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初中数学苏科版七年级上册6.3 余角 补角 对顶角随堂练习题
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这是一份初中数学苏科版七年级上册6.3 余角 补角 对顶角随堂练习题，共30页。试卷主要包含了下列说法中等内容，欢迎下载使用。
6.3 余角、补角、对顶角
1．（2022·江苏盐城·七年级期末）若∠α＝55°，则∠α的余角是（ ）
A．35° B．45° C．135° D．145°
2．（2022·江苏南通·七年级期末）已知∠α=35°，那么∠α的余角等于( )
A．35° B．55° C．65° D．145°
3．（2022·江苏扬州·七年级期末）若的补角是150°，则的余角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．（2022·江苏盐城·七年级期末）一个角的余角与这个角的补角之和为130°，这个角的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
5．（2022·江苏南通·七年级期末）一个角的度数为54°12'，则这个角的补角度数等于（ ）
A．125°48' B．125°88' C．135°48' D．136°48'
6．（2022·江苏泰州·七年级期末）下列说法：①对顶角相等；②如果a＞0、b＜0，那么ab＜0；③两点之间，线段最短；④若AB＝BC，则点B是线段AC的中点，其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2022·江苏无锡·七年级期末）下列说法中：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角是对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④若AB=BC，则点B为线段AC的中点．
其中说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022·江苏常州·七年级期末）一副三角尺按如图所示位置放置，为公共边，量角器中心与点重合，为刻度线．如果三角尺一边与刻度线重合，那么边与下列刻度线重合的是（ ）
A．刻度线 B．刻度线 C．刻度线 D．刻度线
9．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期末）已知的补角比它的余角的4倍还大，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·江苏无锡·七年级期末）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不确定
11．（2022·江苏宿迁·七年级期末）下列说法中：①延长射线AB；②经过三点一定能画出三条直线；③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；④点C是直线AB上的点，如果，则点C为AB的中点．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2022·江苏·射阳县第六中学七年级期末）已知∠α＝32°，则∠α的补角为_____度．
13．（2022·江苏镇江·七年级期末）若，则的余角为______度．
14．（2022·江苏扬州·七年级期末）一个角的度数是42°36′，则它的余角的度数为_____°．（结果用度表示）
15．（2022·江苏常州·七年级期末）已知∠α＝20°，则∠α的补角等于______度．
16．（2022·江苏苏州·七年级期末）已知∠A＝40°，则它的补角等于___．
17．（2022·江苏南京·七年级期末）若，则的余角为_______°，的补角为_______°．
18．（2022·江苏无锡·七年级期末）已知∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，则∠1_____∠3．（填“＞”，“＝”或“＜”）
19．（2022·江苏常州·七年级期末）的余角是__________．
20．（2022·江苏无锡·七年级期末）68°30′的余角为_____°．
21．（2022·江苏无锡·七年级期末）已知∠A＝60°，则∠A的补角是______度．
22．（2022·江苏南京·七年级期末）已知是的余角、是的补角，则比大________．
23．（2022·江苏泰州·七年级期末）一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是_____．
24．（2022·江苏江苏·七年级期末）一个角的余角比它的补角的还少15°，则这个角的度数为______．
25．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，直线CD经过点O，若OC平分∠AOB，则，依据是______．
26．（2022·江苏南通·七年级期末）如图，点O在直线AE上，射线OC平分∠AOE．如果∠DOB＝90°，∠1＝25°，那么∠AOB的度数为_____．
27．（2022·江苏南通·七年级期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC=100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________．
28．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=72°，则∠BOM=_________°．
29．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，，则______．
30．（2022·江苏江苏·七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD的度数为________．
31．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
(1)若∠BOE＝60°，求∠DOE的度数；
(2)若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．
32．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=60°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．
33．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把分成两部分．
(1)写出图中的对顶角___________，的补角是___________．
(2)已知，且，求的度数．
34．（2022·江苏苏州·七年级期末）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数．
35．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，．
（1）如果，求和的度数．
（2）如果，求的度数．
36．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝2∶3，OF平分∠BOE．
(1)若∠BOD＝65°，求∠BOE．
(2)若∠AOE＝∠BOF﹣10°，求∠COE．
37．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，直线AB和CD相交于点O，若，OA平分，求的度数．
38．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且．求∠AOC和∠DOE的度数．
39．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期末）直线、相交于点，平分，，，求与的度数．
40．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中与∠AOF互余的角是______，与∠COE互补的角是______；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC=∠EOF，求∠EOF的度数．
41．（2022·江苏扬州·七年级期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
(1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
(2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
(3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
42．（2022·江苏扬州·七年级期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= ∠COE；
(2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
(3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由.
43．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，点O在直线AB上，，OE是的平分线，．
（1）找出图中与相等的角，并说明理由；
（2）若，求的度数．
44．（2022·江苏江苏·七年级期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ；
(2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
45．（2022·江苏宿迁·七年级期末）若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．
46．（2022·江苏南京·七年级期末）已知与互为补角，平分．
(1)如图①，若，则______°，______°．
(2)如图②，若，求的度数；
(3)若，直接写出的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．
参考答案：
1．A
【解析】根据余角的定义即可得．
由余角定义得∠α的余角为90°减去55°即可．
解：由余角定义得∠α的余角等于90°﹣55°＝35°．
故选：A．
本题考查了余角的定义，熟记定义是解题关键．
2．B
【解析】根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角计算．
解：∵∠α=35°，
∴它的余角等于90°﹣35°=55°．
故选B．
本题考查余角的概念，掌握概念正确计算是本题的解题关键．
3．B
【解析】根据补角、余角的定义即可求解．
∵的补角是150°
∴=180°-150°=30°
∴的余角是90°-30°=60°
故选B．
此题主要考查余角、补角的求解，解题的关键是熟知如果两个角的和为90度，这两个角就互为余角；补角是指如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角
4．B
【解析】设这个角的度数为x．再用x表示出这个角的余角和补角的度数，最后根据题意列出一元一次方程并求解即可．
解：设这个角的度数为x，则这个角的余角是，这个角的补角是．
根据题意可得90°﹣x+180°﹣x＝130°，
解得：x＝70°，
所以这个角是70°
故选：B．
本题考查余角的定义，补角的定义，一元一次方程的实际应用，综合应用这些知识点是解题关键．
5．A
【解析】由计算求解即可．
解：∵
∴这个角的补角度数为
故选A．
本题考查了补角．解题的关键在于明确．
6．D
【解析】根据基础几何图形的概念即可判断．
解：A、对顶角相等；此项正确；
B、如果a＞0、b＜0，那么ab＜0；此项正确；
C、两点之间，线段最短；此项正确；
D、若AB＝BC，当点B在线段AC上时，则点B是线段AC的中点；故此项错误；
故选D．
本题考查常见图形的相关概念与性质，理解并细致掌握其定义是解题的关键．
7．A
【解析】根据对顶角的定义、两点之间线段最短、线段垂直平分线的逆定理．
解：①根据两点之间，线段最短，那么①正确；
②根据对顶角的定义，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，那么②错误；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么③错误；
④若AB=BC，则B在线段AC的垂直平分线上，即B不一定是线段AC的中点，那么④错误；
综上：正确的有①，共1个．
故选：A．
本题主要考查了对顶角、两点之间线段最短，熟练掌握对顶角的定义、两点之间线段最短是解决本题的关键．
8．A
【解析】由三角尺的特征可知，，由此即可计算出．
解：∵，，，
∴，
故选：A．
本题主要考查了三角尺中有关角的计算和角的度量，解题关键是利用余角的性质求出．
9．B
【解析】设这个角的度数为x，根据题意得180°−x＝4（90°−x）＋15°，从而解决此题．
解：设这个角的度数为x，
由题意得：180°−x＝4（90°−x）＋15°，
x＝65°．
故选：B．
本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解决本题的关键．
10．B
【解析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．
解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴两角互余．
故选：B．
本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．
11．A
【解析】根据直线，射线，线段和中点的定义判断对错求解．
解：①射线无限长，不可延长，故①错误．
②经过三点一定能画出1或3条直线，故②错误．
③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，相等的两个角不一定是对顶角，故③错误．
④点C是直线AB上的点，当点C在点A 的左侧时，也可以满足，但点C不是AB的中点．故④错误．
综上所述0个正确．
故选：A．
本题考查直线，射线，线段和中点的定义和性质，解题的关键是数量掌握基本定义及性质．
12．148
【解析】直接利用互补的定义得出答案．
解：∵∠α＝32°，
∴∠α的补角为：180°﹣32°＝148°．
故答案为：148．
此题主要考查了互补的定义，正确把握定义是解题的关键．
13．36.7
【解析】根据余角的定义计算即可．
解：∵=53.3°，
∴的余角=90°-53.3°
=36.7°，
故答案为：36.7．
本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于90°那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．
14．47.4
【解析】根据余角的定义即可得到结论．
解：这个角的余角=90°-42°36′=47°24′=47.4°，
故答案为：47.4．
本题考查了余角和补角，熟记余角的定义及度分秒的换算是解题的关键．
15．160
解：∵∠α=20°，
∴∠α的补角等于180°﹣20°=160°．
故答案为160．
16．140°
【解析】根据补角的和等于计算即可．
解：，
它的补角．
故答案为．
本题考查了补角的知识，熟记互为补角的两个角的和等于是解题的关键．
17． 48°##48度 138°##138度
【解析】根据两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，列式计算即可．
解：∠α的余角：90°-42°=48°，
∠α的补角：180°-42°=138°，
故答案为：48°、138°．
本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义，根据定义列式计算是解题关键．
18．＝
【解析】根据等（同）角的余角相等解答即可．
解：∵∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，
∴∠1=∠3，
故答案为：=．
本题考查余角，熟知同（等）角的余角相等是解答的关键．
19．
【解析】根据余角的定义即可求解．
的余角是90°-=
故答案为：．
此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．
20．21.5
【解析】利用90°减去68°30′，然后再把单位化成度即可．
解：90°﹣68°30′＝21°30′＝21.5°．
故答案为：21.5．
本题考查了余角的定义及角度单位的换算，掌握定义及单位换算标准是关键.1°=60′.
21．120
【解析】两角互余和为90°，互补和为180°，求∠A的补角只要用180°﹣∠A即可．
解：设∠A的补角为∠β，则∠β＝180°﹣∠A＝120°．
故答案为：120．
此题主要考查补角的定义，解题的关键是熟知两角互补和为180°．
22．
【解析】先根据余角性质得出∠2=90°-∠1，再根据补角性质得出∠3=180°-∠1，根据两角差计算即可．
解∵是的余角，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠2=90°-∠1，
∵是的补角，
∴∠3+∠1=180°，
∴∠3=180°-∠1，
∴∠3-∠2=180°-∠1-（90°-∠1）=90°．
故答案为：90．
本题考查余角性质，补角性质，角的和差，掌握余角性质，补角性质，角的和差是解题关键．
23．144°38′
【解析】根据余角是两个角的和为90°，这两个角互为余角，两个角的和为180°，这两个角互为补角，可得答案．
解：∵一个角的余角是54°38′
∴这个角为：90°﹣54°38′=35°22′，
∴这个角的补角为：180°﹣35°22′=144°38′．
故答案为144°38′．
24．30°##30度
【解析】根据互为余角和互为补角的定义得出等式进而得出答案．
解：设这个角度为x，则
90°﹣x＝（180°﹣x）﹣15°，
解得：x＝30°．
故答案为：30°．
本题主要考查了余角和补角的定义，正确得出等式是解题关键．
25．等角的补角相等
【解析】根据角平分线的定义和等角的补角相等解答即可．
解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠AOD=180°，∠BOC+∠BOD=180°，
∴∠AOD=∠BOD（等角的补角相等），
故答案为：等角的补角相等．
本题考查角平分线的定义、补角，熟知等角的补角相等是解答的关键．
26．
【解析】由题意易得∠AOC=∠EOC=90°，则有∠1+∠DOE=90°，∠AOB+∠DOE=90°，进而可得∠AOB=∠1，然后问题可求解．
解：∵OC平分∠AOE，∠AOE=180°，
∴∠AOC=∠EOC=90°，
∴∠1+∠DOE=90°，
∵∠DOB=90°，
∴∠AOB+∠DOE=90°，
∴∠AOB=∠1，
∵∠1=25°，
∴∠AOB=25°，
故答案为25°．
本题主要考查余角及角平分线的定义，熟练掌握同角的余角相等及角平分线的定义是解题的关键．
27．5或23##23或5
【解析】分两种情况进行讨论，分别依据直线ON恰好平分锐角∠AOC，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值．
解：∵∠BOC=100°，
∴∠AOC=80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如下图：
∠BON=∠AOC=40°，
此时，三角板旋转的角度为90°-40°=50°，
∴t=50°÷10°=5；
当ON在∠AOC的内部时，如下图：
三角板旋转的角度为360°-90°-40°=230°，
∴t=230°÷10°=23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
28．144
【解析】首先根据邻补角互补，对顶角相等可得∠AOC=72°，∠BOC=108°，再根据角平分线的性质可得∠MOC的度数，进而可得答案．
解：∵∠BOD=72°，
∴∠AOC=72°，∠BOC=108°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=36°，
∴∠BOM=∠BOC+∠MOC=144°．
故答案为：144．
本题主要考查了对顶角和邻补角，角平分线的定义，关键是掌握邻补角互补，对顶角相等．
29．30°##30度
【解析】根据邻补角性质，可得∠AOC＋∠BOC＝180°，结合已知∠AOC＝5∠BOC，解方程可求∠BOC．
解：∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，
∴∠AOC＋∠BOC＝180°，①
又∵∠AOC＝5∠BOC，②
把②代入①，可得5∠BOC＋∠BOC＝180°，
解得∠BOC＝30°．
故答案为：30°．
此题考查的是角的计算，能够根据邻补角的定义列出方程是解决此题关键．
30．36°
【解析】先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x＝72°，根据角平分线定义得到∠AOC∠EOC72°＝36°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC＝36°．
解：设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC∠EOC72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故答案为：36°
考查了角的计算，角平分线的定义和对顶角的性质．解题的关键是明确：直角＝90°；平角＝180°，以及对顶角相等．
31．(1)∠DOE=120°；
(2)∠AOF=45°．
【解析】（1）根据角平分线的定义，得出∠EOC=∠BOE=60°，利用邻补角定义求出∠DOE即可；
（2）根据角平分线的定义，∠BOD：∠BOE=2：3，求出∠BOD，再根据对顶角可求出∠AOC，利用垂直，求出∠AOF．
（1）
解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=60°，
∴∠EOC=∠BOE=60°，
∴∠DOE=180°-60°=120°；
（2）
解：∵∠BOD：∠BOE=2：3，
设∠BOD=x，则∠COE＝∠BOE＝x，
∵∠COE+∠BOE+∠BOD=180°，
∴x+x+x=180°，
∴x=45°，即∠BOD=45°，
∵OF⊥CD，∠AOC=∠BOD=45°，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=90°-45°=45°．
本题考查了角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，垂直定义，角的计算等；正确找出各个角之间的关系是正确计算的关键．
32．∠BOD=15°．
【解析】本题需先结合图形，得出∠AOC的度数，再根据OD平分∠AOC，得出∠AOD的度数，最后即可求出正确答案．
解：∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=75°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=15°．
本题主要考查了角平分线定义的应用以及角的计算．利用图形计算角的和差是解题的关键．
33．(1)，
(2)160°
【解析】（1）根据对顶角和补角的定义，即可求解；
（2）根据，可得，从而得到，即可求解．
(1)
解：根据题意得：的对顶角为；
的补角是，
故答案为：，；
(2)
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
本题主要考查了对顶角和补角的定义，角的和与差，邻补角的性质，熟练掌握对顶角和补角的定义，邻补角的性质是解题的关键．
34．∠3=50°，∠2=65°．
【解析】根据平角为180度可得∠3=180°-∠1-∠FOC ，根据对顶角相等可得∠AOD的度数，然后再根据角平分线定义进行计算即可
解：∵∠AOB=180°，
∴∠1+∠3+∠COF=180°，
∵∠FOC=90°，∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-∠FOC=50°， ∠BOC=∠1+∠FOC=130°，
∴∠AOD=∠BOC=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
本题主要考查了对顶角，邻补角性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
35．（1）70°，20°；（2）150°
【解析】（1）根据题意及余角、对顶角的意义可直接进行求解；
（2）设，则，则有，进而根据角的和差关系可求解．
解：（1），，
，；
（2）设，则，
，
即，
解得，，
，
．
本题主要考查余补角、对顶角的意义及一元一次方程的应用，熟练掌握余补角、对顶角的意义及一元一次方程的应用是解题的关键．
36．(1)∠BOE=154°；
(2)∠COE=42°．
【解析】（1）根据对顶角的定义，由∠AOC与∠BOD是对顶角，得∠AOC=∠BOD=65°．由∠AOE：∠EOC=2：3，求得∠AOE=∠AOC=26°．根据邻补角的定义，得∠BOE=180°-∠AOE=154°．
（2）设∠AOE=2x，∠EOC=3x．由∠AOE=∠BOF-10°，得∠BOF=4x+20°．根据角平分线的定义，由OF平分∠BOE，得∠BOE=2∠BOF=8x+40°．根据邻补角的定义，得∠AOE+∠BOE=2x+8x+40°=180°，进而解决此题．
（1）
解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=65°．
∵∠AOE：∠EOC=2：3，
∴∠AOE=∠AOC=26°．
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-26°=154°；
（2）
解：设∠AOE=2x，∠EOC=3x．
∵∠AOE=∠BOF-10°，
∴∠BOF=4x+20°．
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOE=2∠BOF=8x+40°．
∴∠AOE+∠BOE=2x+8x+40°=180°．
∴x=14°．
∴∠COE=3x=42°．
本题主要考查了对顶角、邻补角、角平分线，熟练掌握对顶角、邻补角、角平分线的定义是解决本题的关键．
37．100°
【解析】根据对顶角相等以及角平分线的性质可得出∠AOE的度数，再根据平角的定义即可得出∠EOD的度数．
解：∵∠BOD=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°.
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE=∠AOC=40°，
∴.
本题主要考查了角平分线的性质以及对顶角、邻补角的性质，难度不大．
38．50°，25°．
【解析】根据邻补角的性质，可得∠AOD+∠BOD＝180°，即，代入可得∠BOD，根据对顶角的性质，可得∠∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠DOE的数．
解：由邻补角的性质，得∠AOD+∠BOD＝180°，即
∵，
∴．
∴，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°，
∵OE平分∠BOD，得
∠DOE＝∠DOB＝25°．
本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角的性质，解题关键是熟记相关性质，根据角之间的关系建立方程求解．
39．∠3=50°，∠2=65°．
【解析】根据邻补角的性质、角平分线的定义进行解答即可．
∵∠FOC=90°，∠1=40°，
∴∠3=180°-∠FOC-∠1 =180°-90°-40°=50°，
∴∠AOD=180°-∠3=180°-50°=130°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
本题考查的是邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握邻补角之和等于180°是解题的关键．
40．（1）∠AOC、∠BOD；∠EOD、∠BOF；（2）∠EOF=144°．
【解析】（1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可；
（2）设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，根据周角为360度，即可解出x．
解：（1）图中与∠AOF互余的角是：∠AOC、∠BOD；
图中与∠COE互补的角是：∠EOD、∠BOF．
（2）∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠EOB=90°，∠FOD=90°，
又∵∠AOC=∠EOF，
设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，
根据题意可得：4x+x+90+90=360°，
解得：x=36°．
∴∠EOF=4x=144°．
本题考查了余角和补角的知识，注意结合图形进行求解．
41．(1)见解析
(2)
(3)
【解析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据等角的补角相等可得，进而根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等可得，进而根据角的和求解即可；
（3）根据角平分线的意义，以及角度的和差计算可得，即可求得答案．
（1）证明：OC平分∠BOD射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”
（2）射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，
（3）射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，
本题考查了新定义，等角的补角相等，根据邻补角求角度，角平分线的意义，几何图形中角度的和差关系，理解题意，数形结合是解题的关键．
42．(1)2
(2)
(3)或
【解析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；
（2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解；
（3）分两种情况讨论：①是内；②在外，分析清楚角关系求解即可．
（1）
解：，与射线重合，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）
解：由（1）得，，
是的角平分线，
，
，
；
（3）
解：能，
①当是内时，有：
，，
则，
解得：；
②当在外时，有：
，，
则，
解得：．
综上所述，的度数为或．
本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
43．（1），理由见解析；（2）
【解析】（1）利用垂直的定义以及同角的余角相等可得出∠COE=∠BOF；
（2）通过垂直的定义得到∠COA=90°，再由已知∠2-∠1=20°，得到∠1、∠2的值，然后由角平分线的定义得出结果．
解：（1）∵CO⊥AB，OF⊥OE，
∴∠COE+∠BOE=∠BOE+∠BOF=90°
∴∠COE=∠BOF；
（2）∵CO⊥AB，
∴∠COA=90°，即∠2=90°-∠1，
又∵∠2-∠1=20°，
∴∠2=20°+∠1，
∴90°-∠1=20°+∠1，
解得：∠1=35°，
∴∠2=55°，
∴∠BOD=180°-∠2=125°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE=∠DOE=∠BOD=62.5°．
本题考查垂直和角平分线的定义，同角的余角相等，掌 握相关概念正确推理计算是解题关键．
44．(1)∠BOC＝∠BOE．
(2)①存在，t=2.5或10或31；②40°
【解析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝∠AOC可得答案；
（2）①当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
②根据角的和差即可得到结论．
(1)
解：∠BOC＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE，
故答案为：∠BOC＝∠BOE；
(2)
①存在．
理由：∵∠COE＝130°，
∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31；
综上所述，t的值为2.5、10、31；
②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°．
本题主要考查角平分线的定义、余角的性质及角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．
45．(1)50
(2)25秒
(3)11或47
【解析】（1）由余角的性质可求解；
（2）由角的数量关系列出等式可求解；
（3）分两种情况讨论即可.
(1)
解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，
故答案为：50；
(2)
解：∵三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转，
∴经过t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40º，∠AOE=90º-2t，
∵，
∴2t-40º=（90º-2t），
解得t=25.
即运动时间为25秒.
(3)
解：图2中∠AOE=90º-2t=40º，∠D1O E1=∠DOE=90º
∵三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，
情况①如图：
经过秒后，∠EOE1=5t
∵直线OC恰好平分，
∴
∵∠BOC=40 º
∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140º
即40º+5t+45º=140º
解得：t=11；
情况②如图：
此时有：5t-10º-45º=180º，
解得t=47
故的值为11或47.
本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，平角的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
46．(1)，
(2)或
(3)答案见解析
【解析】（1）根据补角的定义可求度数，在利用角平分线的定义可求解度数，进而求解的度数；
（2）分两种情况：当在的外部时，当在的内部时，利用补角的定义结合角平分线的定义可求解；
（3）可分两种情况：当和互为邻补角时，即和在的不同侧时；当和在的同一侧时。而对于当和在的同一侧时可分为：当 时；当时；当时分别计算求解即可．
(1)
解：与互为补角，
，
，
平分，
，
，
故答案为：，；
(2)
解：当在的外部时，
与互为补角，
，
平分，
，
，
当在的内部时，
与互为补角，
，
平分，
，
，
的度数为或；
(3)
当和互为邻补角时，即和在的不同侧时，
，
，
平分，
，
，
即此时；
当和在的同一侧时，
当，如图，此时,，
平分，
,和重合，
；
当时，如图，
,，
平分，
，
，
，
即，此时，
当，如图，，，
平分，
，
，
即，此时，
综上，当和在的不同侧时，
，此时；
当和在的同一侧时，
当时，；
当时，；
当时，．
本题主要考查角的计算，三角形的外角定义，角平分线的性质，分类讨论是解决问题的关键．
6.3 余角、补角、对顶角
1．（2022·江苏盐城·七年级期末）若∠α＝55°，则∠α的余角是（ ）
A．35° B．45° C．135° D．145°
2．（2022·江苏南通·七年级期末）已知∠α=35°，那么∠α的余角等于( )
A．35° B．55° C．65° D．145°
3．（2022·江苏扬州·七年级期末）若的补角是150°，则的余角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．（2022·江苏盐城·七年级期末）一个角的余角与这个角的补角之和为130°，这个角的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
5．（2022·江苏南通·七年级期末）一个角的度数为54°12'，则这个角的补角度数等于（ ）
A．125°48' B．125°88' C．135°48' D．136°48'
6．（2022·江苏泰州·七年级期末）下列说法：①对顶角相等；②如果a＞0、b＜0，那么ab＜0；③两点之间，线段最短；④若AB＝BC，则点B是线段AC的中点，其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2022·江苏无锡·七年级期末）下列说法中：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角是对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④若AB=BC，则点B为线段AC的中点．
其中说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022·江苏常州·七年级期末）一副三角尺按如图所示位置放置，为公共边，量角器中心与点重合，为刻度线．如果三角尺一边与刻度线重合，那么边与下列刻度线重合的是（ ）
A．刻度线 B．刻度线 C．刻度线 D．刻度线
9．（2022·江苏·苏州市振华中学校七年级期末）已知的补角比它的余角的4倍还大，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·江苏无锡·七年级期末）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不确定
11．（2022·江苏宿迁·七年级期末）下列说法中：①延长射线AB；②经过三点一定能画出三条直线；③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；④点C是直线AB上的点，如果，则点C为AB的中点．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2022·江苏·射阳县第六中学七年级期末）已知∠α＝32°，则∠α的补角为_____度．
13．（2022·江苏镇江·七年级期末）若，则的余角为______度．
14．（2022·江苏扬州·七年级期末）一个角的度数是42°36′，则它的余角的度数为_____°．（结果用度表示）
15．（2022·江苏常州·七年级期末）已知∠α＝20°，则∠α的补角等于______度．
16．（2022·江苏苏州·七年级期末）已知∠A＝40°，则它的补角等于___．
17．（2022·江苏南京·七年级期末）若，则的余角为_______°，的补角为_______°．
18．（2022·江苏无锡·七年级期末）已知∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，则∠1_____∠3．（填“＞”，“＝”或“＜”）
19．（2022·江苏常州·七年级期末）的余角是__________．
20．（2022·江苏无锡·七年级期末）68°30′的余角为_____°．
21．（2022·江苏无锡·七年级期末）已知∠A＝60°，则∠A的补角是______度．
22．（2022·江苏南京·七年级期末）已知是的余角、是的补角，则比大________．
23．（2022·江苏泰州·七年级期末）一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是_____．
24．（2022·江苏江苏·七年级期末）一个角的余角比它的补角的还少15°，则这个角的度数为______．
25．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，直线CD经过点O，若OC平分∠AOB，则，依据是______．
26．（2022·江苏南通·七年级期末）如图，点O在直线AE上，射线OC平分∠AOE．如果∠DOB＝90°，∠1＝25°，那么∠AOB的度数为_____．
27．（2022·江苏南通·七年级期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC=100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________．
28．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=72°，则∠BOM=_________°．
29．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，，则______．
30．（2022·江苏江苏·七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD的度数为________．
31．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
(1)若∠BOE＝60°，求∠DOE的度数；
(2)若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．
32．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=60°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．
33．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把分成两部分．
(1)写出图中的对顶角___________，的补角是___________．
(2)已知，且，求的度数．
34．（2022·江苏苏州·七年级期末）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数．
35．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，．
（1）如果，求和的度数．
（2）如果，求的度数．
36．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝2∶3，OF平分∠BOE．
(1)若∠BOD＝65°，求∠BOE．
(2)若∠AOE＝∠BOF﹣10°，求∠COE．
37．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，直线AB和CD相交于点O，若，OA平分，求的度数．
38．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且．求∠AOC和∠DOE的度数．
39．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期末）直线、相交于点，平分，，，求与的度数．
40．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中与∠AOF互余的角是______，与∠COE互补的角是______；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC=∠EOF，求∠EOF的度数．
41．（2022·江苏扬州·七年级期末）如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”．
(1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
(2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
(3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由．
42．（2022·江苏扬州·七年级期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= ∠COE；
(2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
(3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由.
43．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，点O在直线AB上，，OE是的平分线，．
（1）找出图中与相等的角，并说明理由；
（2）若，求的度数．
44．（2022·江苏江苏·七年级期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ；
(2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
45．（2022·江苏宿迁·七年级期末）若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°；
(2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值；
(3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值．
46．（2022·江苏南京·七年级期末）已知与互为补角，平分．
(1)如图①，若，则______°，______°．
(2)如图②，若，求的度数；
(3)若，直接写出的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．
参考答案：
1．A
【解析】根据余角的定义即可得．
由余角定义得∠α的余角为90°减去55°即可．
解：由余角定义得∠α的余角等于90°﹣55°＝35°．
故选：A．
本题考查了余角的定义，熟记定义是解题关键．
2．B
【解析】根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角计算．
解：∵∠α=35°，
∴它的余角等于90°﹣35°=55°．
故选B．
本题考查余角的概念，掌握概念正确计算是本题的解题关键．
3．B
【解析】根据补角、余角的定义即可求解．
∵的补角是150°
∴=180°-150°=30°
∴的余角是90°-30°=60°
故选B．
此题主要考查余角、补角的求解，解题的关键是熟知如果两个角的和为90度，这两个角就互为余角；补角是指如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角
4．B
【解析】设这个角的度数为x．再用x表示出这个角的余角和补角的度数，最后根据题意列出一元一次方程并求解即可．
解：设这个角的度数为x，则这个角的余角是，这个角的补角是．
根据题意可得90°﹣x+180°﹣x＝130°，
解得：x＝70°，
所以这个角是70°
故选：B．
本题考查余角的定义，补角的定义，一元一次方程的实际应用，综合应用这些知识点是解题关键．
5．A
【解析】由计算求解即可．
解：∵
∴这个角的补角度数为
故选A．
本题考查了补角．解题的关键在于明确．
6．D
【解析】根据基础几何图形的概念即可判断．
解：A、对顶角相等；此项正确；
B、如果a＞0、b＜0，那么ab＜0；此项正确；
C、两点之间，线段最短；此项正确；
D、若AB＝BC，当点B在线段AC上时，则点B是线段AC的中点；故此项错误；
故选D．
本题考查常见图形的相关概念与性质，理解并细致掌握其定义是解题的关键．
7．A
【解析】根据对顶角的定义、两点之间线段最短、线段垂直平分线的逆定理．
解：①根据两点之间，线段最短，那么①正确；
②根据对顶角的定义，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，那么②错误；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么③错误；
④若AB=BC，则B在线段AC的垂直平分线上，即B不一定是线段AC的中点，那么④错误；
综上：正确的有①，共1个．
故选：A．
本题主要考查了对顶角、两点之间线段最短，熟练掌握对顶角的定义、两点之间线段最短是解决本题的关键．
8．A
【解析】由三角尺的特征可知，，由此即可计算出．
解：∵，，，
∴，
故选：A．
本题主要考查了三角尺中有关角的计算和角的度量，解题关键是利用余角的性质求出．
9．B
【解析】设这个角的度数为x，根据题意得180°−x＝4（90°−x）＋15°，从而解决此题．
解：设这个角的度数为x，
由题意得：180°−x＝4（90°−x）＋15°，
x＝65°．
故选：B．
本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解决本题的关键．
10．B
【解析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．
解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴两角互余．
故选：B．
本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．
11．A
【解析】根据直线，射线，线段和中点的定义判断对错求解．
解：①射线无限长，不可延长，故①错误．
②经过三点一定能画出1或3条直线，故②错误．
③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，相等的两个角不一定是对顶角，故③错误．
④点C是直线AB上的点，当点C在点A 的左侧时，也可以满足，但点C不是AB的中点．故④错误．
综上所述0个正确．
故选：A．
本题考查直线，射线，线段和中点的定义和性质，解题的关键是数量掌握基本定义及性质．
12．148
【解析】直接利用互补的定义得出答案．
解：∵∠α＝32°，
∴∠α的补角为：180°﹣32°＝148°．
故答案为：148．
此题主要考查了互补的定义，正确把握定义是解题的关键．
13．36.7
【解析】根据余角的定义计算即可．
解：∵=53.3°，
∴的余角=90°-53.3°
=36.7°，
故答案为：36.7．
本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于90°那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．
14．47.4
【解析】根据余角的定义即可得到结论．
解：这个角的余角=90°-42°36′=47°24′=47.4°，
故答案为：47.4．
本题考查了余角和补角，熟记余角的定义及度分秒的换算是解题的关键．
15．160
解：∵∠α=20°，
∴∠α的补角等于180°﹣20°=160°．
故答案为160．
16．140°
【解析】根据补角的和等于计算即可．
解：，
它的补角．
故答案为．
本题考查了补角的知识，熟记互为补角的两个角的和等于是解题的关键．
17． 48°##48度 138°##138度
【解析】根据两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，列式计算即可．
解：∠α的余角：90°-42°=48°，
∠α的补角：180°-42°=138°，
故答案为：48°、138°．
本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义，根据定义列式计算是解题关键．
18．＝
【解析】根据等（同）角的余角相等解答即可．
解：∵∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，
∴∠1=∠3，
故答案为：=．
本题考查余角，熟知同（等）角的余角相等是解答的关键．
19．
【解析】根据余角的定义即可求解．
的余角是90°-=
故答案为：．
此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．
20．21.5
【解析】利用90°减去68°30′，然后再把单位化成度即可．
解：90°﹣68°30′＝21°30′＝21.5°．
故答案为：21.5．
本题考查了余角的定义及角度单位的换算，掌握定义及单位换算标准是关键.1°=60′.
21．120
【解析】两角互余和为90°，互补和为180°，求∠A的补角只要用180°﹣∠A即可．
解：设∠A的补角为∠β，则∠β＝180°﹣∠A＝120°．
故答案为：120．
此题主要考查补角的定义，解题的关键是熟知两角互补和为180°．
22．
【解析】先根据余角性质得出∠2=90°-∠1，再根据补角性质得出∠3=180°-∠1，根据两角差计算即可．
解∵是的余角，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠2=90°-∠1，
∵是的补角，
∴∠3+∠1=180°，
∴∠3=180°-∠1，
∴∠3-∠2=180°-∠1-（90°-∠1）=90°．
故答案为：90．
本题考查余角性质，补角性质，角的和差，掌握余角性质，补角性质，角的和差是解题关键．
23．144°38′
【解析】根据余角是两个角的和为90°，这两个角互为余角，两个角的和为180°，这两个角互为补角，可得答案．
解：∵一个角的余角是54°38′
∴这个角为：90°﹣54°38′=35°22′，
∴这个角的补角为：180°﹣35°22′=144°38′．
故答案为144°38′．
24．30°##30度
【解析】根据互为余角和互为补角的定义得出等式进而得出答案．
解：设这个角度为x，则
90°﹣x＝（180°﹣x）﹣15°，
解得：x＝30°．
故答案为：30°．
本题主要考查了余角和补角的定义，正确得出等式是解题关键．
25．等角的补角相等
【解析】根据角平分线的定义和等角的补角相等解答即可．
解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠AOD=180°，∠BOC+∠BOD=180°，
∴∠AOD=∠BOD（等角的补角相等），
故答案为：等角的补角相等．
本题考查角平分线的定义、补角，熟知等角的补角相等是解答的关键．
26．
【解析】由题意易得∠AOC=∠EOC=90°，则有∠1+∠DOE=90°，∠AOB+∠DOE=90°，进而可得∠AOB=∠1，然后问题可求解．
解：∵OC平分∠AOE，∠AOE=180°，
∴∠AOC=∠EOC=90°，
∴∠1+∠DOE=90°，
∵∠DOB=90°，
∴∠AOB+∠DOE=90°，
∴∠AOB=∠1，
∵∠1=25°，
∴∠AOB=25°，
故答案为25°．
本题主要考查余角及角平分线的定义，熟练掌握同角的余角相等及角平分线的定义是解题的关键．
27．5或23##23或5
【解析】分两种情况进行讨论，分别依据直线ON恰好平分锐角∠AOC，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值．
解：∵∠BOC=100°，
∴∠AOC=80°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，如下图：
∠BON=∠AOC=40°，
此时，三角板旋转的角度为90°-40°=50°，
∴t=50°÷10°=5；
当ON在∠AOC的内部时，如下图：
三角板旋转的角度为360°-90°-40°=230°，
∴t=230°÷10°=23；
∴t的值为：5或23．
故答案为：5或23．
本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
28．144
【解析】首先根据邻补角互补，对顶角相等可得∠AOC=72°，∠BOC=108°，再根据角平分线的性质可得∠MOC的度数，进而可得答案．
解：∵∠BOD=72°，
∴∠AOC=72°，∠BOC=108°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=36°，
∴∠BOM=∠BOC+∠MOC=144°．
故答案为：144．
本题主要考查了对顶角和邻补角，角平分线的定义，关键是掌握邻补角互补，对顶角相等．
29．30°##30度
【解析】根据邻补角性质，可得∠AOC＋∠BOC＝180°，结合已知∠AOC＝5∠BOC，解方程可求∠BOC．
解：∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，
∴∠AOC＋∠BOC＝180°，①
又∵∠AOC＝5∠BOC，②
把②代入①，可得5∠BOC＋∠BOC＝180°，
解得∠BOC＝30°．
故答案为：30°．
此题考查的是角的计算，能够根据邻补角的定义列出方程是解决此题关键．
30．36°
【解析】先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x＝72°，根据角平分线定义得到∠AOC∠EOC72°＝36°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC＝36°．
解：设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC∠EOC72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故答案为：36°
考查了角的计算，角平分线的定义和对顶角的性质．解题的关键是明确：直角＝90°；平角＝180°，以及对顶角相等．
31．(1)∠DOE=120°；
(2)∠AOF=45°．
【解析】（1）根据角平分线的定义，得出∠EOC=∠BOE=60°，利用邻补角定义求出∠DOE即可；
（2）根据角平分线的定义，∠BOD：∠BOE=2：3，求出∠BOD，再根据对顶角可求出∠AOC，利用垂直，求出∠AOF．
（1）
解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=60°，
∴∠EOC=∠BOE=60°，
∴∠DOE=180°-60°=120°；
（2）
解：∵∠BOD：∠BOE=2：3，
设∠BOD=x，则∠COE＝∠BOE＝x，
∵∠COE+∠BOE+∠BOD=180°，
∴x+x+x=180°，
∴x=45°，即∠BOD=45°，
∵OF⊥CD，∠AOC=∠BOD=45°，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=90°-45°=45°．
本题考查了角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，垂直定义，角的计算等；正确找出各个角之间的关系是正确计算的关键．
32．∠BOD=15°．
【解析】本题需先结合图形，得出∠AOC的度数，再根据OD平分∠AOC，得出∠AOD的度数，最后即可求出正确答案．
解：∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=75°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=15°．
本题主要考查了角平分线定义的应用以及角的计算．利用图形计算角的和差是解题的关键．
33．(1)，
(2)160°
【解析】（1）根据对顶角和补角的定义，即可求解；
（2）根据，可得，从而得到，即可求解．
(1)
解：根据题意得：的对顶角为；
的补角是，
故答案为：，；
(2)
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
本题主要考查了对顶角和补角的定义，角的和与差，邻补角的性质，熟练掌握对顶角和补角的定义，邻补角的性质是解题的关键．
34．∠3=50°，∠2=65°．
【解析】根据平角为180度可得∠3=180°-∠1-∠FOC ，根据对顶角相等可得∠AOD的度数，然后再根据角平分线定义进行计算即可
解：∵∠AOB=180°，
∴∠1+∠3+∠COF=180°，
∵∠FOC=90°，∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-∠FOC=50°， ∠BOC=∠1+∠FOC=130°，
∴∠AOD=∠BOC=130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
本题主要考查了对顶角，邻补角性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
35．（1）70°，20°；（2）150°
【解析】（1）根据题意及余角、对顶角的意义可直接进行求解；
（2）设，则，则有，进而根据角的和差关系可求解．
解：（1），，
，；
（2）设，则，
，
即，
解得，，
，
．
本题主要考查余补角、对顶角的意义及一元一次方程的应用，熟练掌握余补角、对顶角的意义及一元一次方程的应用是解题的关键．
36．(1)∠BOE=154°；
(2)∠COE=42°．
【解析】（1）根据对顶角的定义，由∠AOC与∠BOD是对顶角，得∠AOC=∠BOD=65°．由∠AOE：∠EOC=2：3，求得∠AOE=∠AOC=26°．根据邻补角的定义，得∠BOE=180°-∠AOE=154°．
（2）设∠AOE=2x，∠EOC=3x．由∠AOE=∠BOF-10°，得∠BOF=4x+20°．根据角平分线的定义，由OF平分∠BOE，得∠BOE=2∠BOF=8x+40°．根据邻补角的定义，得∠AOE+∠BOE=2x+8x+40°=180°，进而解决此题．
（1）
解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=65°．
∵∠AOE：∠EOC=2：3，
∴∠AOE=∠AOC=26°．
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-26°=154°；
（2）
解：设∠AOE=2x，∠EOC=3x．
∵∠AOE=∠BOF-10°，
∴∠BOF=4x+20°．
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOE=2∠BOF=8x+40°．
∴∠AOE+∠BOE=2x+8x+40°=180°．
∴x=14°．
∴∠COE=3x=42°．
本题主要考查了对顶角、邻补角、角平分线，熟练掌握对顶角、邻补角、角平分线的定义是解决本题的关键．
37．100°
【解析】根据对顶角相等以及角平分线的性质可得出∠AOE的度数，再根据平角的定义即可得出∠EOD的度数．
解：∵∠BOD=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°.
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE=∠AOC=40°，
∴.
本题主要考查了角平分线的性质以及对顶角、邻补角的性质，难度不大．
38．50°，25°．
【解析】根据邻补角的性质，可得∠AOD+∠BOD＝180°，即，代入可得∠BOD，根据对顶角的性质，可得∠∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠DOE的数．
解：由邻补角的性质，得∠AOD+∠BOD＝180°，即
∵，
∴．
∴，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°，
∵OE平分∠BOD，得
∠DOE＝∠DOB＝25°．
本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角的性质，解题关键是熟记相关性质，根据角之间的关系建立方程求解．
39．∠3=50°，∠2=65°．
【解析】根据邻补角的性质、角平分线的定义进行解答即可．
∵∠FOC=90°，∠1=40°，
∴∠3=180°-∠FOC-∠1 =180°-90°-40°=50°，
∴∠AOD=180°-∠3=180°-50°=130°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
本题考查的是邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握邻补角之和等于180°是解题的关键．
40．（1）∠AOC、∠BOD；∠EOD、∠BOF；（2）∠EOF=144°．
【解析】（1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可；
（2）设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，根据周角为360度，即可解出x．
解：（1）图中与∠AOF互余的角是：∠AOC、∠BOD；
图中与∠COE互补的角是：∠EOD、∠BOF．
（2）∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠EOB=90°，∠FOD=90°，
又∵∠AOC=∠EOF，
设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，
根据题意可得：4x+x+90+90=360°，
解得：x=36°．
∴∠EOF=4x=144°．
本题考查了余角和补角的知识，注意结合图形进行求解．
41．(1)见解析
(2)
(3)
【解析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据等角的补角相等可得，进而根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等可得，进而根据角的和求解即可；
（3）根据角平分线的意义，以及角度的和差计算可得，即可求得答案．
（1）证明：OC平分∠BOD射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”
（2）射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，
（3）射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，
本题考查了新定义，等角的补角相等，根据邻补角求角度，角平分线的意义，几何图形中角度的和差关系，理解题意，数形结合是解题的关键．
42．(1)2
(2)
(3)或
【解析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；
（2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解；
（3）分两种情况讨论：①是内；②在外，分析清楚角关系求解即可．
（1）
解：，与射线重合，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）
解：由（1）得，，
是的角平分线，
，
，
；
（3）
解：能，
①当是内时，有：
，，
则，
解得：；
②当在外时，有：
，，
则，
解得：．
综上所述，的度数为或．
本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
43．（1），理由见解析；（2）
【解析】（1）利用垂直的定义以及同角的余角相等可得出∠COE=∠BOF；
（2）通过垂直的定义得到∠COA=90°，再由已知∠2-∠1=20°，得到∠1、∠2的值，然后由角平分线的定义得出结果．
解：（1）∵CO⊥AB，OF⊥OE，
∴∠COE+∠BOE=∠BOE+∠BOF=90°
∴∠COE=∠BOF；
（2）∵CO⊥AB，
∴∠COA=90°，即∠2=90°-∠1，
又∵∠2-∠1=20°，
∴∠2=20°+∠1，
∴90°-∠1=20°+∠1，
解得：∠1=35°，
∴∠2=55°，
∴∠BOD=180°-∠2=125°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE=∠DOE=∠BOD=62.5°．
本题考查垂直和角平分线的定义，同角的余角相等，掌 握相关概念正确推理计算是解题关键．
44．(1)∠BOC＝∠BOE．
(2)①存在，t=2.5或10或31；②40°
【解析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝∠AOC可得答案；
（2）①当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
②根据角的和差即可得到结论．
(1)
解：∠BOC＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE，
故答案为：∠BOC＝∠BOE；
(2)
①存在．
理由：∵∠COE＝130°，
∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31；
综上所述，t的值为2.5、10、31；
②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°．
本题主要考查角平分线的定义、余角的性质及角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．
45．(1)50
(2)25秒
(3)11或47
【解析】（1）由余角的性质可求解；
（2）由角的数量关系列出等式可求解；
（3）分两种情况讨论即可.
(1)
解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，
故答案为：50；
(2)
解：∵三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转，
∴经过t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40º，∠AOE=90º-2t，
∵，
∴2t-40º=（90º-2t），
解得t=25.
即运动时间为25秒.
(3)
解：图2中∠AOE=90º-2t=40º，∠D1O E1=∠DOE=90º
∵三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，
情况①如图：
经过秒后，∠EOE1=5t
∵直线OC恰好平分，
∴
∵∠BOC=40 º
∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140º
即40º+5t+45º=140º
解得：t=11；
情况②如图：
此时有：5t-10º-45º=180º，
解得t=47
故的值为11或47.
本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，平角的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
46．(1)，
(2)或
(3)答案见解析
【解析】（1）根据补角的定义可求度数，在利用角平分线的定义可求解度数，进而求解的度数；
（2）分两种情况：当在的外部时，当在的内部时，利用补角的定义结合角平分线的定义可求解；
（3）可分两种情况：当和互为邻补角时，即和在的不同侧时；当和在的同一侧时。而对于当和在的同一侧时可分为：当 时；当时；当时分别计算求解即可．
(1)
解：与互为补角，
，
，
平分，
，
，
故答案为：，；
(2)
解：当在的外部时，
与互为补角，
，
平分，
，
，
当在的内部时，
与互为补角，
，
平分，
，
，
的度数为或；
(3)
当和互为邻补角时，即和在的不同侧时，
，
，
平分，
，
，
即此时；
当和在的同一侧时，
当，如图，此时,，
平分，
,和重合，
；
当时，如图，
,，
平分，
，
，
，
即，此时，
当，如图，，，
平分，
，
，
即，此时，
综上，当和在的不同侧时，
，此时；
当和在的同一侧时，
当时，；
当时，；
当时，．
本题主要考查角的计算，三角形的外角定义，角平分线的性质，分类讨论是解决问题的关键．
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