【备战2023高考】数学总复习——第03讲《等比数列及前n项和》练习(全国通用)
展开一、单选题
1.设是正项等比数列,为其前项和,已知,则( )
A.B.C.D.
2.已知等比数列{an}的各项均为正数,数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值等于( )
A.126B.130C.132D.134
3.在数列中,(为非零常数),且其前n项和,则实数的值为( )
A.B.C.D.
4.已知数列 的前项和为,且满足,则( )
A.B.C.D.
5.已知等比数列的各项均为正数,且,则的最大值为( )
A.9B.8C.3D.27
6.已知数列的前项和为,,,则( )
A.B.
C.D.
7.设等比数列中,前n项和为,已知,,则等于( )
A.B.
C.D.
二、填空题
8.在等比数列中,,,且,则数列有______项.
9.毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形,因为重复数次后的形状好似一棵树,所以被成为毕达哥拉斯树,也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下:以边长为的正方形的一边作为斜边,向外做等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形,得到个新的小正方形,实现了一次生长,再将这两个小正方形各按照上述方式生长,如此重复下去,设第次生长得到的小正方形的个数为,则数列的前项和___________.
10.在《庄子•天下》中提到“一尺之锤,日取其半,万世不竭”,蕴含了无限分割、等比数列的思想,体现了古人的智慧.如图,正方形ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第二个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第三个正方形IJKL,依此方法一直继续下去,记第一个正方形ABCD的面积为,第二个正方形EFGH的面积为,…,第n个正方形的面积为,则前5个正方形的面积之和为________.
三、解答题
11.设是首项为1的等比数列,数列满足.已知,,成等差数列.
(1)求和的通项公式;
(2)求的前n项和,的前n项和;
(3)证明:.
12.已知公差为正的等差数列的前项和为,若构成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
一、单选题
1.数列的前项和为,若,,则( )
A.B. C. D.
2.已知正项等比数列的前n项和为,前n项积为,满足,则的最小值是( )
A.B.C.D.
3.已知数列满足,,,则的最小值为( )
A.B.C.D.
4.在边长为243的正三角形三边上,分别取一个三等分点,连接成一个较小的正三角形,然后在较小的正三角形中,以同样的方式形成一个更小的正三角形,如此重复多次,得到如图所示的图形(图中共有10个正三角形),其中最小的正三角形的面积为( )
A.B.1C.D.
5.若等比数列中的,是方程的两个根,则等于( )
A.B.1011
C.D.1012
6.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的,明万历十二年(公元1584年),他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是:在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列,记插入的11个数之和为M,插入11个数后这13个数之和为N,则依此规则,下列说法错误的是( )
A.插入的第8个数为B.插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C. D.
7.已知,数列满足,且对一切,有,则( )
A.是等差数列B.是等比数列
C.是等比数列D.是等比数列
二、填空题
8.提丟斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则,它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的,后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律,即数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位).现将数列的各项乘以10后再减4得数列,可以发现从第3项起,每一项是前一项的2倍,则______,______.
9.数列是以a为首项、q为公比的等比数列,数列满足,数列满足,若为等比数列,则__________.
10.已知函数(k为常数,且).下列条件中,能使数列为等比数列的是______(填序号).
①数列是首项为2,公比为2的等比数列;
②数列是首项为4,公差为2的等差数列;
③数列是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.
三、解答题
11.已知公差为的等差数列和公比的等比数列中,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,抽去数列的第3项、第6项、第9项、第项、,余下的项的顺序不变,构成一个新数列,求数列的前2023项和.
12.若数列的前项和满足:.
(1)证明:数列为等比数列并求出通项公式;
(2)设,数列的前项和为,若对恒成立,求实数的取值范围.
一、单选题
1.(2022·全国·高考真题(文))已知等比数列的前3项和为168,,则( )
A.14B.12C.6D.3
2.(2021·浙江·高考真题)已知,函数.若成等比数列,则平面上点的轨迹是( )
A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线
3.(2021·全国·高考真题(文))记为等比数列的前n项和.若,,则( )
A.7B.8C.9D.10
二、填空题
4.(2013·重庆·高考真题(理))已知是等差数列,,公差,为其前n项和,若,,成等比数列,则________.
三、解答题
5.(2022·全国·高考真题(理))记为数列的前n项和.已知.
(1)证明:是等差数列;
(2)若成等比数列,求的最小值.
6.(2022·浙江·高考真题)已知等差数列的首项,公差.记的前n项和为.
(1)若,求;
(2)若对于每个,存在实数,使成等比数列,求d的取值范围.
7.(2022·全国·高考真题)已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且.
(1)证明:;
(2)求集合中元素个数.
8.(2022·天津·高考真题)设是等差数列,是等比数列,且.
(1)求与的通项公式;
(2)设的前n项和为,求证:;
(3)求.
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