苏科版八年级数学上学期期中检测A卷-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（苏科版）

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苏科版八年级数学上学期期中检测A卷 考试范围：第1章-第3章； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据全等图形的判定方法分析解答． 【详解】解：①两个图形的周长相等，这两个图形不一定全等； ②两个图形的面积相等，这两个图形不一定全等； ③能够完全重合的两个图形，这两个图形一定全等． 正确的有③， 故选：B． 【点睛】此题考查了全等图形的判定，熟练掌握全等图形的判定定理是解题的关键． 2．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（2022·吉林吉林·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为196，则AB长为（    ） A．13 B．14 C．16 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为196， ∴， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴， ∴， ∴AB=14， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确理解题意得到是解题的关键． 4．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长为（　　） A．23cm B．28cm C．13cm D．18cm 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得到AD=CD，将△ABC的周长表示成△ABD的周长加上AC长求解． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，AE=CE=5cm， ∴AC=10cm， ∵△ABD的周长是18cm， ∴AB+BD+AD=18cm， △ABC的周长=AB+BD+CD+AC=AB+BD+AD+AC=18+10=28cm． 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 5．（2022·吉林·前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学八年级阶段练习）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（    ） A．如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90° B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形 C．如果，那么△ABC是直角三角形 D．如果，那么△ABC是直角三角形 【答案】A 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：A、如果 a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意； B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意； C、如果 a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意； D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 6．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，点C在线段上，于点于点，且，点P从点A开始以的速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，同时停止运动．过分别作的垂线，垂足分别为．设运动的时间为，当以三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（    ）s． A．1 B．1或2 C．1或 D．1或或 【答案】C 【分析】需要分三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解． 【详解】解：当点在上，点在上时， 以，，为顶点的三角形与全等， ， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， 以，，为顶点的三角形与全等， ， ， ， 综上所述：的值为1或． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知直角三角形的两条直角边长分别是5和12，则斜边长为___________． 【答案】13 【分析】根据勾股定理可直接计算求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别是5和12， ∴斜边长为， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______． 【答案】95° 【分析】根据两个多边形全等，则对应角相等，利用四边形内角和为360°即可求解. 【详解】∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′ ∴∠D=∠D′=130゜ ∵四边形ABCD的内角和为360゜ ∴∠A=360゜-∠B-∠C-∠D=95゜ 故答案为：95゜ 【点睛】本题考查了多边形全等的性质、多边形的内角和定理，掌握多边形全等的性质是关键． 9．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）如图，点D在BC上，AB=AD，∠B=∠ADE，添加适当的条件能使△ABC≌△ADE，则添加的条件是____________． 【答案】 【分析】根据题意条件可知，△ABC和△ADE有对应一组等角和一组等边，结合判定两个三角形全等的方法，若，即可根据AAS方法来判定三角形全等． 【详解】解：添加一个条件，理由如下， 在△ABC和△ADE中 则△ABC≌△ADE（AAS） 故答案为： 【点睛】本题考查的是添加条件使三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 10．（2022·福建福州·八年级期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则的度数为______°． 【答案】90 【分析】求出BC，AC和AB的长，利用勾股定理证明△ABC是直角三角形，得到∠BAC=90°，即可得到结果． 【详解】解：由图可知：BC=5，AC=，AB=， 且满足， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴∠BCA+∠ABC=90°， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，解题的关键是证明△ABC是直角三角形． 11．（2022·河南周口·七年级期末）如图，，点B和点C是对应顶点，若AB=8cm，AD=3cm，则DC=________cm． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的性质，可得AB=AC，AD=AE，根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵△ABD≌△ACE，点B和点C对应， ∴AB=AC，AD=AE， ∴AB-AE=AC-AD即CD=BE， 已知AB=9，AE=4， ∴CD=BE=AB-AE=9-4=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 12．（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部的点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数是_____． 【答案】90°##90度 【分析】根据折叠的性质可得，再由FH平分∠BFE，可得，再由∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∵FH平分∠BFE， ∴， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠1+∠2=90°，即：∠GFH=90°． 故答案为：90°． 【点睛】此题主要考查了翻折变换以及角平分线的性质，解决问题的关键是根据翻折的方法得到∠1和∠3的关系，根据角平分线的性质得到∠2和∠4的关系． 13．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 _____________． 【答案】10 【分析】根据绝对值和平方都是非负数，得到m－2＝0以及n－4＝0，求出m，n的值．再分别讨论以m为腰以及以n为腰的情况，根据三角形三边关系判断等腰三角形△ABC腰的长，进而得到周长． 【详解】由题可知，│m－2│≥0，． 又∵， ∴m－2＝0，n－4＝0， 解得m＝2，n＝4． 因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论： ①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4， 因为2＋2＝4，所以此时不满足三角形三边关系； ②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4， 此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：＝4＋4＋2＝10． 故答案是10． 【点睛】本题主要考查三角形的基本概念，平方与绝对值的非负性，牢记平方及绝对值的性质求出m，n的值是解题的关键． 14．（2021·四川凉山·八年级期中）已知：如图，点P为∠MON内一点，点P与点A关于ON对称，点P与点B关于OM对称，若AB长为15cm，则△PCD的周长为_______． 【答案】15cm 【分析】根据轴对称的性质得到AD=PD，PC=BC，据此求解即可． 【详解】解：∵点P与点A关于ON对称，点P与点B关于OM对称， ∴AD=PD，PC=BC， ∴△PCD的周长=PD+CD+PC=AD+CD+BC=AB=15cm， 故答案为：15cm． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 15．（2022·江苏·八年级专题练习）如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为__________． 【答案】10 【分析】将正方体上表面如图展开（见详解），根据两点之间，线段最短，即可得到：连接PQ的线段是P到Q的最短路程，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：将正方体上表面展开，如图所示， ∵PB＝AB＝6，AQ＝2， ∴BQ＝6+2＝8， ∴PQ＝＝＝10． ∴蚂蚁爬行的最短路程10． 故答案为：10． 【点睛】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键. 16．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，点D为AB边上一点且不与A、B重合，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．△DEF为等腰三角形时，∠ACD=__________． 【答案】15°或30°或60° 【分析】当△DEF为等腰三角形时，分四种情况讨论，三角形的外角性质以及等腰三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：△DEF为等腰三角形时， 根据折叠变换的性质可得∠A=∠E=40°，∠ACD=∠ECD， ①当DF=DE时，∠E=∠DFE=40°，如图， ∴∠CFB=40°， ∵∠B=50°， ∴∠FCB=90°，显然不符合题意； ②当EF=DE时，∠E=40°，如图， ∴∠EDF=∠EFD==70°， ∴∠CFB=70°， ∴∠ACF=70°-40°=30°， ∴∠ACD=15°； ③当EF=DF时，∠E=∠FDE=40°，如图， ∴∠DFE=180°-40°-40°=100°， ∴∠ACE=100°-40°=60°， ∴∠ACD=30°； ④当点E在线段AB上侧时，DE=EF，如图， ∵△ACD沿CD翻折得到△ECD， ∴∠CAD=∠CED=40°， ∴∠EDF=∠EFD=20°， ∴∠ADC=∠EDC==80°， ∴∠ACD=180°-40°-80°=60°； 故答案为：15°或30°或60°． 【点睛】本题主要考查折叠变换、等腰三角形、三角形的外角性质，解题关键是分类讨论求解． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD=1m，AD=15m，请求出立柱AB段的长度． 【答案】立柱AB段的长度为9米 【分析】延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG=CD=1 m，GC=AD=15 m，设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：延长FC交AB于点G， 则CG⊥AB，AG=CD=1m，GC=AD=15m， 设BG=x m，则BC=（26-1-x）m， 在Rt△BGC中， ∵BG2+CG2=CB2， ∴x2+152=（26-1-x）2， 解得x=8， ∴BA=BG+GA=8+1=9（m）， ∴AB的长度为9m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键． 18．（2021·广西贵港·八年级期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且ABD≌EBC． （1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长； （2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）1；（2）AD⊥CE，见解析 【分析】（1）由全等三角形的性质可得BE=AB=2，BD=BC=3，再利用线段的和差可得答案； （2）先利用全等三角形的性质与邻补角互补求解∠ABD＝∠EBC＝90°，从而可得，再证明从而可得答案. 【详解】解：（1） ∵△ABD≌△EBC，AB＝2，BC＝3， ∴BE=AB=2，BD=BC=3， ∵点E在BD上， ∴DE=BD-BE=3-2=1； （2）AD与CE所在直线的位置关系为AD⊥CE. 理由如下：如图，延长交于 ∵点A，B，C在同一直线上，且△ABD≌△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴，    ∴ ， ∴AD⊥CE. 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握“全等三角形的对应边相等，对应角相等”是解题的关键. 19．（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． (1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴． (2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． (3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可； （2）根据要求画出图形即可； （3）根据要求画出图形即可． （1） 如图①中，直线m即为所求； （2） 如图②中，图形即为所求； （3） 如图③中，图形即为所求． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，，． (1)求证：△ABC ≌△DFE； (2)若BF＝12，EC＝4，求BC的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段和差可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据线段和差可得，从而可得，再根据即可得． （1） 证明：， ， ， ，即， 在和中，， ． （2） 解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，线段和差，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 21．（2022·全国·八年级专题练习）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒． (1)求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离； (2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间． 【答案】(1)40米 (2)12秒 【分析】（1）过点A作AD⊥ON于D，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD可得答案； （2）在上取点，点，使，则卡车在BC段对学校A有影响，利用勾股定理求出BD和CD的长，从而求出时间． （1） 解：过作，垂足为，由垂线段最短可知为所求， ∵，米， ∴米， 答：噪声影响最大时，卡车与学校的距离为40米； （2） 在上取点，点，使， 由题意，卡车到达点时开始对学校产生噪声影响，到达点时结束噪声影响， 由（1）知AD＝40米， ∴米， 同理可得：米， ∴米， ∵卡车的行驶速度为5米/秒， ∴给学校带来噪声影响的总时间为（秒）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解题的关键． 22．（2021·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）在由6个大小相同的小正方形组成的方格中： (1)如图（1），A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由； (2)如图（2），连接三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）． 【答案】(1)AB⊥BC且AB＝BC，理由见解析 (2)∠α+∠β＝45°，图跟证明见解析 【分析】（1）如图（1），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是直角三角形，据此判断出AB与BC的关系，并说明理由即可． （2）如图（2），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是等腰直角三角形，据此求出∠α+∠β的度数是多少即可． （1） 如图，连接AC， 由勾股定理得，， ， ， ∴，AB＝BC， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， 综上所述，AB与BC的关系为：AB⊥BC且AB＝BC； （2） ∠α+∠β＝45°． 证明如下：如图， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴△ABC是直角三角形， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠α+∠β＝45°． 【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计作图，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． 23．（2022·江苏·八年级专题练习）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，沿AB的垂线DE折叠△ABC, （1）如图①，若点A落在点B处，求AD的长； （2）如图②，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CG＝BG，求AD的长． 【答案】（1）；（2） 【分详】（1）由勾股定理求出AB的长度，设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x，在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，列式计算求出x的值即可； （2）过点B作BH⊥BC交DF于点H，由全等三角形的判定得△DGC≌△HBG，由全等三角形的性质得DC＝BH，∠CBH＝∠DCB，由平行线的判定得AC//BH及∠A＝∠HBF，由折叠知∠A＝∠F，得∠HBF＝∠F，HB＝HF．设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，列式计算即可求出AD的长 【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10． 设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x． 在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，(8－x) 2＋62＝x2， 解得x＝，AD的长为； （2）过点B作BH⊥BC交DF于点H． 在△DGC与△HBG中， ∵∠DCB＝∠HBG，∠DGC＝∠BGH，CG＝BG， ∴△DGC≌△HBG． ∴DC＝BH，DG＝GH，∠CBH＝∠DCB， ∴ AC//BH． ∴∠A＝∠HBF． 由折叠可知∠A＝∠F， ∴∠HBF＝∠F． ∴HB＝HF． 设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y， ∴DG＝DH＝(8－y－y) ＝4－y， 在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，y2＋32＝(4－y) 2， 解得y＝， ∴AD=8－y＝，即AD的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键． 24．（2021·重庆市渝北区实验中学校八年级期中）在中，是中点，分别为射线上一点，且满足 　 (1)如图1，若，且分别在线段上，，求线段的长度； (2)如图2，连接并延长至点，使，过点作于点，当点在线段的延长线上，点在延长线上时，求证： 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】（1）连接AE，可证△ABC是等腰直角三角形，进一步可得AE=CE，∠C=∠EAG=45°，根据已知条件，可得∠CEH=∠AEG，即可证明△CEH≌△AEG（ASA），从而求出AG； （2）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，可知EI是线段BJ的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质易证△ECH≌△EJG（AAS），可得CH=GJ，再证明△BFE≌△BIE（AAS），可得BF=BI，即可得证． （1） 解：连接AE，如图所示： ∵∠B=45°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵E为BC的中点， ∴AE=CE，AE⊥BC，∠CAE=∠BAE=45°， ∴∠C=∠BAE， ∵∠CAB+∠GEH=180°， ∴∠GEH=∠AEC=90°， ∴∠CEH=∠AEG， 在△CEH和△AEG中， ∴△CEH≌△AEG（ASA）， ∴AG=CH=2； （2） 证明：作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，如图所示： 则EI是线段BJ的垂直平分线， ∴EJ=BE， ∵E是BC的中点， ∴BE=EC， ∴EJ=EC， ∵∠GEH+∠BAC=180°，∠GAH+∠BAC=180°， ∴∠GEH=∠GAH， ∴∠JGE=∠CHE， ∵EJ=EB，AB=AC， ∴∠EJB=∠ABC=∠ACB， ∴∠EJG=∠ECH， ∴△ECH≌△EJG（AAS）， ∴CH=JG， ∵AC=AB，点E是BC的中点， ∴AE⊥BC，又DE=AE， ∴BD=AB， ∴∠ABE=∠DBE， ∵EF⊥BD，EI⊥AB， ∴∠BIE=∠BFE=90°， ∵BE=BE， ∴△BFE≌△BIE（AAS）， ∴BF=BI， ∴2BF+CH=BG． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的性质，线段垂直平分线等，构造全等三角形是解题的关键． 25．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且． (1)求∠ACE的度数； (2)求证：AE平分∠CAF； (3)若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． （1） 解：， ， ， ， ． （2） 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3） 解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 26．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)当运动时间为t秒时，BQ的长为　 　厘米，BP的长为　 　厘米．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形； (3)如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，△CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 【答案】(1)t，（6﹣t）； (2)2或4； (3)△CMQ不会变化，始终是60°，理由见解析 【分析】（1）根据点P、Q的速度都为1厘米/秒．得到BQ＝t厘米，AP＝t厘米，则BP=AB-AP=（6-t）厘米； （2）分当∠PQB＝90°时和当∠BPQ＝90°时，两种情况讨论求解即可； （3）只需要证明△ABQ≌△CAP得到∠BAQ＝∠ACP，则∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，即∠CMQ不会变化． （1） 解：∵点P、Q的速度都为1厘米/秒． ∴BQ＝t厘米，AP＝t厘米， ∴BP=AB-AP=（6-t）厘米， 故答案为：t，（6﹣t）； （2） 解：由题意得：AP＝BQ＝t厘米，BP=AB-AP=（6-t）厘米， ①如图1，当∠PQB＝90°时， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t， 解得，t＝2， ②如图2，当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t）， 解得，t=4， ∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形； （3） 解：∠CMQ不变，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°， 在△ABQ与△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°， ∴∠CMQ不会变化． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知等边三角形的性质是解题的关键． 27．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图① ，在△ ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线．点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为______s； (2)当△ ABM与△ MCN全等时，① 若点M、N的移动速度相同，求t的值； ② 若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△ PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)① ；② (3)存在，或 【分析】（1）根据时间=路程÷速度计算即可 （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可 ②当时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论 （3）分两种情况分别求解即可解决问题 （1） 解：点M的运动t=20÷4=5（s） （2） ∵， ∴， ∴ B、C对应 ① 若点M、N的移动速度相同 ∴ 若 则 即：12=20-4t 解得：t=2 ② 若点M、N的移动速度不同 则 ∴当时，两个三角形全等 ∴ 运动时间t=10÷4= ∴a=12÷2.5= （3） ① 若点M、N的移动速度不同，则 由求得时间t=， 此时BP=12-×3= CN=·a= 解得：a= ∴当t=时，（此时点N的速度为） ②若点M、N的移动速度相同，则 ∴只要,两个三角形全等 或 解得：（舍去）或 综上：t=或 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，抓住点B始终与点C对应，由点M与点N速度相同和不相同分类求解是解题关键．