高考数学一轮复习配套课件 第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积

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·最新考纲·了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
·考向预测·考情分析：高考常以三视图为载体，主要考查柱、锥、球的表面积和体积，以选择题、填空题的形式出现，属于容易题．学科素养：通过空间几何体的表面积与体积的计算考查直观想象、数学运算的核心素养．
一、必记2个知识点1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2.空间几何体的表面积与体积公式
三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)(4)球的体积之比等于半径之比的平方．(　　)
(二)教材改编2．[必修2·P27练习T1改编]已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.
解析：设底面半径为r，由侧面展开图为半圆可知，圆锥母线长l＝2r，所以S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2.
3.[必修2·P29习题B组T1改编]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_____，表面积等于________．
解析：设圆柱底面圆半径为r，高为h，依题意，圆柱体积为V＝πr2h，即2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9尺，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺．
5．(不会分类讨论致误)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为__________________．
24π2＋8π或24π2＋18π
解析：圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝4π，即r＝2.所以S底＝4π，所以S表＝24π2＋8π.②以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝6π，即r＝3，所以S底＝9π，所以S表＝24π2＋18π.
(四)走进高考6．[2021·全国甲卷]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．
反思感悟　三类几何体表面积的求法
2．[2022·安徽池州市高三模拟]古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中定义了相似圆锥：两个圆锥的高与底面的直径之比相等时，则称这两个圆锥为相似圆锥．已知圆锥SO的底面圆O的半径为3，其母线长为5.若圆锥S′O′与圆锥SO是相似圆锥，且其高为8，则圆锥S′O′的侧面积为(　　) A.15π B．60π C.96π D．120π
角度2　割补法求体积[例3]　在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为4 cm，母线长最短5 cm，最长8 cm，则斜截圆柱的体积V＝________ cm3.
一题多变 (变问题)若例3中条件不变，求斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
反思感悟　(1)处理体积问题的思路
(2)求体积的常用方法①直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算．②割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．③等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换．
【对点训练】1．如图，在直四棱柱ABCD­-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形．点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­-AEF的体积为2，则四棱柱ABCD­-A1B1C1D1的体积为(　　)A.12　　　B．8　　　C．20　　　D．18
2．图1是一种生活中常见的容器，其结构如图2所示，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF.现测得AB＝20 cm，AD＝15 cm，EF＝30 cm，AB与EF间的距离为25 cm，则几何体EF­-ABCD的体积为(　　) A.2 500 cm3 B．3 500 cm3C.4 500 cm3 D．3 800 cm3
考点三　空间几何体的外接球与内切球[创新性]角度1　几何体的外接球[例5]　(1)[2022·天津市武清区检测]《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　　)A.12π　　B．20π　　C．24π　　D．32π
反思感悟　处理球的“接”问题的策略把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
一题多变 (变条件，变问题)若例6(1)中“若三棱锥P­-ABC有一个内切球O，”改为“若三棱锥P­-ABC的四个顶点都在球O的球面上，”则球O的表面积为________．
反思感悟　(1)处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
微专题28 数学文化与立体几何的交汇
纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题层出不穷，让人耳目一新．从中国古代数学文化中挖掘素材，考查立体几何的有关知识，既符合考生的认知水平又可以引导考生关注中华优秀传统文化，并提升审题能力，增加对数学文化的理解，发展数学核心素养．
名师点评　求解与数学文化有关的立体几何问题，首先要在阅读理解上下功夫，明确其中一些概念的意义，如“堑堵”“阳马”和“鳖臑”等的特征是求解相关问题的前提，其次目标要明确，根据目标联想相关公式，然后进行求解．