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专题13 图形认识初步、平行线与相交线 2023年江西省中考数学一轮复习专题练习
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这是一份专题13 图形认识初步、平行线与相交线 2023年江西省中考数学一轮复习专题练习，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，作图题，综合题等内容，欢迎下载使用。
专题13 图形认识初步、平行线与相交线 2023年江西省中考数学一轮复习专题练习
一、单选题
1．（2022七下·寻乌期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，∠DOF=90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；②OD为∠EOG的平分线；③若∠AOD=150°时，∠EOF=30°；④∠BOG=∠EOF．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022七下·宜春期末）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点P到直线l的距离为（ ）
A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm
3．（2022七下·遂川期末）如图所示，在所标识的角中，内错角是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠2和∠4 D．∠1和∠3
4．（2022七下·寻乌期末）如图，已知直线a∥b，点B在直线a上，点A，C在直线b上，且AB⊥BC．若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
5．（2022七下·南康期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
6．（2022七下·萍乡期末）如图，在△ABC中。∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
7．（2022七下·萍乡期末）如图，已知∠1=∠2，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．∠C=∠A B．AD∥BC C．AB∥CD D．∠3=∠4
8．（2022七下·抚州期末）中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如下图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·江西模拟）如图，直线a//b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90∘.若∠1+∠B=70∘，则∠2的度数为()
A．20∘ B．40∘ C．30∘ D．25∘
10．（2022七下·宜黄期中）下列说法正确的是（ ）
A．同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行
D．一条直线有可能同时与两条相交的直线平行
二、填空题
11．（2020八上·萍乡期末）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=15°，那么∠2的度数是
12．（2022七下·宜黄期中）如图，直线a//直线b，一个含30°角的直角三角尺的两个锐角顶点分别落在直线a、b上．若∠1=70°，则∠2= ．
13．（2021七上·章贡期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC=100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 ．
14．（2022七下·宜黄期中）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则表示点A到直线CD所在直线的距离为线段 的长度．
15．（2022七下·宜黄期中）将直角三角板ABC按如图所示的位置放置，∠ABC=45°，∠ACB=90°，直线CE//AB，BE平分∠ABC，在直线CE上确定一点D，满足∠BDC=30°，则∠EBD= ．
16．（2021七上·乐平期末）如图，点C、D在线段AB上，线段AC=BD，若线段AB=15cm，AD=11cm，则线段CD的长度为 cm．
17．（2021七上·乐平期末）已知点C在线段AB上，点D、E分别是AC和BC的中点，若DE=10cm，则AB= cm．
18．（2022七下·宜黄期中）根据题意结合图形填空．
如图，CD//AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，试说明EF//CD．
解：因为CD//AB，（已知）
所以 ▲ =∠DCB=70°，（ ）
所以∠ABF=∠CBA-∠CBF=70°-20°=50°，
所以∠EFB+∠ABF=130°+50°=180°，
所以EF// ▲ .（ ）
又因为CD//AB，（已知）
所以EF//CD．（ ）
19．（2021七上·乐平期末）把弯曲的道路改直，就能缩短里程，其中蕴含的数学道理是 ．
20．（2022七下·抚州期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠2=42°，则∠1的度数为 ．
三、作图题
21．（2022七下·宜黄期中）如图，已知∠α、∠β，请用直尺和圆规求作∠MON，使得∠MON=∠a−∠β．（不写作法，保留作图痕迹）
22．（2021九上·南昌期末）如图，□ABCD 的顶点A、B、D都在⊙O上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图：
（1）在图1中，画出一条弦与AD相等；
（2）在图2中，画出一条直线与AB垂直平分．
23．（2021七上·乐平期末）如图，已知A、B、C、D四点．
（ 1 ）画直线AD、射线BC相交于点E．
（ 2 ）画线段AC、线段BD相交于点F．
（ 3 ）画线段CD，在线段CD上找一点O，使OE+OF最短．
24．（2022九下·乐平期中）如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请用无刻度直尺完成下列作图．
（1）如图1，以点C或点B为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余（并标记）．
（2）如图2，已知AD∥BC交⊙O于点D，过点A作AE将∠BAC平分．
25．（2022·寻乌模拟）如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．
（1）在图1中，过点O作AC的平行线；
（2）在图2中，过点E作AC的平行线．
四、综合题
26．（2022七下·宜黄期中）“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路沟通了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了以下问题：
如图1，AB//CD，点E在直线AB、CD之间．求证：∠DEB+∠B-∠D=180°．
小贤的解法如下：
解：如图1，过点E作EF∥AB．
因为AB∥CD，所以EF∥CD．
因为AB∥EF，所以∠B+∠BEF=180°．
因为EF∥CD，所以∠D=∠DEF（根据1），
所以∠DEB=∠B+∠BEF-∠B+∠DEF=180°-∠B+∠D，
即∠DEB+∠B-∠D=180°．
（1）材料中的根据1是指 ．
（2）若把图1变为图2，其中AB∥CD，∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求∠BPQ的度数．
（3）如图3，AB∥CD，M是∠CDE内部一点，且∠CDM=14∠CDE，延长MD与BN交于点N，∠NBM=12∠ABE，且BN∥DE．已知∠CDM=α(0°<α<11°)，则∠NMB的度数为 （用含α的式子表示）．
27．（2021七上·章贡期末）
（1）如图所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 （填序号）．
（2）图A，B分别是题（1）中长方体的两种表面展开图，求得图A的外围周长为52，请你求出图B的外围周长．
（3）第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长．
28．（2021七上·乐平期末）如图1，一块三角板的一条直角边OC放在直线AB上．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，使它的两直角边OC、OD均在直线AB的上方，得图2；将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使它的直角边OC在直线AB下方，OD在直线AB的上方得图3．OE始终平分∠AOD．
（1）图1中，∠COE的度数为 ，∠BOD= ；图2中，若∠COE=35°，则∠BOD= ．
（2）在图2中，猜想∠BOD与∠COE数量关系，并说明理由．
（3）在图3中，直接写出∠BOD与∠COE的数量关系．不必说明理由．
29．（2022七下·湘东期中）如图，已知l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于点A，B，射线ME分别和直线l1，l2交于点C，D，点P在射线MN上运动（P点与A，B，M三点不重合），设∠PDB=α，∠PCA=β，∠CPD=γ．
（1）如果点P在A，B两点之间运动时，α，β，γ之间有何数量关系？请说明理由；
（2）如果点P在A，B两点之外运动时，α，β，γ之间有何数量关系？（只需写出结论，不必说明理由）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，
∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；
故①符合题意；
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，
∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，
故④符合题意；
∵∠AOD=150°，
∴∠BOD=180°-150°=30°，
∴∠EOF=30°
故③符合题意；
若OD为∠EOG的平分线，则∠DOE=∠DOG，
∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，
∴∠EOF=30°，而无法确定∠EOF=30°，
∴无法说明②的符合题意性；
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的定义及角的运算逐项判断即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PC，
即点P到直线l的距离不大于3cm．
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短的性质可得答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∠1和∠2不是内错角，选项A不符合题意；
∠2和∠3是内错角，选项B符合题意；
∠2和∠4是同位角，选项C不符合题意；
∠1和∠3不是内错角，选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用内错角的定义逐项判断即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠1＝35°，AB⊥BC，
∴∠3＝180°-90°−35°＝55°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠3＝180°-90°−35°＝55°，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=55°。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝40°，
故答案为：A．
【分析】平行线的性质和三角形内角和定理的应用。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】平行线的性质。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∠1与∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，因此是对顶角，故①符合题意；
两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，因此∠3与∠4是同旁内角，故②符合题意；
∠5与∠6是邻补角，不是同旁内角，故③不符合题意；
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫作内错角，因此∠1与∠4是内错角，故④符合题意；
综上，正确的有①②④．
故答案为：C．
【分析】一般情况下，两条直线被第三条直线所截形成八个角，即“三线八角”，其中包含四组同位角，两组同旁内角，两组内错角，要深刻理解其区别与联系。
9．【答案】A
【解析】【解答】如图：
∵∠3为三角形的外角，
∴∠3=∠1+∠B=70∘，
∵a//b，
∴∠3+∠4+∠2=180∘，
∵∠4=90∘，∠3=70∘，
∴∠2=20∘．
故答案为：A．
【分析】根据三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠B=70∘，利用平行线的性质可得∠3+∠4+∠2=180°，从而得解.
10．【答案】C
【解析】【解答】A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故A项不符合题意；
B．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B项不符合题意；
C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行，故C项符合题意；
D．一条直线不可能同时与两条相交的直线平行，故D项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平面内两直线的位置关系逐项判断即可。
11．【答案】30°
【解析】【解答】如图所示：
由题意得，AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵三角板为含有45°角的直角三角板，
∴∠2=45°-∠3=45°-15°=30°．
故答案是：30°．
【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠3，由此得出答案。
12．【答案】40°
【解析】【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠2＋∠3＝∠2＋30°＝70°，
∴∠2＝40°．
故答案为：40°．
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠2＋∠3＝∠2＋30°＝70°，再求出∠2的度数即可。
13．【答案】5或23
【解析】【解答】解：∵∠BOC=100°，
∴∠AOC=80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如下图：
∠BON=12∠AOC=40°，
此时，三角板旋转的角度为90°-40°=50°，
∴t=50°÷10°=5；
当ON在∠AOC的内部时，如下图：
三角板旋转的角度为360°-90°-40°=230°，
∴t=230°÷10°=23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
【分析】当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，当ON在∠AOC的内部时，分为两种情况解答，求出t的值即可。
14．【答案】AD
【解析】【解答】∵CD⊥AB
∴AD⊥CD
则表示点A到直线CD所在直线的距离为线段AD的长度
故答案为：AD．
【分析】根据点到直线的距离的定义可得答案。
15．【答案】7.5°或127.5°
【解析】【解答】解：D在C的左边，如图，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°
∴∠ABE=12∠ABC=22.5°，
∵CE∥AB，
∴∠ABD=180°-∠BDC=150°，
∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=150°-22.5°=127.5°；
D在C的右边，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=22.5°，
∵CE∥AB，
∴∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠EBD=30°-22.5°=7.5°．
故∠EBD=7.5°或127.5°．
故答案为：7.5°或127.5°．
【分析】分两种情况：D在C的左边；D在C的右边，根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解。
16．【答案】7
【解析】【解答】∵AB=15cm，AD=11cm
∴BD=AB-AD=15-11=4cm
∵AC=BD=4cm
∴CD=AD-AC=11-4=7cm
故答案为7
【分析】先根据题意求出BD的值，再根据AC=BD=4cm，即可得出CD的值。
17．【答案】20
【解析】【解答】解：如图所示：
∵D、E分别是AC和BC的中点
∴DE=DC+CE=12AC+12BC=12AB
又∵DE=10cm
∴AB=20cm
故答案为：20．
【分析】根据线段中点的性质可得DE=DC+CE=12AC+12BC=12AB，再根据DE=10cm，即可求出AB的值。
18．【答案】解：因为CD//AB，（已知）
所以∠CBA=∠DCB=70°，（两直线平行，内错角相等）
所以∠ABF=∠CBA-∠CBF=70°-20°=50°，
所以∠EFB+∠ABF=130°+50°=180°，
所以EF//AB．（同旁内角互补，两直线平行）
又因为CD//AB，（已知）
所以EF//CD．（平行公理的推论）．
【解析】【分析】根据平行线的判定方法和性质求解即可。
19．【答案】两点之间线段最短
【解析】【解答】把弯曲的道路改直，就能缩短里程，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短．
故答案是：两点之间线段最短．
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短可得答案。
20．【答案】48°
【解析】【解答】解：如图，过点D'作D'H∥AB，
∴∠2=∠4，
∵长方形纸片ABCD，
∴AB∥CD，∠D=∠D'=90°，
∴D'H∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，，
∵∠2=42°
∴∠1=48°，
故答案为：48°．
【分析】过点D`作BA的平行线，由平行线的性质可知∠1与∠2互余。
21．【答案】解：∠MON，如图所示：
【解析】【分析】根据角的作图方法求解即可。
22．【答案】（1）解：BE 就是所求作的弦；
（2）解：FG 就是所求作的垂直平分线．
【解析】【分析】（1）根据 画出一条弦与AD相等 作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质作图即可。
23．【答案】⑴解：如下图所示：直线AD、射线BC、点E即为所求；
⑵解：如下图所示：线段AC、线段BD、点F即为所求；
⑶解：当点E，O，F 三点共线时，OE+OF，
如下图所示：线段CD，点O即为所求．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）根据要求作出图形即可。
24．【答案】（1）解：连接CO（或BO）并延长，交⊙O于点P（或Q），连接BP（或CQ），CP（或BQ），则∠BCP（或∠CBQ）与∠CAB互余．
标记如图．
（2）解：如图，连接CD交AB于点F．连接FO，并延长交⊙O于点E，连接AE即可．
【解析】【分析】（1）连接CO（或BO）并延长，交⊙O于点P（或Q），连接BP（或CQ），CP（或BQ），则∠BCP（或∠CBQ）与∠CAB互余；
（2）连接CD交AB于点F．连接FO，并延长交⊙O于点E，连接AE即可．
25．【答案】（1）解：如图所示（答案不唯一）：
（2）解：如图所示（答案不唯一）：
【解析】【分析】（1）根据要求作出过点O的平行线即可；
（2）根据要求作出过点E的平行线即可。
26．【答案】（1）两直线平行，内错角相等
（2）解：如图，过点P作PN∥AB，过点Q作QM∥AB，
∵AB∥CD，
∴PN∥QM∥CD，
∴∠B+∠BPN=180°，∠NPQ=∠PQM，∠MQC+∠C=180°，
∵∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，
∴∠BPN=180°-∠B=180°-125°=55°，∠CQM=180°-∠C=180°-145°=35°，
∴∠PQM=∠PQC-∠CQM=65°-35°=30°，
∴∠NPQ=∠PQM=30°，
∴∠BPQ=∠BPN+∠NPQ=55°+30°=85°；
（3）180°-7α
【解析】【解答】（1）解：材料中的根据1是指两直线平行，内错角相等；
故答案为：两直线平行，内错角相等
（3）解：如图，延长BM交CD于点O，
∵∠CDM=14∠CDE，∠CDM=α，
∴∠CDE=4α，
∴∠EDM=∠CDE-∠CDM=3α，
∵∠NBM=12∠ABE，
∴∠ABE=2∠NBM，
∵AB∥CD，
∴∠BOC=∠ABM=2∠NBM，
∵BN∥DE，
∴∠DEM=∠NBM，
∵∠BOC=∠DEM+∠CDE，
∴2∠NBM=4α+∠NBM，
∴∠NBM=4α，
∵∠EDM+∠DEM+∠NMB=180°，
∴∠NMB=180°-3α-4α=180°-7α．
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；
（2）过点P作PN∥AB，过点Q作QM∥AB，根据平行线的性质可得∠BPN=180°-∠B=180°-125°=55°，∠CQM=180°-∠C=180°-145°=35°，再利用角的运算可得∠PQM=∠PQC-∠CQM=65°-35°=30°，所以∠NPQ=∠PQM=30°，再利用角的运算可得∠BPQ=∠BPN+∠NPQ=55°+30°=85°；
（3）延长BM交CD于点O，先求出∠CDE=4α，∠ABE=2∠NBM，再结合∠BOC=∠DEM+∠CDE，可得2∠NBM=4α+∠NBM，求出∠NBM=4α，最后利用∠NMB=180°-3α-4α=180°-7α计算即可。
27．【答案】（1）①②③
（2）解：由已知可以给图B标上尺寸如下：
∴图B的外围周长为6×3＋4×4+4×6＝58．
（3）解：能．如图所示．
外围周长为6×8＋4×4＋3×2＝48＋16＋6＝70．
【解析】【解答】解：（1）根据长方体展开图的特征可得答案为：①②③；
【分析】（1）根据长方体展开图的特征即可得出答案；
（2）观察图形可知图B的外围周长有四个长，四个宽，六个高围成，再代入计算即可；
（3）钥匙展开图的外围周长最大，应尽量使连在一起的棱为较短的棱即可。
28．【答案】（1）45°；90°；70°
（2）解：猜想： ∠BOD=2∠COE；理由如下：
设∠COE=α.得∠DOE=90°-α，
∴∠AOD=2∠DOE =2（90°-α）
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-2（90°-α）=2α
∴∠BOD=2∠COE．
（3）解：∠BOD=2∠COE，理由如下：
设∠COE=β.得∠DOE=90°-β，
∴∠AOD=2∠DOE =2（90°-β）
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-2（90°-β）=2β
∴∠BOD=2∠COE．
∵OE平分∠AOD．
∴∠COE=∠DOE=12∠AOD=12×90°=45°
图2中，∵∠COE=35°
∴∠DOE=90°-∠COE=90°-35°=55°
∵OE平分∠AOD
∠AOD=2∠DOE =2×55°=110°
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-110°=70°，
故答案是：45°，90°，70°；
【分析】
【解析】（1）根据角的运算求解即可；
（2）设∠COE=α.得∠DOE=90°-α，得出∠AOD=2∠DOE =2（90°-α），得出∠BOD=2α，即可得出结论；
（3）设∠COE=β.得∠DOE=90°-β，得出∠BOD=2∠COE．根据角平分线的性质得出∠COE、∠AOD的度数，从而得出答案。
29．【答案】（1）解：∠γ=α+∠β，
理由：过点P作PF∥l1（如图1），
∵l1∥l2，
∴PF∥l2，
∴∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，
∴∠γ=∠DPF+∠CPF=α+∠β；
（2）解：当点P在MB上运动时（如图2），
∵l1∥l2，
∴∠β=∠CFD，
∵∠CFD是△DFP的外角，
∴∠CFD=∠α+∠γ，
∴∠β=∠γ+∠α，
同理可得，当点P在AN上运动时，∠α=∠γ+∠β.
【解析】【分析】（1）过点P作PF//l1，根据平行线的性质可得∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，再利用角的运算和等量代换可得∠γ=∠DPF+∠CPF=α+∠β；
（2）当点P在MB上运动时，根据平行线的性质可得∠β=∠CFD，利用三角形外角的性质可得∠CFD=∠α+∠γ，再利用等量代换可得∠β=∠γ+∠α，同理可得，当点P在AN上运动时，∠α=∠γ+∠β，从而得解
专题13 图形认识初步、平行线与相交线 2023年江西省中考数学一轮复习专题练习
一、单选题
1．（2022七下·寻乌期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，∠DOF=90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；②OD为∠EOG的平分线；③若∠AOD=150°时，∠EOF=30°；④∠BOG=∠EOF．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022七下·宜春期末）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点P到直线l的距离为（ ）
A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm
3．（2022七下·遂川期末）如图所示，在所标识的角中，内错角是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠2和∠4 D．∠1和∠3
4．（2022七下·寻乌期末）如图，已知直线a∥b，点B在直线a上，点A，C在直线b上，且AB⊥BC．若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
5．（2022七下·南康期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
6．（2022七下·萍乡期末）如图，在△ABC中。∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
7．（2022七下·萍乡期末）如图，已知∠1=∠2，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．∠C=∠A B．AD∥BC C．AB∥CD D．∠3=∠4
8．（2022七下·抚州期末）中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如下图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·江西模拟）如图，直线a//b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90∘.若∠1+∠B=70∘，则∠2的度数为()
A．20∘ B．40∘ C．30∘ D．25∘
10．（2022七下·宜黄期中）下列说法正确的是（ ）
A．同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线
C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行
D．一条直线有可能同时与两条相交的直线平行
二、填空题
11．（2020八上·萍乡期末）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=15°，那么∠2的度数是
12．（2022七下·宜黄期中）如图，直线a//直线b，一个含30°角的直角三角尺的两个锐角顶点分别落在直线a、b上．若∠1=70°，则∠2= ．
13．（2021七上·章贡期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC=100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 ．
14．（2022七下·宜黄期中）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则表示点A到直线CD所在直线的距离为线段 的长度．
15．（2022七下·宜黄期中）将直角三角板ABC按如图所示的位置放置，∠ABC=45°，∠ACB=90°，直线CE//AB，BE平分∠ABC，在直线CE上确定一点D，满足∠BDC=30°，则∠EBD= ．
16．（2021七上·乐平期末）如图，点C、D在线段AB上，线段AC=BD，若线段AB=15cm，AD=11cm，则线段CD的长度为 cm．
17．（2021七上·乐平期末）已知点C在线段AB上，点D、E分别是AC和BC的中点，若DE=10cm，则AB= cm．
18．（2022七下·宜黄期中）根据题意结合图形填空．
如图，CD//AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，试说明EF//CD．
解：因为CD//AB，（已知）
所以 ▲ =∠DCB=70°，（ ）
所以∠ABF=∠CBA-∠CBF=70°-20°=50°，
所以∠EFB+∠ABF=130°+50°=180°，
所以EF// ▲ .（ ）
又因为CD//AB，（已知）
所以EF//CD．（ ）
19．（2021七上·乐平期末）把弯曲的道路改直，就能缩短里程，其中蕴含的数学道理是 ．
20．（2022七下·抚州期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠2=42°，则∠1的度数为 ．
三、作图题
21．（2022七下·宜黄期中）如图，已知∠α、∠β，请用直尺和圆规求作∠MON，使得∠MON=∠a−∠β．（不写作法，保留作图痕迹）
22．（2021九上·南昌期末）如图，□ABCD 的顶点A、B、D都在⊙O上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图：
（1）在图1中，画出一条弦与AD相等；
（2）在图2中，画出一条直线与AB垂直平分．
23．（2021七上·乐平期末）如图，已知A、B、C、D四点．
（ 1 ）画直线AD、射线BC相交于点E．
（ 2 ）画线段AC、线段BD相交于点F．
（ 3 ）画线段CD，在线段CD上找一点O，使OE+OF最短．
24．（2022九下·乐平期中）如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请用无刻度直尺完成下列作图．
（1）如图1，以点C或点B为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余（并标记）．
（2）如图2，已知AD∥BC交⊙O于点D，过点A作AE将∠BAC平分．
25．（2022·寻乌模拟）如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．
（1）在图1中，过点O作AC的平行线；
（2）在图2中，过点E作AC的平行线．
四、综合题
26．（2022七下·宜黄期中）“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路沟通了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了以下问题：
如图1，AB//CD，点E在直线AB、CD之间．求证：∠DEB+∠B-∠D=180°．
小贤的解法如下：
解：如图1，过点E作EF∥AB．
因为AB∥CD，所以EF∥CD．
因为AB∥EF，所以∠B+∠BEF=180°．
因为EF∥CD，所以∠D=∠DEF（根据1），
所以∠DEB=∠B+∠BEF-∠B+∠DEF=180°-∠B+∠D，
即∠DEB+∠B-∠D=180°．
（1）材料中的根据1是指 ．
（2）若把图1变为图2，其中AB∥CD，∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求∠BPQ的度数．
（3）如图3，AB∥CD，M是∠CDE内部一点，且∠CDM=14∠CDE，延长MD与BN交于点N，∠NBM=12∠ABE，且BN∥DE．已知∠CDM=α(0°<α<11°)，则∠NMB的度数为 （用含α的式子表示）．
27．（2021七上·章贡期末）
（1）如图所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 （填序号）．
（2）图A，B分别是题（1）中长方体的两种表面展开图，求得图A的外围周长为52，请你求出图B的外围周长．
（3）第（1）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长．
28．（2021七上·乐平期末）如图1，一块三角板的一条直角边OC放在直线AB上．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，使它的两直角边OC、OD均在直线AB的上方，得图2；将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使它的直角边OC在直线AB下方，OD在直线AB的上方得图3．OE始终平分∠AOD．
（1）图1中，∠COE的度数为 ，∠BOD= ；图2中，若∠COE=35°，则∠BOD= ．
（2）在图2中，猜想∠BOD与∠COE数量关系，并说明理由．
（3）在图3中，直接写出∠BOD与∠COE的数量关系．不必说明理由．
29．（2022七下·湘东期中）如图，已知l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于点A，B，射线ME分别和直线l1，l2交于点C，D，点P在射线MN上运动（P点与A，B，M三点不重合），设∠PDB=α，∠PCA=β，∠CPD=γ．
（1）如果点P在A，B两点之间运动时，α，β，γ之间有何数量关系？请说明理由；
（2）如果点P在A，B两点之外运动时，α，β，γ之间有何数量关系？（只需写出结论，不必说明理由）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，
∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；
故①符合题意；
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，
∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，
故④符合题意；
∵∠AOD=150°，
∴∠BOD=180°-150°=30°，
∴∠EOF=30°
故③符合题意；
若OD为∠EOG的平分线，则∠DOE=∠DOG，
∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，
∴∠EOF=30°，而无法确定∠EOF=30°，
∴无法说明②的符合题意性；
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的定义及角的运算逐项判断即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PC，
即点P到直线l的距离不大于3cm．
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短的性质可得答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∠1和∠2不是内错角，选项A不符合题意；
∠2和∠3是内错角，选项B符合题意；
∠2和∠4是同位角，选项C不符合题意；
∠1和∠3不是内错角，选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用内错角的定义逐项判断即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠1＝35°，AB⊥BC，
∴∠3＝180°-90°−35°＝55°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠3＝180°-90°−35°＝55°，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=55°。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝40°，
故答案为：A．
【分析】平行线的性质和三角形内角和定理的应用。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】平行线的性质。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∠1与∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，因此是对顶角，故①符合题意；
两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，因此∠3与∠4是同旁内角，故②符合题意；
∠5与∠6是邻补角，不是同旁内角，故③不符合题意；
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫作内错角，因此∠1与∠4是内错角，故④符合题意；
综上，正确的有①②④．
故答案为：C．
【分析】一般情况下，两条直线被第三条直线所截形成八个角，即“三线八角”，其中包含四组同位角，两组同旁内角，两组内错角，要深刻理解其区别与联系。
9．【答案】A
【解析】【解答】如图：
∵∠3为三角形的外角，
∴∠3=∠1+∠B=70∘，
∵a//b，
∴∠3+∠4+∠2=180∘，
∵∠4=90∘，∠3=70∘，
∴∠2=20∘．
故答案为：A．
【分析】根据三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠B=70∘，利用平行线的性质可得∠3+∠4+∠2=180°，从而得解.
10．【答案】C
【解析】【解答】A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故A项不符合题意；
B．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B项不符合题意；
C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行，故C项符合题意；
D．一条直线不可能同时与两条相交的直线平行，故D项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平面内两直线的位置关系逐项判断即可。
11．【答案】30°
【解析】【解答】如图所示：
由题意得，AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵三角板为含有45°角的直角三角板，
∴∠2=45°-∠3=45°-15°=30°．
故答案是：30°．
【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠3，由此得出答案。
12．【答案】40°
【解析】【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠2＋∠3＝∠2＋30°＝70°，
∴∠2＝40°．
故答案为：40°．
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠2＋∠3＝∠2＋30°＝70°，再求出∠2的度数即可。
13．【答案】5或23
【解析】【解答】解：∵∠BOC=100°，
∴∠AOC=80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如下图：
∠BON=12∠AOC=40°，
此时，三角板旋转的角度为90°-40°=50°，
∴t=50°÷10°=5；
当ON在∠AOC的内部时，如下图：
三角板旋转的角度为360°-90°-40°=230°，
∴t=230°÷10°=23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
【分析】当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，当ON在∠AOC的内部时，分为两种情况解答，求出t的值即可。
14．【答案】AD
【解析】【解答】∵CD⊥AB
∴AD⊥CD
则表示点A到直线CD所在直线的距离为线段AD的长度
故答案为：AD．
【分析】根据点到直线的距离的定义可得答案。
15．【答案】7.5°或127.5°
【解析】【解答】解：D在C的左边，如图，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°
∴∠ABE=12∠ABC=22.5°，
∵CE∥AB，
∴∠ABD=180°-∠BDC=150°，
∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=150°-22.5°=127.5°；
D在C的右边，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=22.5°，
∵CE∥AB，
∴∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠EBD=30°-22.5°=7.5°．
故∠EBD=7.5°或127.5°．
故答案为：7.5°或127.5°．
【分析】分两种情况：D在C的左边；D在C的右边，根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解。
16．【答案】7
【解析】【解答】∵AB=15cm，AD=11cm
∴BD=AB-AD=15-11=4cm
∵AC=BD=4cm
∴CD=AD-AC=11-4=7cm
故答案为7
【分析】先根据题意求出BD的值，再根据AC=BD=4cm，即可得出CD的值。
17．【答案】20
【解析】【解答】解：如图所示：
∵D、E分别是AC和BC的中点
∴DE=DC+CE=12AC+12BC=12AB
又∵DE=10cm
∴AB=20cm
故答案为：20．
【分析】根据线段中点的性质可得DE=DC+CE=12AC+12BC=12AB，再根据DE=10cm，即可求出AB的值。
18．【答案】解：因为CD//AB，（已知）
所以∠CBA=∠DCB=70°，（两直线平行，内错角相等）
所以∠ABF=∠CBA-∠CBF=70°-20°=50°，
所以∠EFB+∠ABF=130°+50°=180°，
所以EF//AB．（同旁内角互补，两直线平行）
又因为CD//AB，（已知）
所以EF//CD．（平行公理的推论）．
【解析】【分析】根据平行线的判定方法和性质求解即可。
19．【答案】两点之间线段最短
【解析】【解答】把弯曲的道路改直，就能缩短里程，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短．
故答案是：两点之间线段最短．
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短可得答案。
20．【答案】48°
【解析】【解答】解：如图，过点D'作D'H∥AB，
∴∠2=∠4，
∵长方形纸片ABCD，
∴AB∥CD，∠D=∠D'=90°，
∴D'H∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，，
∵∠2=42°
∴∠1=48°，
故答案为：48°．
【分析】过点D`作BA的平行线，由平行线的性质可知∠1与∠2互余。
21．【答案】解：∠MON，如图所示：
【解析】【分析】根据角的作图方法求解即可。
22．【答案】（1）解：BE 就是所求作的弦；
（2）解：FG 就是所求作的垂直平分线．
【解析】【分析】（1）根据 画出一条弦与AD相等 作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质作图即可。
23．【答案】⑴解：如下图所示：直线AD、射线BC、点E即为所求；
⑵解：如下图所示：线段AC、线段BD、点F即为所求；
⑶解：当点E，O，F 三点共线时，OE+OF，
如下图所示：线段CD，点O即为所求．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）根据要求作出图形即可。
24．【答案】（1）解：连接CO（或BO）并延长，交⊙O于点P（或Q），连接BP（或CQ），CP（或BQ），则∠BCP（或∠CBQ）与∠CAB互余．
标记如图．
（2）解：如图，连接CD交AB于点F．连接FO，并延长交⊙O于点E，连接AE即可．
【解析】【分析】（1）连接CO（或BO）并延长，交⊙O于点P（或Q），连接BP（或CQ），CP（或BQ），则∠BCP（或∠CBQ）与∠CAB互余；
（2）连接CD交AB于点F．连接FO，并延长交⊙O于点E，连接AE即可．
25．【答案】（1）解：如图所示（答案不唯一）：
（2）解：如图所示（答案不唯一）：
【解析】【分析】（1）根据要求作出过点O的平行线即可；
（2）根据要求作出过点E的平行线即可。
26．【答案】（1）两直线平行，内错角相等
（2）解：如图，过点P作PN∥AB，过点Q作QM∥AB，
∵AB∥CD，
∴PN∥QM∥CD，
∴∠B+∠BPN=180°，∠NPQ=∠PQM，∠MQC+∠C=180°，
∵∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，
∴∠BPN=180°-∠B=180°-125°=55°，∠CQM=180°-∠C=180°-145°=35°，
∴∠PQM=∠PQC-∠CQM=65°-35°=30°，
∴∠NPQ=∠PQM=30°，
∴∠BPQ=∠BPN+∠NPQ=55°+30°=85°；
（3）180°-7α
【解析】【解答】（1）解：材料中的根据1是指两直线平行，内错角相等；
故答案为：两直线平行，内错角相等
（3）解：如图，延长BM交CD于点O，
∵∠CDM=14∠CDE，∠CDM=α，
∴∠CDE=4α，
∴∠EDM=∠CDE-∠CDM=3α，
∵∠NBM=12∠ABE，
∴∠ABE=2∠NBM，
∵AB∥CD，
∴∠BOC=∠ABM=2∠NBM，
∵BN∥DE，
∴∠DEM=∠NBM，
∵∠BOC=∠DEM+∠CDE，
∴2∠NBM=4α+∠NBM，
∴∠NBM=4α，
∵∠EDM+∠DEM+∠NMB=180°，
∴∠NMB=180°-3α-4α=180°-7α．
【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；
（2）过点P作PN∥AB，过点Q作QM∥AB，根据平行线的性质可得∠BPN=180°-∠B=180°-125°=55°，∠CQM=180°-∠C=180°-145°=35°，再利用角的运算可得∠PQM=∠PQC-∠CQM=65°-35°=30°，所以∠NPQ=∠PQM=30°，再利用角的运算可得∠BPQ=∠BPN+∠NPQ=55°+30°=85°；
（3）延长BM交CD于点O，先求出∠CDE=4α，∠ABE=2∠NBM，再结合∠BOC=∠DEM+∠CDE，可得2∠NBM=4α+∠NBM，求出∠NBM=4α，最后利用∠NMB=180°-3α-4α=180°-7α计算即可。
27．【答案】（1）①②③
（2）解：由已知可以给图B标上尺寸如下：
∴图B的外围周长为6×3＋4×4+4×6＝58．
（3）解：能．如图所示．
外围周长为6×8＋4×4＋3×2＝48＋16＋6＝70．
【解析】【解答】解：（1）根据长方体展开图的特征可得答案为：①②③；
【分析】（1）根据长方体展开图的特征即可得出答案；
（2）观察图形可知图B的外围周长有四个长，四个宽，六个高围成，再代入计算即可；
（3）钥匙展开图的外围周长最大，应尽量使连在一起的棱为较短的棱即可。
28．【答案】（1）45°；90°；70°
（2）解：猜想： ∠BOD=2∠COE；理由如下：
设∠COE=α.得∠DOE=90°-α，
∴∠AOD=2∠DOE =2（90°-α）
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-2（90°-α）=2α
∴∠BOD=2∠COE．
（3）解：∠BOD=2∠COE，理由如下：
设∠COE=β.得∠DOE=90°-β，
∴∠AOD=2∠DOE =2（90°-β）
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-2（90°-β）=2β
∴∠BOD=2∠COE．
∵OE平分∠AOD．
∴∠COE=∠DOE=12∠AOD=12×90°=45°
图2中，∵∠COE=35°
∴∠DOE=90°-∠COE=90°-35°=55°
∵OE平分∠AOD
∠AOD=2∠DOE =2×55°=110°
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-110°=70°，
故答案是：45°，90°，70°；
【分析】
【解析】（1）根据角的运算求解即可；
（2）设∠COE=α.得∠DOE=90°-α，得出∠AOD=2∠DOE =2（90°-α），得出∠BOD=2α，即可得出结论；
（3）设∠COE=β.得∠DOE=90°-β，得出∠BOD=2∠COE．根据角平分线的性质得出∠COE、∠AOD的度数，从而得出答案。
29．【答案】（1）解：∠γ=α+∠β，
理由：过点P作PF∥l1（如图1），
∵l1∥l2，
∴PF∥l2，
∴∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，
∴∠γ=∠DPF+∠CPF=α+∠β；
（2）解：当点P在MB上运动时（如图2），
∵l1∥l2，
∴∠β=∠CFD，
∵∠CFD是△DFP的外角，
∴∠CFD=∠α+∠γ，
∴∠β=∠γ+∠α，
同理可得，当点P在AN上运动时，∠α=∠γ+∠β.
【解析】【分析】（1）过点P作PF//l1，根据平行线的性质可得∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，再利用角的运算和等量代换可得∠γ=∠DPF+∠CPF=α+∠β；
（2）当点P在MB上运动时，根据平行线的性质可得∠β=∠CFD，利用三角形外角的性质可得∠CFD=∠α+∠γ，再利用等量代换可得∠β=∠γ+∠α，同理可得，当点P在AN上运动时，∠α=∠γ+∠β，从而得解
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