初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数教案

1.1 锐角三角函数

第1课时　正切

导学设计

一、学法点津

学生学习时首先通过情景题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tanA的关系(∠A和tanA之间的关系),在探究过程中,可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角三角形是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.

二、学点归纳总结

(一)知识要点总结

(1)正切的定义:tanA=;

(2)梯子的倾斜程度与tanA的关系(∠A和tanA之间的关系):tanA的值越大,梯子越陡;

(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.

(二)规律方法总结

运用正切进行计算时要找准直角三角形或构造出直角三角形,或者通过角度的转化,并运用数形结合的思想进行解答.

(三)易错问题误区点拨

1.对正切的概念理解不清.

【典例1】把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值 (　　)

A.不变　　       B.缩小为原来的　　 

C.扩大为原来的3倍　　    D.不能确定

【错解】 C

【错解分析】误认为锐角的正切值会随三边长度的扩大而扩大.

【正解】 A

【正解分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍后,所得到的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正切值也不变.故选A.

2.对所有可能情况考虑不全而出错.

【典例2】已知正方形ABCD的边长为2,P是直线CD上一点,若DP=1,则tan∠BPC的值是　　　　　. 

【错解】 2

【错解分析】对于条件“P是直线CD上一点”中的“直线”理解不清,往往会只考虑“点P在线段CD上”这一种情况,而忽略“点P在线段CD的延长线上”这一种情况.

【正解】 2或

【正解分析】如图1-1-14,此题有两种可能:

图1-1-14

　　(1)如图①,∵BC=CD=2,DP=1,∠C=90°,

∴PC=1,∴tan∠BPC==2;

(2)如图②,∵DP=1,DC=2,∴PC=3.

又∵BC=2,∠C=90°,∴tan∠BPC==.

综上所述,tan∠BPC的值是2或.

三、巩固拓展练习

1.如图1-1-15,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=5,AC=6,则tanB的值是 ( C )

图1-1-15

　A.    B.     C.     D.

[解析] ∵CD是斜边AB上的中线,CD=5,∴AB=2CD=10.根据勾股定理,得BC===8,∴tanB===.

2.[贵阳中考]如图1-1-16,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则tanα等于 ( C )

图1-1-16

A.    B.     C.     D.

[解析] 过点P作PE⊥x轴于点E.

∵点P的坐标为(12,5),∴PE=5,OE=12,∴tanα==.故选C.

3.河堤横断面如图1-1-17所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是　10米　. 

图1-1-17

[解析] 在Rt△ABC中,BC=5米,tanA=1∶,

∴AC=BC÷tanA=5米,∴AB==10(米).

4.如果一元二次方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边长,△ABC最小的角为∠A,那么tanA的值为 或　. 

[解析] 解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3.①当3是直角边长时,∵△ABC最小的角为∠A,∴tanA=;②当3是斜边长时,根据勾股定理,得∠A的邻边长==2,∴tanA==.所以tanA的值为或.

　　5.如图1-1-18,在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC=9 cm,△ABC的面积为27 cm2.求tanB的值.

图1-1-18

解:如图1-1-19,过点A作AH⊥BC于点H.

∵S△ABC=27 cm2,∴×9·AH=27,∴AH=6 cm.

∵AB=10 cm,∴BH===8(cm),

∴tanB===.

图1-1-19

四、挑战课标中考

1.[金华中考]如图1-1-20,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=,则t的值是 (C)

图1-1-20

　　A.1    B.1.5    C.2     D.3

[解析] 如图1-1-21.∵点A(t,3)在第一象限,∴AB=3,OB=t.又∵tanα==,∴t=2.

图1-1-21

 [解题策略] 本题考查正切的定义和坐标的意义,解题方法是根据正切的定义列方程求解.易错点是坐标与线段的对应关系以及正切的定义:对边比邻边.

2.[温州中考]如图1-1-22,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tanA的值是 　. 

图1-1-22

 [解析] tanA==.

[解题策略] 本题考查了锐角三角函数定义的应用,注意:在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=.

3.[苏州中考]如图1-1-23,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC= 　. 

图1-1-23
　　　
图1-1-24

[解析] 如图1-1-24,过点A作AE⊥BC于点E.

∵AB=AC=5,∴BE=BC=×8=4,∠BAE=∠BAC.

∵∠BPC=∠BAC,∴∠BPC=∠BAE.

在Rt△BAE中,由勾股定理,得AE===3,∴tan∠BAE==.

[解题策略] 求锐角的三角函数值的方法:利用锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值,或者利用同角(或余角)的三角函数关系求三角函数值.

学案设计

一、学习目标

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系；

2.能用表示直角三角形中两直角边的比，表示物体的倾斜程度和坡度（坡比）等；

3.能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算。

二、学习过程

(一)温故知新[来源:学科网]

1.在Rt△ABC中，∠B=53°，∠C=90°，则∠A=；

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=24cm，AB=26cm，则AC=；

3.在△ABC中，BC=7cm， AC=24cm，AB=25cm，则△ABC是三角形。

(二)新知探究

请你阅读课本P2至P4，然后完成以下问题：

1.比较梯子的倾斜程度

（1）如图，这里摆放的三对梯子，比较每对梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？

（2）分别求出每幅图中的与，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？

2.直角三角形的边与角的关系

(1)   
Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

正切的定义

如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA=

如图：

斜坡AB的倾斜程度与tanA的关系：AB越陡，tanA的值越；反过来，tanA的值越大，斜坡AB越.

【例题精选】

1 .下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?

２.如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，求BC、AB的长. 

３.如图，在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.

课堂小结(你学到了什么?）[来源:学科网ZXXK]

1、正切的定义:.

2、斜坡的倾斜程度与tanA的关系(∠A和tanA之间的关系）:.