初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程精练

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22.2二次函数与一元二次方程 课后培优练级练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．已知抛物线与x轴的一个交点是，另一个交点是B，则AB的长为（         ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】抛物线与x轴的一个交点是， ，即， 抛物线为：， 令，求出， ， ． 故选：D． 2．二次函数的图象与x轴交点的情况是（        ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．与m的值有关 【答案】C 【详解】解：令得一元二次方程， ∵， ∴二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， 故选：C． 3．若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（        ） A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2 【答案】A 【详解】解：将（0，4）代入y＝－x2＋b中得b=4， ∴y＝－x2＋4 设y＝－x2＋4与x轴交于A，B两点， 令y=0，即－x2＋4=0，解得 ∴A（2，0）B（-2，0） 图像如下： 由图像可得：当－x2＋4≥0时的解集为：－2≤x≤2， 故选：A． 4．已知二次函数的图像经过与两点，关于的方程（）有两个整数根，其中一个根是，则另一个根是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数的图像经过与两点， ∵当时，的两个根为和 ∴函数的对称轴是直线， 又∵关于的方程（）有两个根，其中一个根是3， ∴方程（）的另一个根为． 故选：A． 5．观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（        ） A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】C 【详解】解：令x2＋3x－5， 当时，， 当时，， x2＋3x－5=0的一个正数x的取值范围为1＜x＜2， 故选C． 6．已知的图象如图所示，对称轴为直线，若是一元二次方程的两个根，且，则下列说法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线开口向下，则，对称轴为，即 则，故A错误， 对称轴为， ，故B错误， ， ， ， 解得，故C不正确，D正确， 故选D 二、填空题 7．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，，则方程的解是______． 【答案】， 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线（a≠0）与直线（b≠0）的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标，即，． 故答案为：，． 8．若函数的图象与关于的函数的图象有交点，则的取值范围是_________． 【答案】## 【详解】联立两个函数得到方程， 两个函数的图象有交点， 则， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是______． 【答案】##5＞x＞﹣1 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线x＝2， 与x轴一个交点坐标（5，0）， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是（﹣1，0）， ∴ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜5， 故答案为：﹣1＜x＜5 10．已知二次函数的图像与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的根为____________． 【答案】，##， 【详解】解：由题意可知，二次函数的对称轴是直线， 则点（−1，0）关于的对称点是（3，0）， 所以一元二次方程的两个实数根是，． 故答案为：，． 三、解答题 11．已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有公共点． (2)求证：不论m为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数的图像上． 【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解 【解析】(1)令，则 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴一元二次方程有实数根， 故不论m取何值，函数与x轴总有公共点； (2)∵ ∴该函数的顶点坐标为 把代入 得 ∴不论m为何值，该二次函数的顶点坐标都在函数上. 12．已知抛物线解析式为 (1)写出抛物线的开口方向及抛物线与轴的交点坐标． (2)求抛物线的顶点坐标． (3)抛物线与轴有交点坐标吗？若有，请你求出抛物线与轴的交点坐标；若没有，请你说明理由． 【答案】(1)开口向上；（0，12）；(2)（4，-4）；(3)有交点，交点为（2,0）和（6,0） 【解析】(1)由题，二次项系数为1，1＞0，故二次函数图像开口向上；把带入，得，故抛物线与轴交点为（0，12）. (2)由题，故抛物线顶点为（4，-4）. (3)∵>0， ∴抛物线与轴有两个不同的交点； 将带入二次函数求解，得，， 故抛物线与轴的交点坐标为（2,0）和（6,0）. 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（        ） A． B．若点都在抛物线上，则 C．当时，y随x的增大而减小 D．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根 【答案】C 【详解】解：A、图像与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2-4ac＞0，故A选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线x=-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的距离，所以m=n，故B选项不符合题意； C、顶点为（-3，-6），则对称轴为直线x=-3，抛物线开口向上，则当x＜-3时，y随x的增大而减小，故C选项符合题意； D、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax2+bx+c=-7（a≠0）没有实数根，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（       ） A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1 【答案】C 【详解】二次函数与x轴仅有一个交点，则， 即，解得， 又因为二次函数图象与y轴交于正半轴，则， 将1和-7代入分别得到0和16，则应把m=1舍去，故m=-7， 故选C． 3．关于函数．下列说法正确的是（        ） A．无论m取何值，函数图像总经过点和 B．当时，函数图像与x轴总有2个交点 C．若，则当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数有最小值 【答案】D 【详解】解：A．∵ 当x＝1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝0， 当x＝﹣1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝2， ∴图像过（1，0）和（﹣1，2）， 故选项错误，不符合题意； B．∵当m＝0时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝1﹣x， ∴该函数与x轴只有一个交点， 故选项错误，不符合题意； C．∵ 当m＞时，函数为开口向上的抛物线，则y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝m（x+）（x﹣1）， ∴该函数的对称轴为直线x＝（1+）＝＜1， ∴当x＜1时，y随x的增大而可能减小也可能增大， 故选项错误，不符合题意； D．∵若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值， ∴当x＝时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝﹣m+1， 故选项正确，符合题意． 故选：D． 4．二次函的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc>0；②4a+2b+c<0；③若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为-3，5；④3a+c=0．上述结论中正确结论的个数为（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴①错误； ∵抛物线经过点，对称轴为， ∴抛物线经过点； ∴当时，， ∴4a+2b+c>0， ∴②错误； ∵抛物线过， ∴点关于对称轴为对称的点也在抛物线上， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3，5， ∴③正确； ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∴④正确； 故选：B． 5．已知抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的解为（        ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0）， ∴a-b+c=0，， ∴b=-2a，c=-3a， ∵a（x+1）2-cx=a+2b， ∴a（x+1）2+3ax=-3a， ∴a（x+1）2+3a（x+1）=0， ∴a（x+1）（x+1+3）=0， 解得x=-1或x=-4． 故选：A． 6．下列二次函数的图象与x轴没有交点的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，所以与x轴交于两点； B、，所以与x轴交于两点； C、，所以图象与x轴没有交点； D、，所以图象与x轴交于一点， 故选：C． 二、填空题 7．已知二次函数y＝ax2﹣4x＋1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是_____． 【答案】a＜4且a≠0##a≠0且a＜4 【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣4x＋1的图象与x轴有两个交点， ∴令y=0时，ax2﹣4x＋1=0根的判别式大于零； 即， 解得：a＜4， ∵a≠0， 故答案为：a＜4且a≠0． 8．如图，若抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），B（﹣2，n）两点，则不等式ax2+h＜kx+b的解集是_____． 【答案】﹣2＜x＜3##3＞x＞-2 【详解】观察图象可知当x=3，x=-2时，． 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线上方，即， 所以不等式的解集是-2＜x＜3． 故答案为：-2＜x＜3． 9．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为________． 【答案】 【详解】解：把点代入抛物线的解析式， 得， ， 故答案为：． 10．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是______． 【答案】 【详解】解：将代入中，得， ，解得，即， 令，则，解得，，， ∵图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是， 故答案为：． 三、解答题 11．在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若，当时，．求y的函数表达式． (2)写出一题a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点（2，m），求证． 【答案】(1)y＝x2−x＋2；(2)（−1，0）；(3)见解析 【解析】(1)解：把a＝1代入得，y＝x2＋bx＋2， ∵当x＝−1时，y＝4， ∴4＝1−b＋2， ∴b＝−1， ∴二次函数的关系式为y＝x2−x＋2； (2)解：令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0， 当Δ＝0时，则b2−8a＝0， ∴b2＝8a， ∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为y＝2x2＋4x＋2＝2（x＋1）2， ∴此函数的顶点坐标为（−1，0）； (3)证明：∵二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象和直线y＝ax＋4b都经过点（2，m）， ∴4a＋2b＋2＝2a＋4b， ∴2a＋2＝2b， ∴b＝a＋1， ∴a2＋b2 ＝a2＋（a＋1）2 ＝2a2＋2a＋1 ＝2（a＋）2＋， ∴a2＋b2≥． 12．已知直线的解析式为和点． (1)求证：无论为何值，直线必定经过一点，并求该点的坐标； (2)设直线必定经过的点为． ①若直线经过点A，且点A所在的函数图象经过与点关于原点对称的点，求的取值范围； ②当时，设轴时， A点位置为，A，，三点共线时， A点位置为，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标；(2)①或 ② 【解析】(1)解： 解得： 此时 所以直线过定点 (2)解：①由（1）得： ， 所以A在的图象上， 点A所在的函数图象经过与点关于原点对称的点， 过 所以点A所在的函数为 整理得： 结合题意可得：有实数根， 令 解得： 结合二次函数的性质可得：时，或 ②由A在的图象上，当轴时，则（） 如图， 所以直线为 解得： 则 培优第三阶——中考沙场点兵 一、单选题 1．（2022·湖北恩施·中考真题）已知抛物线，当时，；当时，．下列判断： ①；②若，则；③已知点，在抛物线上，当时，；④若方程的两实数根为，，则． 其中正确的有（        ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵a=>0，开口向上，且当时，；当时，， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴；故①正确； ∵当时，， ∴-b+c<0，即b>+c， ∵c>1， ∴b>，故②正确； 抛物线的对称轴为直线x=b，且开口向上， 当x1时，b>， ∴则x1+x2>3，但当c<1时，则b未必大于，则x1+x2>3的结论不成立， 故④不正确； 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 2．（2022·四川达州·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上， ， ， ，故①正确； 令， 解得， 由图得，， 解得，故②正确； ， 可化为，即， ， 若成立，则，故③错误； 当时，随的增大而减小， ， ， 对称轴为直线， 时与时所对应的值相等， ，故④错误； （，k为常数）的解，是抛物线与直线y=±k的交点的横坐标， 则（，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个， 根据抛物线的对称性可知， 当有3个或4个交点时，（，k为常数）的所有解的和是4， 当有2个交点时，即k=0时，（，k为常数）的所有解的和是2， 故⑤错误； 综上，正确的个数为2， 故选：A． 3．（2022·山东威海·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是(     ) A．b＞0 B．a+b＞0 C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根 D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0 【答案】D 【详解】解：根据图像知，当时，， 故B选项结论正确，不符合题意， ， ， 故A选项结论正确，不符合题意； 由题可知二次函数对称轴为， ， ， 故B选项结论正确，不符合题意； 根据图像可知是关于的方程的一个根， 故选项结论正确，不符合题意， 若点，在二次函数的图像上， 当时，， 故D选项结论不正确，符合题意， 故选：D． 4．（2022·四川雅安·中考真题）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（　　） ①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6． A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解： y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上， ∴当x＝2时，y取得最小值﹣9；故①符合题意； y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为， 而 故②符合题意； 将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意； 当时，则 解得： 而 故④符合题意； 故选B 5．（2022·四川凉山·中考真题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（        ） A．a＞0 B．a＋b＝3 C．抛物线经过点（－1，0） D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意； B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意； C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意； D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．（2022·山东泰安·中考真题）一元二次方程根的情况是（        ） A．有一个正根，一个负根 B．有两个正根，且有一根大于9小于12 C．有两个正根，且都小于12 D．有两个正根，且有一根大于12 【答案】D 【详解】解：如图， 由题意二次函数y=，与y交与点（0，12）与x轴交于（-4，0）（12，0），一次函数y=，与y交与点（0，15）与x轴交于（9，0） 因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0，且有一根大于12 故选：D． 二、填空题 7．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________． 【答案】1或 【详解】当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点， 此时满足，解得； 当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时， 此时满足，解得或， 当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意； 综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点． 故答案为：1或 8．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________． 【答案】（0，1） 【详解】∵抛物线交轴于、两点，交轴于点， ∴当时，； 当时， ∴ ∴OA=OC=5 ∴ ∵是抛物线上的点 ∴，解得 当时，与A重合； 当时，； ∴CD∥x轴， ∴ 设点关于直线的对称点M，则 ∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形 ∴DC=CM=6 ∴M点坐标为（0，1） 故答案为：（0，1）． 9．（2022·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______． 【答案】8 【详解】解： 把y=0代入得：， 解得：，， 把y=0代入得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 即， ， 令，则， 解得：，， 当时，，解得：， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，，解得：， ∵， ∴符合题意； 综上分析可知，n的值为8． 10．（2021·贵州遵义·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有_________（填写序号）． ①4a+b＝0； ②5a+3b+2c＞0； ③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a； ④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个． 【答案】①③④ 【详解】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得： ，解得： ， ∴抛物线解析式为 ． ① ，则，故①正确，符合题意； ② ，又a＞0， ∴ ，故②错误，不符合题意； ③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根， 则 ， ∵a＞0， ∴ ，解得： ，故③正确，符合题意； ④如图， ∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数， 一元二次方程可化为 ，即抛物线与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．故④正确，满足题意． 故答案为：①③④ 三、解答题 11．（2021·四川乐山·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】（1）；（2）， 【详解】解：（1）由题知， ∴． （2）由图知的一个根为1， ∴，∴， 即一元二次方程为， 解得，， ∴一元二次方程的解为，． 12．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； (2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)（0，2）；2；(2)的取值范围为，的取值范围为 【解析】(1)解：当时，， ∴当x=0时，y=2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）； ∵， ∴点关于对称轴为对称， ∴； (2)解：当x=0时，y=c， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c）， ∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c）， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ， ∵1＜3， ∴2t＞3，即（不合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， 此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，解得：， ∵1＜3， ∴2t＞3，即， ∴， ∵，，对称轴为， ∴， ∴，解得：， ∴的取值范围为，的取值范围为． 13．（2022·湖南永州·中考真题）已知关于的函数． (1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值； (2)若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围． (3)阅读下面材料： 设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以； ②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即； ③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需． 综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为： 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)或，0；(2)；(3)或 【解析】(1)根据题意，得 解之，得，所以 函数的表达式或，当时，的最小值是-8． (2)根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以． (3)函数的图象 图1： 即， 所以，的值不存在． 图2： 即的值. 图3： 即 所以的值不存在 图4：即 所以的值不存在． 图5： 即 所以的值为 图6：函数与轴的交点为 所以的值为0成立． 综上所述，的取值范围是或．－101234－7－5－151323