【备战2023高考】数学专题讲与练-考向34《轻松搞定轨迹方程问题》（十大经典题型）全能练（新高考地区专用）

这是一份【备战2023高考】数学专题讲与练-考向34《轻松搞定轨迹方程问题》（十大经典题型）全能练（新高考地区专用），文件包含备战2023高考数学专题讲与练-考向34《轻松搞定轨迹方程问题》十大经典题型全能练原卷版docx、备战2023高考数学专题讲与练-考向34《轻松搞定轨迹方程问题》十大经典题型全能练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。

考向34 轻松搞定轨迹方程问题

题型一：直接法
题型二：定义法
题型三：相关点法
经典题型四：交轨法
经典题型五：参数法
经典题型六：点差法
经典题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
经典题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
经典题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
经典题型十：利用韦达定理求轨迹方程

（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为
故选：B
（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【解析】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.

方法技巧一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
方法技巧二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
方法技巧三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
方法技巧四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
方法技巧五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
方法技巧六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．


曲线的方程和方程的曲线
在直角坐标系中，如果是某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集，上述定义中

经典题型一：直接法
1．（2022·全国·高二课时练习）动点P与两个定点、的连线的斜率之积等于常数，求动点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状．




2．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知M（2，－1），N（0，1），动点P满足，则动点P的轨迹E的方程为______．
3．（2022·全国·高二课时练习）曲线C上任意一点P到点F（2，0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于，则C的方程为______．
4．（2022·江西南昌·三模（理））已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹是（    ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线
5．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）在平面直角坐标系内，为坐标原点，对于任意两点，，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为______.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知点A（－2，0）、B（3，0）．动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程为______．
经典题型二：定义法
7．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，，且的内切圆的圆心在直线上，求顶点的轨迹方程.




8．（2022·西藏·拉萨中学高二阶段练习）已知动圆M与圆外切与圆内切，则动圆圆心M的轨迹C的方程为___________.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ）
A． B． C． D．
10．（2022·辽宁丹东·高二期末）圆与圆相外切，与圆相内切，则圆的圆心在（    ）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
11．（2022·全国·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是______．
12．（2022·全国·高三专题练习（理））设圆的圆心为A，直线过点且与轴不重合，交圆A于两点，过作的平行线交于点．
(1)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；




经典题型三：相关点法
13．（2022·全国·高二课时练习）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点，且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.




14．（2022·全国·高二课时练习）已知P是圆O：上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使．则点M的轨迹E的方程为______．
15．（2022·全国·高二课时练习）在△ABC中，，，点C在直线上，则△ABC的重心G的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
16．（2022·全国·高二课时练习）当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（    ）
A． B．
C． D．
经典题型四：交轨法
17．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知反比例函数的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设､为双曲线C的两个顶点，点､是双曲线C上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹E的方程；
(3)设直线l过点，且与双曲线C交于A､B两点，与x轴交于点Q.当，且时，求点Q的坐标.




18．（2022·全国·模拟预测（文））设抛物线C：，过点的直线l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线相交于点P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求的最大值.




19．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P，且与C分别切于A、B两点，求的最小值．




20．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）




故点的轨迹方程为．
21．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习）若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
经典题型五：参数法
22．（2022·全国·高二课时练习）平面上一动点C的坐标为，则点C的轨迹E的方程为______．
23．（2022·江苏·周市高级中学高二阶段练习）已知直线与坐标轴的交点分别为A，B，则线段的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（    ）
A． B． C． D．
24．（2022·新疆·皮山县高级中学高二期末（文））已知，，当时，线段的中点轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
经典题型六：点差法
25．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.




26．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．




经典题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
27．（2022·重庆十八中高二阶段练习）点O是棱长为3的正方体的内切球心，点P满足且，则动点P所形成的平面图形的面积为________．
28．（多选题）（2022·广东·高二阶段练习）已知正方体的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（    ）

A．若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线
B．若点P到直线与到直线DC的距离相等，则点P的轨迹为抛物线
C．若点P到直线的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆
D．若与AB所成的角为，则点P的轨迹为双曲线
29．（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知正方体的边长为2，点，分别是为棱，的中点，点为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点的轨迹长为（    ）
A． B．2 C． D．1
30．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面上一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
31．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在长方体中，点在矩形内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，则点的轨迹是（    ）
A．线段 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
经典题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
32．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（      ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
33．（2022·河南开封·高二阶段练习（文））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
34．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的轨迹为（    ）
A．线段 B．直线
C．椭圆 D．椭圆的一部分
经典题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
35．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二开学考试）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（    ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
36．（2022·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（    ）
A．线段 B．直线 C．射线 D．圆
37．（2022·湖南·高二期中）已知平面向量，，满足，，，，，为坐标原点，则点的轨迹为（    ）
A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆
38．（2022·全国·高二课时练习）已知，，O为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点P的轨迹方程是（    ）
A． B．
C． D．
经典题型十：利用韦达定理求轨迹方程
39．（2022·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.




40．（2022·浙江·高三开学考试）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，点的轨迹方程是___________.
41．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆的方程为，斜率为1的动直线交椭圆于A，B两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆，圆心的轨迹方程为______．

1．（2015·山东·高考真题）关于，的方程，给出以下命题；
①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆．
其中，真命题的个数是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2020·全国·高考真题（文））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（    ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
3．（2019·北京·高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
4．（2014·福建·高考真题（文））在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2008·浙江·高考真题（理））如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）

A．圆 B．椭圆
C．一条直线 D．两条平行直线
6．（2015·浙江·高考真题（文））如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）

A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
7．（2009·上海·高考真题（文））点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2008·江西·高考真题（理））设点在直线 上，过点 作双曲线 的两条切线 ，切点为 ，定点．

（1）求证：三点共线；
（2）过点作直线 的垂线，垂足为 ，试求 的重心所在曲线方程．




经典题型一：直接法
1．【解析】设.则.
因为动点P与两个定点、的连线的斜率之积等于常数，
所以.
当k＝0时，y＝0（x≠±1），表示x轴，除去两点；
当，，它表示焦点在x轴上的双曲线除去两点．
2．【答案】
【解析】设P（x，y），则，，．由，
知，化简得，即动点P的轨迹E的方程为．
故答案为：.
3．【答案】
【解析】设P（x，y），由题意，
化简得，即C的方程为．
故答案为：.
4．【答案】C
【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，
圆心到，的距离分别是，，
则，，
所以，又因为，
，即，
得，即.
所以动圆圆心的轨迹方程为，
由方程可知，动圆圆心的轨迹为双曲线.
故选：C
5．【答案】
【解析】设，则①，
当时，①化为：；
当时，①化为：；
当时，①化为：；
当时，①化为：；
由此画出点的轨迹如下图所示，
所以轨迹的长度为.
故答案为：

6．【答案】
【解析】设，则，故由得，化简得，
故答案为：
经典题型二：定义法
7．【解析】设内切圆与边相切于点，与边相切于点，与边相切于点，
则易知，
∴点的轨迹是双曲线的右支（除去与轴的交点），且，，
∴，，，
∴顶点的轨迹方程是.
8．【答案】
【解析】设动圆圆心，半径为，因为圆M与圆外切与圆内切，圆心，，所以，则，于是点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支.
由题意，，于是，C的方程为：.
故答案为：.
9．【答案】A
【解析】由题意，设动圆的圆心为，半径为r，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为5.
而圆与定圆都内切，所以，，则.于是，动圆的圆心的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，则，故动圆的圆心的轨迹方程为.
故选：A.
10．【答案】A
【解析】设动圆的圆心为P，半径为r, 圆的圆心为, 半径为1；
圆的圆心为,，半径为3.
依题意得， ，则
所以点P的轨迹是椭圆.
故选：A
11．【答案】椭圆
【解析】可看作M（x，y）到的距离之和为，由于,所以点M的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
故答案为：椭圆
12．【解析】（1）由题意可知，故，又，故,故,

所以，故,又圆A标准方程为，从而，所以．由题设得，由椭圆的定义可得点的轨迹方程为，()；
经典题型三：相关点法
13．【解析】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为.
方案二：选条件②.
直线恒过点.
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.
方案三：选条件③.
设圆E的方程为.
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即.
（2）设.
因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为.
14．【答案】
【解析】设M（x，y），因为，所以P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，所以．
因为P是圆O：上的点，所以，即点M的轨迹E的方程为．
故答案为：.
15．【答案】B
【解析】∵△ABC的重心为G，则，
设 ，，
则，
即，
又点C在直线上，则.
故△ABC的重心G的轨迹方程为
故选：B
16．【答案】C
【解析】设，PQ的中点M的坐标为，
∵，∴
∴
又∵点P在圆上，
∴，即，
故选：C．
经典题型四：交轨法
17．【解析】(1)根据题意可得，反比例函数的顶点和焦点均在上，联立解得，故双曲线C的顶点坐标，.所以该等轴双曲线的焦距为，所以焦点坐标为，即，
(2)因为点､是双曲线C上不同的两个动点，故.设，，根据，分别共线，且在双曲线C上， ，有，且，两式相乘有，即，化简得.即轨迹E的方程为
(3)设，由题意直线有斜率且不为0，设，联立有，故，又，故，故，即，因为，故，即，代入韦达定理有，解得，故，故
18．【解析】(1)如图，结合图象可知，当直线l的斜率不存在时，直线l与C只有一个交点，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，
联立，化简可得.
设，，则有，，
由，可得，所以，，
从而结合点A在抛物线C上有，
即①，同理得②，
联立①②可得交点，即，故点P的轨迹方程为y=-1.

(2)结合（1）可得，，
所以.
因为，
所以，故的最大值为-4.
19．【解析】设椭圆的两切线为，．
①当轴或 轴时，对应 轴或轴，可知切点为；
②当与x轴不垂直且不平行时，，设的斜率为k，则，
的斜率为，并设 的交点为 ，
则的方程为，联立，
得： ，
∵直线与椭圆相切，∴，得，
∴，
∴k是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
∴得，其中，
∴交点的轨迹方程为：，∵也满足上式；
综上知：轨迹C方程为；

设 ，，则在与中应用余弦定理知，
，
即 ，即，
，
令，则，
，
当且仅当，即时，取得最小；
综上，的最小为.
20．【解析】(1)据题意，则，
点在双曲线上，则，
又，则，
∴，，，
∴双曲线的方程为．
(2)设，，直线l：，
联立，
，，
由题知，切线：，切线：，
记，则，
两式相加得，
将代入得③；
两式相减得得，
由得④，联立③和④得，
故，又，所以，则，
故点的轨迹方程为．
21．【答案】
【解析】设P（，），则Q（，-），
设点M（x，y），又A（-2，0），B（2，0），
所以直线PA的方程为①，
直线QB的方程为②．
由①得，由②得，
上述两个等式相乘可得，
∵P（，）在双曲线上，
∴，可得，∴
∴，化简可得，
即曲线的方程为，其离心率为，
故答案为：.

经典题型五：参数法
22．【答案】
【解析】令，所以，故，进而，
故答案为：
23．【答案】D
【解析】不妨设为直线与的轴的交点，为直线与的轴的交点，
则，故，
设，则且，
故C的轨迹与坐标轴为，
故选：D.
24．【答案】B
【解析】中点坐标为，
即，
，
，
，
．
故选：B
经典题型六：点差法
25．【解析】设，弦的中点，则，
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
所以，
当时，，
因为，所以，则，
整理得；
当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得
所以满足上述方程，
故点的轨迹方程.
26．【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，
设，当时，．
当时，，
两式相减得，即(*)，
因为，，，
所以，代入上式并化简得，显然满足方程.
所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
（2）设，在（1）中式子里，
将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.
（3）在（1）中式子里，
将，，代入上式可求得．
所以直线方程为．
经典题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
27．【答案】
【解析】点O是棱长为3的正方体的内切球心，所以O是中点，
点P满足，则点P在平面上，设与平面交于点，
，是平面内两条相交直线，所以平面，
平面，所以，同理可得：，
是平面内两条相交直线，所以平面，
正四棱锥中，易得为三角形的中心，
由等体积法可得：
所以
，

要满足，即，，
是边长为的等边三角形，所以其内切圆半径为
所以P所形成的平面图形是以为圆心为半径的圆及其内部区域，
所以其面积为.
故答案为：
28．【答案】ABD
【解析】对于A，在正方体中，，，，
所以平面，而点P在侧面ABCD上运动，且，
所以点P的轨迹就是直线BC，故A正确；
对于B，由正方体性质知，平面ABCD，
由线面垂直的性质定理知，即PB是点P到直线的距离，
在平面ABCD中，点P到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，
所以点P的轨迹是以点B为焦点，直线DC为准线的抛物线，故B正确；
对于C，若点P到直线的距离就是点P到点D的距离，
即平面ABCD内的点P满足，
即满足条件的点P的轨迹就是线段DC，不是椭圆，故C不正确；
对于D，如图以D为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，

P（x，y，0），，A（2，0，0），B（2，2，0），
则，，
利用空间向量求夹角知，
化简整理得：，即，
所以P的轨迹为双曲线，故D正确．
故选：ABD．
29．【答案】A
【解析】如图，分别作，的中点，，连接，，，，，

由题可知，
∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面；
又，又平面，平面，
∴平面，又，，平面，
∴平面平面，
由题意知平面，又点为四边形内（包括边界）的一动点，
∴线段，点的轨迹为，
∴.
故选：A．
30．【答案】B
【解析】如图所示，分别取棱、的中点、，连接、、、、，

因为、分别为、的中点，则，同理可得，，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
且，且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
当时，平面，则平面，
所以，点的轨迹为线段．
在中，．
在中，．
同理，在中，可得，所以，为等腰三角形．
设的中点为，连接．
当点位于的中点处时，，此时最短；当点位于、处时，最长．
易求得，
因此，线段长度的取值范围是．
故选：B.
31．【答案】A
【解析】如图所示，在长方体中，可得平面，
因为平面，所以，所以点到顶点的距离为，
又因为点到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，
所以点到线的距离与到对角线所在直线距离相等，
过点作的角平分线，类比到角平分面，此面与底面的交的是直线，
又由点在矩形内（包含边线）运动，所以点的轨迹是线段.
故选：A.

经典题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
32．【答案】A
【解析】设，由可得：
，
两边平方得：，
∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆.
故选：A
33．【答案】C
【解析】，表示点，
故复数的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.
故选：C
34．【答案】A
【解析】，根据复数的几何意义知表示点到定点与的距离之和为2，而，故点的轨迹为线段.
故选：A
经典题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
35．【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接，

则．又，
，即．
又，
点在射线上．
故的轨迹过的重心．
故选：B．
36．【答案】D
【解析】方法一：由题可知：，

又


所以，即
所以点C的轨迹是圆.
方法二：由题可知：，
如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，

所以
设 ，

又
所以
整理得：
所以点C的轨迹是圆.
故选：D.
37．【答案】C
【解析】建立平面直角坐标系，设，，
，


，可得，
可知点的轨迹为一个圆.
故选：C
38．【答案】B
【解析】由题意得，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即．
故选：B
经典题型十：利用韦达定理求轨迹方程
39．【解析】①若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，
设，，则，，
以线段AB为直径的圆过原点O，即，
所以，
所以，又，故O到AB的距离．
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为：．
40．【答案】
【解析】由得，，
因为与双曲线有唯一的公共点，即相切于点，
所以
化简得，，
所以过点且与垂直的直线为，
所以，
所以
所以点的轨迹是.
故答案为：
41．【答案】
【解析】设动直线的方程为，联立消去，得，
则，即,
设，，，由根与系数的关系得，，则，故，即，
∴圆心C的轨迹方程为．
故答案为：.

1．【答案】B
【解析】当时，方程表示双曲线；
当时，方程表示两条垂直于轴的直线；
当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
当时，方程表示圆；
当时，方程表示焦点在轴上的椭圆．
∴①③⑤正确.
故答案为：B
2．【答案】A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
3．【答案】C
【解析】由得,,,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.
如图所示,易知,
四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选C.
4．【答案】A
【解析】设，再设动点，动点到定点的“L­距离”之和等于，由题意可得：，即，当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；当时，方程化为；结合题目中给出四个选项可知，选项A中的图象符合要求，故选A．
5．【答案】B
【解析】本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆．
6．【答案】C
【解析】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
此题中平面上的动点满足，可理解为在以为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段与平面所成的角为，可知的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．
故可知动点的轨迹是椭圆．
故选C.
7．【答案】A
【解析】设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
8．【解析】证明：（1）设，由已知得到，且，，
设切线的方程为：由得

从而,解得
因此的方程为：
同理的方程为：
又在上，所以，
即点都在直线上
又也在直线上,所以三点共线
（2）垂线的方程为：，
由得垂足，
设重心
所以 解得
由 可得即为重心所在曲线方程．