2023届辽宁省丹东市高三上学期总复习第一次阶段测试数学试题含解析

2023届辽宁省丹东市高三上学期总复习第一次阶段测试数学试题

一、单选题

1．设集合，，若，则的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，说明集合没有公共元素，借助于数轴列式计算．

【详解】因为，所以，解得或.

【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.

2．已知，且，其中a，b为实数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】

由,得,即

故选:

3．平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边是轴的非负半轴，终边经过点，若，则（    ）

A．-2 B． C． D．2

【答案】B

【分析】利用任意角三角函数的定义列方程，解出即可．

【详解】由题意，，解得，

故选：B．

4．的展开式中的系数为（    ）

A． B． C．28 D．56

【答案】B

【分析】将多项式按第一项展开,再将各项通过二项式定理拼成的形式,计算出结果

【详解】由题知,

展开式的通项公式为，

将含项记为,则,

故含项的系数为，

故选：B

5．设平面向量，，若，则平面向量可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，分析可知，可得出关于、的等式，求出这两个参数的等量关系，即可得出结果.

【详解】设，由已知可得，，，

所以，，

，

，，

因为，则，即，可得，

故选：C.

6．等比数列中，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可知，利用等比数列的求和公式计算可得出的值.

【详解】设等比数列的公比为，若，则，可得，

此时，不合乎题意，

若，则，，不合乎题意，所以，，

则且，故数列、均为等比数列，且公比分别为、，

所以，，，

所以，，

因此，.

故选：B.

7．设直线与曲线相切于点，相交于另一点，则（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用切点处的斜率等于两点连线的斜率列关系式，整理得.

【详解】,切点，

，所以切线斜率，

又因为直线与曲线相交于另一点，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

故选：A.

8．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角函数和在上均单调递增，可得，即可比较大小，再构造函数，根据单调性，可得大小，即可得的大小.

【详解】解：由于和在上均单调递增，

则，，

故有，所以，

由，令，

则

所以在上单调递减，

所以，则，则，

综上，.

故选：A

二、多选题

9．某直播带货平台统计了2022年连续5个月该平台的手机销量，得到如下数据统计表

已知与线性相关，由表中计算得关于的线性回归方程为，则（    ）A．

B．月销售（部）与月份编号成正相关

C．该平台手机销售量平均每月增加约44部

D．该平台手机销量11月份手机销售量为316部

【答案】BC

【分析】计算出，代入中求得，进而求得m,判断A;观察每月的手机销售量，可判断B，C; 将代入可求得平台手机销量11月份手机销售量大约为316部，判断D.

【详解】由题意可得 ，代入中，

可得 ，故可得，A错误；

由表中数据可以看出，月销售量是逐月增加的，故月销售（部）与月份编号成正相关，B正确；

该平台手机每月的销售量为，平均每月增加约部，C正确；

将代入，可得，预测平台手机销量11月份手机销售量为316部，不代表11月份手机销售量为316部，D错误；

故选：BC

10．已知等差数列的前n项和为，公差．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】依题意可得且，即可得到，，再根据，即可得到，，最后根据等差数列前项和公式及下标和性质判断；

【详解】解：因为，所以且，即，，因为即、不同时为零，所以，因为，即，所以，，故D正确；不一定为零，故C错误；

故选：BD

11．已知定义域为的奇函数满足，则必有（    ）

A． B．

C． D．图象关于点对称

【答案】ACD

【分析】根据函数为奇函数可得，又则可得周期为3，从而可得，再利用周期性与对称性逐项判断即可.

【详解】解：已知定义域为的奇函数，则，所以当时，

又满足，则，所以函数是周期为3的函数

所以，故A正确；

又由可得关于点对称，故，故B错误；

由于关于点对称，所以，则，故C正确；

由周期为3，关于点对称，可得图象关于点对称，故D正确.

故选：ACD.

12．设函数，若，且在有且仅有两个极值点，则（    ）

A．在最多有2个零点 B．

C．为奇函数 D．

【答案】BC

【分析】由在有且仅有两个极值点，可得，由此可判断AB；由可知为的一个对称中心，由此可判断CD

【详解】因为，，

所以，即为的一个对称中心，

又在有且仅有两个极值点，且，

所以，

所以，即，

所以，故B正确；

而在有且仅有两个极值点，且，

所以在最多有3个零点，故A错误；

又为的一个对称中心，

所以，

所以，所以，

因为，

所以，故D错误；

而是由向右平移个单位到得的，

所以关于原点对称，所以为奇函数，故C正确；

故选：BC

三、填空题

13．______．

【答案】

【分析】利用三角函数的诱导公式化简，结合三角函数特殊值，即可求得答案.

【详解】,

故答案为：.

14．已知，若为偶函数，则______．

【答案】2

【分析】根据偶函数以及正态密度曲线的性质即可求解.

【详解】若为偶函数，

则有，即，

所以.

故答案为：2.

15．已知函数，若存在实数，满足，且，则的最小值为________．

【答案】

【解析】作出的图象，由，可知，从而，，构造函数，求出最小值即可.

【详解】作出的图象，如下图所示，

当时，；当时，，

因为，所以，

令，得，

则，故，令．

则，易知函数在上单调递减，在上单调递增，所以．

故答案为：.

【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数单调性及最值的应用，利用构造函数是解决本题的关键，属于中档题.

16．现有分别写有数字2至8的7张卡片，将写有质数的卡片放入A箱中，将写有合数的卡片放入B箱中，从A箱中随机抽取一张卡片放入B箱中，再从B箱中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上的数字互质的概率为______．

【答案】

【分析】分类讨论不同条件下基本事件的总数，利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】依题意A箱中原有卡片为2、3、5、7共4张，B箱中原有卡片为4、6、8共3张，从A箱中随机抽一张卡片，有4种情形，

当A箱中抽取卡片是2，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字不可能互质；

当A箱中抽取卡片是3，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，互质的情况有（3，4）、（3，8）两种，此时所求概率为；

当A箱中抽取卡片是5，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，互质的情况有（5，4）、（5，6）、（5，8）共3种，此时所求概率为；

当A箱中抽取卡片是7，放入B箱中再从B箱中随机抽取两张卡片，互质的情况有（7，4）、（7，6）、（7，8）共3种，此时所求概率为；

所以所求的概率为：.

故答案为：

四、解答题

17．已知公比小于的等比数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)记为的前项和，若，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；

（2）求出，由题意可得出关于的不等式，结合可得出的最小值.

【详解】(1)解：设等比数列的公比为，则，解得，

.

(2)解：由（1）可知，

由可得，可得．

因为，所以的最小值为．

18．中，已知．

(1)求；

(2)设为BC边上一点，且满足______，若，求面积．

从下面①②两个条件中任选一个补充在上面问题中的横线处并作答．

①为边中线，且；

②AD为的平分线，且．

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设的内角A，B，C对边分别为a，b，c，利用二倍角公式和正弦定理可得到，再利用余弦定理即可求解；

（2）选①：由结合余弦定理可得到，结合面积公式求解即可；选②：根据可得，结合面积公式求解即可

【详解】(1)设的内角A，B，C对边分别为a，b，c．

由可得即，

故由正弦定理得，

由余弦定理得，

因为，所以；

(2)方案一：选条件①．

因为，在中，由余弦定理可得，

在中，由余弦定理知①，

在中，由余弦定理知②，

因为，，，所以①＋②可得，

于是即，

因此面积；

方案二：选条件②．

因为，在中，由余弦定理可得即，

因为AD为的平分线，所以面积等于与面积之和，

因为，，

所以即，整理得，

所以，解得，

因此面积

19．为树立“优先公交、绿色出行”理念，市政府倡议“少开一天车，优先选择坐公交车、骑自行车和步行出行”，养成绿色、环保、健康的出行习惯．甲、乙两位市民为响应政府倡议，在每个工作日的上午上班（记为上班）和下午下班（记为下班）选择坐公交车（记为A）、骑自行车（记为B）．统计这两人连续100个工作日的上班和下班出行方式的数据情况如下：

设甲、乙两人上班和下班选择的出行方式相互独立，以这100天数据的频率为概率．

(1)记M表示事件：一天中，甲上班和下班都选择坐公交车、乙上班和下班都选择骑自行车，求；

(2)记X为甲、乙两人在一天中上班和下班选择出行方式的个数，求；

(3)若甲、乙两人下班时都选择骑自行车，请问哪个人上班时更有可能选择坐公交车？说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)甲，理由见解析

【分析】（1）选择出行方式相互独立，分别求甲上班和下班都选择坐公交车、乙上班和下班都选择骑自行车的概率，由独立事件乘法公式计算即可；

（2）可取1，2，分别求出对应概率，按定义求期望即可；

（3）分别计算甲乙在“上班时选择坐公交车”的条件下，“下班时选择骑自行车”的条件概率，比较大小即可判断

【详解】(1)记表示事件“一天中甲上班和下班都选择坐公交车”，表示事件“一天中乙上班和下班都选择骑自行车”，则．

由题意知，,于是．

(2)可取1，2．

就是甲、乙两人在一天中上班和下班都选择坐公交车，或者都选择骑自行车．

因此，．

于是．

(3)记表示事件“甲下班时选择骑自行车”，表示事件“甲上班时选择坐公交车”，表示事件“乙下班时选择骑自行车”，表示事件“乙上班时选择坐公交车”，那么

，．

因为，所以若甲、乙两人下班时都选择骑自行车，甲上班时更有可能选择坐公交车．

20．已知为斜三角形．

(1)证明：；

(2)若为锐角三角形，，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立；

（2）推导出，利用（1）中的结论结合基本不等式可求得的最小值.

【详解】(1)证明：，所以．

因为，所以，所以．

由，可得．

(2)解：因为，

所以，可得．

由（1）得

．

因为为锐角三角形，由可知，

设，则，

当且仅当时取等号，再由（1）可得，

此时，解得或时，

即当或时，等号成立，

故的最小值为.

21．等差数列的首项，公差，数列中，，，，已知数列为等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)记为的前项和，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式进行计算即可；

（2）设，根据数列单调性判断方法确定的单调性，从而求的最大值.

【详解】(1)解：由题意成等比数列，所以，则．

因为，所以，

故数列的公比，

所以．

又，所以．

(2)解：由（1）可知，，

设，则．

设，则．

故单调递减，

因为，，所以当时，，当时，．

于是的最大值为．

22．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求的取值范围；

(3)设，证明：．

【答案】(1)在单调递减，在单调递增；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出函数单调性；

（2）解法一：不等式变形为，构造，求出导函数，结合导函数特点，分，与三种情况，进行讨论，得到的取值范围；

解法二：构造，求出导函数，结合导函数特征，分，与三种情况，进行讨论，得到的取值范围；

（3）在第二问的基础上得到，变形为，代入，得到，求和即可证明出结论.

【详解】(1)的定义域为R，

当时，，当时，，当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

(2)解法一：等价于，设，，

当时，等价于，

若，当时，，单调递增，，不符合题意，

若，当时，，单调递增，，不符合题意，

若，当时，，单调递减，，

综上，的取值范围为.

解法二：

设，依题意，，而，

若，当时，，单调递减，，不符合题意，

若，当时，，单调递减，，不符合题意，

若，当时，，单调递增，，

综上，的取值范围为．

(3)由（2）可知若，当时，，从而，

取代入可得，于是

．

【点睛】构造函数来求解参数取值范围或证明不等式，是通常的做法，通过研究构造的函数的单调性，极值或最值情况，达到证明不等式或求解参数的范围的目的，本题第二问可以通过构造不同的函数来进行求解，解题时，可根据难易程度，选择构造合适的函数.