【备战2023高考】数学专题讲与练-考向02《充要条件、全称量词与存在量词全能练（新高考地区专用）

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考向02充要条件、全称量词与存在量词

【2021·全国·高考真题（理）】等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（       ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【2020·山东·高考真题】已知，若集合，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.

1．如何判断两个条件的充分必要关系
(1)定义法：若，则是的充分而不必要条件；若，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件；若，则是的既不充分也不必要条件.
(2)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.
2．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件．必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
3．判定全称命题“，”是真命题，需要对集合中的每一个元素，证明成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个，使成立．
4．对全称量词命题、存在量词命题进行否定的方法：
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
概括为：含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

1．从集合与集合之间的关系上看
设.
（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件.
2.常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语
等于

大于

小于

是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于

小于等于

大于等于

不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.

1．从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
2.全称量词命题的否定为，.
3.存在量词命题的否定为.
注：全称．存在量词命题的否定是高考常见考点之一.


1．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知为空间的两个平面，直线，那么“∥”是“”的（       ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充分且必要 D．不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可.
【详解】
当直线，∥，则，l与β相交，故充分性不成立；
当直线，且，时，∥，故必要性成立，
⸫“∥”是“”的的必要不充分条件.
故选：A.
2．（2022·山东聊城·三模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【详解】
由题意可知，命题“，”为真命题.
①当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
3．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）命题“，”的否定为___________.
【答案】，
【解析】
【分析】
对全称量词的否定用特称量词，直接写出.
【详解】
由全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，可得：命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.


1．（2022·江西·新余市第一中学三模（理））若，则“”是“”的（       ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】B
【解析】
【分析】
利用充分条件，必要条件的定义直接判断作答.
【详解】
依题意，取，满足，而，
当时，，当且仅当时取“=”，则，
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知a，b为非零实数，下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A：得；对于B：是既不充分也不必要条件；对于C：结合指数函数单调性可得：；对于D：结合对数函数定义域及单调性可得：．
【详解】
若，不妨设，显然不成立，，A错误；
若，不妨设，显然不成立，B错误；
若，因为在R上单调递增，则，C错误；
若，因为在上单调递增，则，
若，不妨设，显然不成立，D正确；
故选：D．
3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）中，“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
等价于，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
在三角形中，因为，所以，即
若，则，即，
若，由正弦定理，得，根据大边对大角，可知
所以“”是“”的充要条件
故选：C
4．（2022·浙江省江山中学模拟预测）非直角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（       ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】
【分析】
分析由“”能否推出“”，再分析由“”能否推出“”，根据充分条件与必要条件的定义判断.
【详解】
若满足，，
由余弦定理可得，
此时，，又，
所以“”不能推出“”，
所以“”不是“”的充分条件，
若满足，，
则，所以，
又，所以，
所以“”不能推出“”，
所以“”不是“”的必要条件，
故选：D.
5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合，根据集合的一个必要条件是，即选一个由成立能推出的选项即选项对应的集合包含A，由此可得答案.
【详解】
解不等式，即 ，得 ，
故，
所以的一个必要条件是，
则对于A, ，不一定是的子集，A错误；
对于B，，不是的子集，B错误；
对于C，，是的子集，C正确；
对于D, ,不一定是的子集，比如时，D错误；
故选：C
6．（2022·湖南·模拟预测）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．
【详解】
∵，
，
则，
可得“”是“”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（       ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【解析】
【分析】
作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答.
【详解】
对于①，由得：，，，则，①正确；
对于②，，，即，则，②正确；
对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；
对于④，当时，，，即，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
8．（2022·重庆·模拟预测）下列有关命题的说法正确的是(          )
A．若，则
B．“”的一个必要不充分条件是“”
C．若命题：，，则命题：，
D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么
【答案】C
【解析】
【分析】
A：根据向量加法的性质即可判断；
B：根据充分条件的概念即可判断；
C：根据含有一个量词的命题的否定的改写方法判断即可；
D：根据空间线面关系即可判断.
【详解】
A：若，则方向相反且，故A错误；
B：若，则，故“”是“”的充分条件，故B错误；
C：命题：，，则其否定为：，，故C正确；
D：如果，，，则无法判断α、β的位置关系，故D错误.
故选：C.
9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知函数和的定义域均为，记的最大值为，的最大值为，则使得“”成立的充要条件为（       ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
先解读选项ABC，D选项是成立的充分不必要条件，再判断得解.
【详解】
解：A选项表述的是的最小值大于的最大值；
B选项表述的是的最小值大于的最小值；
C选项表述的是的最大值大于的最大值成立的充要条件；
D选项是成立的充分不必要条件．
故选：C
10．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可．
【详解】
因为，等价于，恒成立，
设，
则 ．
所以命题为真命题的充要条件为，
所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为．
故选C．
【点睛】
解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．
11．（2022·山西太原·高三期末（文））给出下列四个结论：
①；
②的最小正周期为；
③；
④点和点分别在函数和的图象上，则两点距离的最小值为.
则所有正确结论的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
对①，构造函数通过导数研究单调性可证明；对②，变形后可求最小正周期；对③，将不等式分割研究可判断；对④，根据对称性求距离后可判断.
【详解】
对①，令，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，所以，故，故①正确；
对②，，所以其最小正周期，故②正确；
对③，令，，可知（当时等号成立），（当时等号成立）.
所以恒成立，即恒成立，即恒成立，故③错误；
对④，函数与互为反函数，根据对称性，只需要求上的点到直线的最小距离，设上任意一点，则到直线的距离，
令，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，
所以到直线的最小距离为，因此两点距离的最小值为，故④正确.
故选：C
12．（2022·四川德阳·二模（理））下列结论错误的是（       ）
A．“”是“”的充要条件
B．若，则方程一定有实根是假命题
C．在中，若“”则“”
D．命题：“，”，则：“，”
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A, ，故A正确﹔对于B，∵时，的符号不能确定，故 B正确；对于C，利用正弦定理可以判断 C正确；对于D，利用存在量词命题的否定可以判断 D错误.
【详解】
解：对于A,∵，∴，∴   A正确﹔
对于B，∵时，，不能确定方程是否有根，∴ B正确；
对于C，在中，∵，∴ C正确；
对于D，：，，∴ D错误.
故选：D.

1．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】
因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
3．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】
由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
5．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
6．（2021·全国·高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（       ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
7．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
8．（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（       ）
A．且 B．或
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
本题可通过、、、、得出结果.
【详解】
A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
9．（2020·天津·高考真题）设，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】
求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
10．（2020·北京·高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（       ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】
(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.
11．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】
依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.