2的正方形ABCD中，E为BC边中点，点P在对角线BD上运动，过点P作AE的垂线，垂足为F，当最小时， （ ） A． B． C． D． 10．（错题再现）过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点，若则曲线的离心率为（ ）． A． B． C． D． 11．利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下： (1)以O为圆心制作一个小的圆； (2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD； (3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)； (4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数，两个等式：对任意的实数均恒成立，且上单调，则的最大值为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.） 13．若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数，则________. 14．_______ 15．二项式的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若，则含的项为_____． 16．定义在R上的函数满足，又当时，成立，若，则实数t的取值范围为_________． 三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知函数的定义域为，集合. （1）若，求实数的值； （2）若，使，求实数的取值范围. 18．某地种植常规稻和杂交稻，常规稻的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为，变为3.90元/公斤的可能性为，变为4.00的可能性为.统计杂交稻的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近10年杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如图②. （1）根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值； （2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率； （3）①判断杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程； ②调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻和杂交稻中选择，明年种植哪种水稻收入更高？ 统计参考数据：，，，， 附：线性回归方程，. 19．如图所示，在四棱锥中，平面平面， ， ， ． （1）求证： ； （2）若二面角为为，求直线与平面所成的角的正弦值． 20．已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆的左、右焦点，以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上，且． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：． 21．设函数. （Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数； （Ⅱ）证明：当时. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）当时，求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于两点，直线的倾斜角，点为直线与轴的交点，求的最小值． 选修4-5：不等式选讲 23．已知，，且. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)证明：.  一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设集合，则下列结论正确的是（ B ） A． B． C． D． 【解析】B 由，得或，则，选B. 2．命题“，”的否定是（ B ） A． B． C． D． 【解析】B 全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可. 3．若复数是纯虚数，则的值为( C ) A． B． C． D． 【解析】 C 根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 4．如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ A ） A． B． C． D． 【解析】A 的最小值就是圆心（0，-2）到平面区域的最小值减去圆的半径，由图可得圆心（0，-2）到平面区域的最小值是，所以的最小值为. 5．已知函数，若正实数，满，则的最小值是（ A ） A．1 B． C．9 D．18 【详解】A 因为，所以， 所以函数为奇函数，又若正实数满，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选A 6．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（ C ） A． B． C． D． 【解析】C 分析：由市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题可知事件总数包含的时间长度是121，而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55，两值一比即可求出所求． 详解：如图，时间轴点所示，概率为 故选C. 7．（错题再现）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（ B ） A． B． C． D． 【详解】B 将名教师和名学生共人平均分成个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数，每个小组恰好有名教师和名学生包含的基本事件个数，所以每个小组恰好有名教师和名学生的概率为，故选B． 8．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（C　） A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年 【解析】C 由题意，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1994年是甲戌年，则1777的天干为丁，地支为酉，故选：C． 9．如图所示，边长为2的正方形ABCD中，E为BC边中点，点P在对角线BD上运动，过点P作AE的垂线，垂足为F，当最小时， （ D ） A． B． C． D． 【详解】D 依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示）， 在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D. 10．过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点，若则曲线的离心率为（ A ）． A． B． C． D． 【详解】A 设双曲线的右焦点为，则的坐标为． 因为曲线与有一个共同的焦点，所以曲线的方程为． 因为， 所以， 所以为的中点， 因为O为的中点， 所以OM为的中位线， 所以OM∥． 因为|OM|=a，所以． 又，， 所以． 设N(x,y)，则由抛物线的定义可得， 所以． 过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为， 在中，由勾股定理得， 即， 所以， 整理得，解得． 故选A． 11．利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下： (1)以O为圆心制作一个小的圆； (2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD； (3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)； (4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（C ） A． B． C． D． 【详解】C 设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，则.因为大圆半径R=4，所以，在正四棱锥中，如图所示， . 所以 记，所以令， 易知，时，取最大值，所以小圆半径为时，V最大。故选C. 12．已知函数，两个等式：对任意的实数均恒成立，且上单调，则的最大值为 （ A ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】A 因为两个等式：对任意的实数x均恒成立，所以的图象关于直线和点对称，所以，因为，所以.因为在上单调，所以，所以，由选项知，只需要验证. 1.当时，，因为对任意的实数x均恒成立，所以，因为，所以，所以，可以验证在上不单调， 2.当时，，因为对任意的实数x均恒成立，所以，因为·所以·所以，可以验证在上单调， 所以w=1.故选A. 填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.） 13．若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数，则________. 【详解】 是等差数列， 是等比数列， ， ， . 故答案为：. 14．_______; 【详解】 ==． 15．二项式的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若，则含的项为_____． 【详解】 依题得，所以n=8，在的展开式中令x=1，则有，所以a+b=2，又因为展开式的通项公式为，令.所以得到（舍），当时，由得.所以令，所以，故填. 16．定义在R上的函数满足，又当时，成立，若，则实数t的取值范围为_________． 【详解】 由，令，则，所以为奇函数.因为当时，成立，所以当时，成立，所以在上单调递增，所以在R上单调递增.因为， 即为， 所以，所以，所以. 故答案为： 三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知函数的定义域为，集合. （1）若，求实数的值； （2）若，使，求实数的取值范围. 【解析】（1）；（2）或. 试题解析： （1）， 因为，所以；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由已知得：，所以或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．某地种植常规稻和杂交稻，常规稻的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为，变为3.90元/公斤的可能性为，变为4.00的可能性为.统计杂交稻的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①.统计近10年杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如图②. （1）根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值； （2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率； （3）①判断杂交稻的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程； ②调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻和杂交稻中选择，明年种植哪种水稻收入更高？ 统计参考数据：，，，， 附：线性回归方程，. （1）3.9；（2）0.104；（3）①；②选择种杂交稻收入更高. 【详解】 解：（1）设明年常规稻的单价为，则的分布列为 ， 估计明年常规稻的单价平均值为3.9（元/公斤）； （3分） （2）杂交稻的亩产平均值为： . 依题意知杂交稻的亩产超过795公斤的概率， 则将来三年中至少二年，杂交稻的亩产超过795公斤的概率为： . （6分） （3）①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近， ∴可以判断杂交稻的单价与种植亩数线性相关， 由题中提供的数据得：， 由得， ∴线性回归方程为， （10分） ② 估计明年杂交稻的单价元/公斤； 估计明年杂交稻的每亩平均收入为元/亩， 估计明年常规稻的每亩平均收入为元/亩， ∵，∴明年选择种杂交稻收入更高. （12分） 19．如图所示，在四棱锥中，平面平面， ， ， ． （1）求证： ； （2）若二面角为为，求直线与平面所成的角的正弦值． 【解析】试题分析： (1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有. (2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为. 试题解析： （1）中，应用余弦定理得 ， 解得， 所以， 所以. （2分） 因为平面平面，平面平面， ， 所以平面，又因为平面， 所以. （5分） （2）由（1）平面， 平面， 所以. 又因为，平面平面， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即. (7分） 因为， ， 所以平面. （9分） 所以是与平面所成的角. （10分） 因为在中， ， 所以在中， . （12分） 20．已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆的左、右焦点，以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上，且． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：． 【解析】 试题分析：根据题意列方程，利用待定系数法解方程求出椭圆的标准方程，第二步设出点P的坐标，满足椭圆方程作为条件（1），写出直线AP、BP的方程，表示点M、N的坐标，得到和 的长的表达式，两者相乘，代入条件（1）并化简所得的积，化简后恰好为. 试题解析： （1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程为． （4分） （2）由（1）及题意可画图，如图，不妨令．设，则． 令，得，从而； （5分） 直线的方程为， 令，得，从而． （7分） 所以 ． （10分） 当时，, 所以,综上可知． （12分） 21．设函数. （Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数； （Ⅱ）证明：当时. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式. 试题解析：（Ⅰ）的定义域为，. （1分） 当时,，没有零点； （2分） 当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点. （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为， 当时，; 当时，. 故在单调递减，在单调递增， （8分） 所以当时，取得最小值，最小值为. （9分） 由于， 所以. 故当时，. （12分） 22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）当时，求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于两点，直线的倾斜角，点为直线与轴的交点，求的最小值． (1) 直线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为．(2) 【详解】 （1）直线的普通方程为； （2分） 曲线的直角坐标方程为． （5分） （2）将直线的参数方程（为参数），代入圆的方程， 得，化简得， （7分） 易知，设所对应的参数分别为，则 则， （8分） 所以． 当时，取得最小值． （10分） 23．已知，，且. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)证明：. 详解：（1）设 由，得. 故 . （2分） 所以. 当时，，得； 当时，，解得，故； 当时，，解得，故； 综上，. （5分） （2） ， ， . （10 3.703.904.000.10.70.2