苏科版八年级上册3.1 勾股定理同步训练题

这是一份苏科版八年级上册3.1 勾股定理同步训练题

第3章 勾股定理 章末检测卷（苏科版） 全卷共26题，满分：120分，时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·黑龙江·大庆市七年级期中）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别记为 a，b，c，根据以下条件：①．∠A+∠B＝∠C；②．a：b：c＝3：4：5；③．a2＝c2﹣b2 ；④．∠A：∠B：∠C＝1：2：3；⑤．a=32，b=42，c=52； ⑥．a= ，b= ，c= ．能判定△ABC 为直角三角形的有 （        ） A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可分析出①④的正误；根据勾股定理逆定理可分析出②③⑥的正误，根据三角形的三边关系可以分析出⑤的正误． 【详解】解：①∠A+∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形； ②a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x， ∵，∴能构成直角三角形； ③ ，∴，∴能构成直角三角形； ④∠A：∠B：∠C＝1：2：3；设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x， ∵∠A+∠B＝x+2x=3x=∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠C=90°，∴能构成直角三角形； ⑤，，，a+b=c 不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； ⑥a= ，b= ，c=，，， ∵，∴不能构成直角三角形；能构成直角三角形的是①②③④ 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定和三角形的三边关系，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 2．（2022·广东东莞·八年级期中）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（　　） A．1.0 米 B．1.2 米 C．1.25 米 D．1.5 米 【答案】A 【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理解得AD的长即可． 【详解】解：过点D作于点E， 中（米）故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键． 3．（2022·陕西八年级期中）如图所示有一“工”字形的机器零件它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，图中数据单位：，那么、两点之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，求出BC，AC，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点，如下图所示 由图可得， 由勾股定理得： 即A、B两点之间的距离为故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，构造出直角三角形是解题关键． 4．（2022·江苏八年级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（　　） A．AB B．BC C．CD D．AD 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得每条线段的长度即可． 【详解】解：AB=，BC=3，CD=，AD=， 故长度为的线段是AD，故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2022·广东揭阳·八年级期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第个图中所有等腰直角三角形的面积和为（ ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出等腰直角三角形直角边的长，求出每个图形中等腰三角形面积和，发现规律进而求出即可． 【详解】解：在图①中，正方形的边长为4， ∴等腰直角三角形①的直角边长为： ∴等腰直角三角形①的面积= 在图②中，最大的正方形的边长是4，最大的等腰直角三角形①的直角边长是 故可得等腰直角三角形②和③的直角边长都是2 ∴ 如图③，同理可求等腰直角三角形④⑤⑥⑦的直角边长均为 ∴= = = = 由此可得规律：第n个图形中，所有等腰直角三角形的面积和为4n，故选A． 【点睛】此题主要考查了运用勾股定理求等腰直角三角形直角边的长，解题的关键是求出每个图形中等腰直角三角形面积和． 6．（2022·山东潍坊·八年级期末）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b表示直角三角形的两直角边，则下列结论不正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察图形，大正方形的面积＝，由勾股定理得出；由小正方形面积为1，得出小正方形的边长＝a−b＝1；两直角边为a，b的直角三角形的面积，得出ab＝12；结合完全平方公式求得a＋b＝7． 【详解】解：∵大正方形面积为25，∴， 在直角三角形中，由勾股定理得，．A选项正确． ∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长＝a−b＝1．B选项正确． ∵两直角边为a，b的直角三角形的面积＝，∴ab＝12．C选项正确． ∵ ，∴a＋b＝7．D选项错误．故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的证明，通过观察图形，结合勾股定理、直角三角形的面积、完全平方公式求选项中代数式的值． 7．（2022·福建泉州·八年级期末）如图所示，一架长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底部将向外平滑（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论． 【详解】解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=2.5m，OB=0.7m，∴OA===2.4(m) ∵梯子的顶端下滑了0.4米，∴OA′=2m，∵在Rt△A′OB′中，∠A′OB′=90°，A′B′=2.5m，OA′=2m， ∴OB′===1.5(m)，∴BB′=OB′-OB=1.5-0.7=0.8(m)．故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 8．（2022·陕西·西安八年级阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则，由勾股定理得：在中，， 在中，，由题意可知：，所以：， 解得：．所以，应建在距点处．故选：． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 9．（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得，根据对称求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得． 【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆， ∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm， 在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键． 10．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为( )． A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】2 【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可． 【详解】解：设CF与AB交于点H， ∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5， ∴S△ABC=，即，∴CH=， 由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=， 在△BCH中，BH=，设BE=EF=x，则EH=-x， 在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．（2022·福建·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为______． 【答案】102+（x-1）2=x2 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺， 在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-1）2=x2，故答案为：102+（x-1）2=x2． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 12．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积， ∵在中，，，，，∴， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积是解题的关键． 13．（2022·江苏）如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s 【答案】8 【分析】过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵144千米/小时=40米/秒，∴影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键． 14．（2022·广东惠州·八年级期中）已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两轮船相距 海里。 【答案】45 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了27，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：如图，连接BC． ∵两船行驶的方向是西南方向和东南方向，∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了24×1.5=36（海里），18×1.5=27（海里）， 根据勾股定理得：（海里）． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算． 15．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____． 【答案】12 【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长． 【详解】如图，延长BE交AD于点F， ∵点E是DC的中点，∴DE＝CE， ∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC， ∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC， ∴ △BCE≌△FDE（ASA）， ∴DF＝BC＝5，BE＝EF， ∴BF＝2BE＝13，AF=5, 在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 16．（2022·山西初二期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接，则________． 【答案】45 【分析】连接利用勾股定理求解 证明为等腰直角三角形，从而可得答案． 【解析】解：如图，连接 由勾股定理得： 为等腰直角三角形， 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 17．（2022·贵州九年级期中）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题． 【详解】如图，连接，过点作， 设，则矩形中 在与中， 在中， ，故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 18．（2022·江苏无锡·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm 【答案】16 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，∴，，，， 此时最小， ∵点是中点，∴cm，∴cm，cm， 在中，cm，∴cm，故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2022·浙江温岭）如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点 （1）AB2＝ ．BC2＝ ．AC2＝ ． （2）∠ABC＝ ° （3）在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P（用P1、P2……表示） 【答案】（1）（2）（3）见解析． 【分析】（1）根据勾股定理分别计算出，即可求解； （2）根据（1）中的计算结果，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）根据勾股定理的逆定理找到满足∠APC=90°的格点P即可求解． 【解析】解：（1） 故答案为：． （2） ∴∠ABC=90°． 故答案为： （3）如上图所示： 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 20．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米． 【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得； （2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可． 【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变， ∴，故答案为：=； （2）∵A、B、F三点共线， ∴在中，， ∵，∴在中，， 由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 21．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】绿化这片空地共需花费17100元 【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：连接AC，如图 ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m）， ∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键． 22．（2022·湖北八年级期中）在△ABC中，AB＝AC＝5． （1）若BC＝6，点M、N在BC、AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，求折痕MN的长； （2）点D在BC的延长线上，且BC：CD＝2：3，若AD＝10，求证：△ABD是直角三角形． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）如图1，过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图2，过作于，根据等腰三角形的性质得到，设，，，得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过作于， ，，，， 将沿折叠，使得点与点重合，，， 设，， ，，解得：， ； （2）如图2，过作于，，， ，设，，，， ，，，， 联立方程组解得，（负值舍去），， ，是直角三角形． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（2022·江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）正方形、长方形；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形； 【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下： 如图：正方形ABCD中，由勾股定理有：； 长方形DEFG中，由勾股定理有：； 都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形． （2）解：答案如图所示． （3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE， ∵∠CBE=60°，∴△CBE为等边三角形，∴EC=BC，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2， ∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形． 【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题． 24．（2022·山东潍坊·八年级期中）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程； 探索研究：(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； 问题解决：(3)如图2，若，，此时空白部分的面积为__________； (4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)52；(4)24． 【分析】（1）运用等面积法计算即可； （2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法化简计算即可； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可； （4）将风车周长表示出来，其中a=OC=3，得到b、c的等量关系，再结合勾股定理求解出b，最后计算面积即可． (1)证明：由图可知，每个直角三角形的面积为， 空白小正方形的面积为， 整个围成的大正方形的面积为， ∵，即，故； (2)如下图所示，连接大正方形一条对角线DE可知 ， 其中，，，， 代入可得，，即； (3)由图2可知，， ∵，，∴，则=100， ∴，故空白部分的面积为52； (4)由题意可知，风车的周长为 ， 其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b， 且，即，将c=9-b代入得， ，解得b=4，则． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． 25．（2022·山东·八年级专题练习）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股 ；弦 ；（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股 ；弦 _；（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． ；请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ ． 【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦 【分析】探究1：（1）根据勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）； （2）根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证； （3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数； 探究2：（1）根据规律即求解； （2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝，弦＝； （3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，根据所给3组数据找出规律即可得结论． 【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；· （2）证明： ， ， 满足以上公式的是一组勾股数； （3）∵＝ ∴满足以上公式的是一组勾股数； 当时，， ∴构成一组勾股数．(答案不唯一） 探究2：（1）依据规律可得，如果勾为，则股，弦， （2）如果勾用，且为奇数）表示时， 则股，弦 （3）①b＝80．②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)， 则另一条直角边 弦 【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足的三个正整数均为勾股数是解题的关键． 26．（2022·山东八年级期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′， ∴AC+CB=AC+　 　=　 　． 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值 借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　； （2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=　 　°． 2.拓展应用:如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程． 【答案】C′B；AB′；简单应用：（1）BE；3；（2）100；拓展应用：作图见解析，货船行驶的水路最短路程为千米 【分析】1.简单应用（1）根据等边三角形的性质、勾股定理计算，得到答案；（2）作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算； 2.拓展应用:分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，根据轴对称的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：AC+CB=AC+C′B=AB′，故答案为：C′B；AB′； 1.简单应用（1）由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM， EM+MC的最小值就是线段BE的长度，BE=， 则EM+MC的最小值是，故答案为：BE；； （2）如图5，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N， 则A′A″即为△AMN的周长最小值，∵∠DAB=130°，∴∠A′+∠A″=50°， ∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°，故答案为：100； 2.拓展应用:如图6，分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，则C、D为两岸的装货地点，A′B′是货船行驶的水路最短路程， 由轴对称的性质可知，OA′=OA=1，OB′=OB=2，∠BOA′=∠AOB=30°，∠AOB′=∠AOB=30°， ∴∠A′OB′=90°，∴A′B′=，答：货船行驶的水路最短路程为千米． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用轴对称变换的思想是解题的关键．