23版新教材苏教版必修第一册课后习题练第6章测评

第6章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是(　　)

答案C

解析设幂函数的解析式为y=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=.所以y=,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y=x的上方,故选C.

2.(2021全国甲,文4)下列函数中是增函数的为(　　)

A.f(x)=-x B.f(x)=

C.f(x)=x2 D.f(x)=

答案D

解析借助函数的图形可知,对于A,函数是减函数,不合题意;对于B,根据指数函数的性质可知函数是减函数,不合题意;对于C,函数在定义域内没有单调性,不合题意;对于D,根据幂函数的性质可知,函数在其定义域内为增函数,符合题意.故选D.

3.函数f(x)=x3+x的图象关于(　　)

A.y轴对称 

B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称 

D.直线y=x对称

答案C

解析∵f(x)=x3+x是奇函数,∴图象关于坐标原点对称.

4.设a=log3π,b=log2,c=log3,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a<b<c 

B.a<c<b 

C.c<b<a 

D.b<c<a

答案C

解析∵log3<log2<log2,∴c<b.又log2<log22=log33<log3π,∴b<a,∴c<b<a,故选C.

5.(2021江苏扬州中学月考)函数y=|lg(x+1)|的图象是 (　　)

答案A

解析将y=lg x的图象向左平移一个单位长度,然后把位于x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,就得到y=|lg(x+1)|的图象.

6.函数y=的值域是(　　)

A.R B.(0,+∞) 

C.(2,+∞) D.

答案D

解析∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,∴,

∴函数y=的值域是,故选D.

7.函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上是减函数,则a的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.(1,3) 

C.(1,3] D.(3,+∞)

答案B

解析∵a>0且a≠1,∴u=6-ax是减函数.∵f(x)在[0,2]上是减函数,∴y=logau是增函数,∴a>1.又在[0,2]上需满足u=6-ax>0,∴u(2)=6-2a>0,∴a<3.综上,1<a<3.故选B.

8.若函数f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间上恒有f(x)>0,则函数f(x)的增区间为(　　)

A. B. 

C.(0,+∞) D.

答案D

解析∵x∈,∴u(x)=2x2+x=2∈(0,1),依题意,当u∈(0,1)时,logau>0恒成立,∴0<a<1,

∴y=logau在u∈(0,1)上是减函数,∴f(x)的增区间应为u(x)=2x2+x的减区间,且保证u(x)>0.故选D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.下列函数是指数函数的有(　　)

A.y=πx B.y=2·3x 

C.y=(a-1)x D.y=e-x

答案AD

解析由指数函数的定义可得AD对,B系数不对,C中a-1的取值不确定.

10.若a>b,则下列大小关系错误的是(　　)

A.ln(a-b)>0 B.3a<3b 

C.a3-b3>0 D.|a|>|b|

答案ABD

解析取a=2,b=1,满足a>b,但ln(a-b)=0,故A错;由9=32>31=3,故B错;取a=1,b=-2,满足a>b,但|1|<|-2|,故D错;因为幂函数y=x3是增函数,a>b,所以a3>b3,即a3-b3>0,C正确.

11.已知函数y=的图象与函数y=logax(a>0,a≠1)的图象交于点P(x0,y0),若x0≥2,那么a的取值可以是(　　)

A.4 B.8 C.16 D.32

答案CD

解析由已知中两函数的图象交于点P(x0,y0),由指数函数的性质可知,若x0≥2,则0<y0≤,即0<logax0≤,由于x0≥2,所以a>1且≥x0≥2,解得a≥16.

12.(2020山东枣庄调研)设a>0,且a≠1,函数y=+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值可以为(　　)

A.2 B. C.3 D.

答案CD

解析令t=ax(a>0,a≠1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).

①当0<a<1,x∈[-1,1]时,t=ax∈,

此时f(t)在上为增函数.

所以f(t)max=f-2=14.

所以=16,解得a=-(舍去)或a=.

②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈,

此时f(t)在上是增函数.

所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).

综上得a=或3.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则实数a的取值范围是　　　　　　. 

答案(3,5)

解析因为f(x)=(x>0),易知x∈(0,+∞)时为减函数,又f(a+1)<f(10-2a),所以解得3<a<5.所以a的取值范围为(3,5).

14.(2021新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　　. 

答案1

解析∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,

∴f(x)=f(-x),即x3(a·2x-2-x)=(-x)3[a·2-x-2-(-x)].

整理得,a·2x-2-x=-(a·2-x-2x),

即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.

(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.

15.(2021湖北宜昌调研)如图,过原点O的直线与函数y=2x的图象交于A,B两点,过点B作y轴的垂线交函数y=4x的图象于点C,若AC平行于y轴,则点A的坐标为　　　　　　. 

答案(1,2)

解析设A(n,2n),B(m,2m),则C,因为AC平行于y轴,所以n=,所以A,B(m,2m).又因为A,B,O三点共线,所以kOA=kOB,所以,即n=m-1,又由n=,解得n=1,所以点A的坐标为(1,2).

16.若函数f(x)=e|x-a|(a为常数),则函数的最小值为　　　　　　,若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是　　　　　. 

答案1　(-∞,1]

解析∵f(x)=e|x-a|=在[a,+∞)上是增函数,在(-∞,a)上是减函数,∴函数的最小值为f(a)=1.

又f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,

∴[1,+∞)⊆[a,+∞),

∴a≤1,即a的取值范围为(-∞,1].

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知幂函数y=(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无公共点,且关于y轴对称,求m的值,并画出函数的图象.

解由条件得m2-2m-3≤0,∴-1≤m≤3(m∈Z).

又关于y轴对称,∴m2-2m-3为偶数.

故m=-1或1或3.

当m=1时,幂函数为y=x-4,其图象如图1所示.

当m=-1或m=3时,幂函数为y=x0,其图象如图2所示.

18.(12分)已知函数f(x)=(x≥0)的图象经过点(2,0.5),其中a>0且a≠1.

(1)求a的值;

(2)求函数f(x)=ax-1(x≥0)的值域.

解(1)依题意f(2)=0.5,即a=0.5=.

(2)f(x)=(x≥0),∵x≥0,∴x-1≥-1,

∴0<=2,即值域为(0,2].

19.(12分)已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).

(1)若f(x)为偶函数,求b的值;

(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满足的条件.

解(1)因为f(x)为偶函数,

所以对任意的x∈R,都有f(-x)=f(x),

即a|x+b|=a|-x+b|,|x+b|=|-x+b|,解得b=0.

(2)记h(x)=|x+b|=

①当a>1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,

即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,所以-b≤2,b≥-2.

②当0<a<1时,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是减函数,但h(x)在区间[-b,+∞)上是增函数,故不存在a,b的值,使f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.

所以f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a,b应满足的条件为a>1且b≥-2.

20.(12分)(2021江苏如皋中学调研)若函数f(x)满足f(logax)=(其中a>0,且a≠1).

(1)求函数f(x)的解析式,并判断其奇偶性和单调性;

(2)当x∈(-∞,2)时,f(x)-4的值恒为负数,求a的取值范围.

解(1)设logax=t,则x=at,且t∈R,

则f(t)=(t∈R),

∴f(x)=·(ax-a-x)(x∈R).

∵f(-x)=·(a-x-ax)=-·(ax-a-x)=-f(x),

∴f(x)是奇函数.

①当a>1时,y=ax是增函数,y=-a-x也是增函数,且>0,∴f(x)是增函数;

②当0<a<1时,y=ax是减函数,y=-a-x也是减函数,且<0,∴f(x)是增函数.

综上可知,f(x)是R上的增函数.

(2)令g(x)=f(x)-4,由(1)知,g(x)也是R上的增函数.依题意g(x)<0在x∈(-∞,2)上恒成立,故只需g(2)≤0,即f(2)-4=·(a2-a-2)-4≤0,整理得a2-4a+1≤0,解得2-≤a≤2+,

又a≠1,∴a的取值范围为[2-,1)∪(1,2+].

21.(12分)已知函数f(x)=lg.

(1)若f(x)为奇函数,求a的值;

(2)若f(x)在(-1,5]内有意义,求a的取值范围;

(3)在(1)的条件下,若f(x)在区间(m,n)上的值域为(-1,+∞),求区间(m,n).

解(1)∵f(x)为奇函数,

∴f(x)+f(-x)=0,

∴lg+lg=0,∴=1,

∴a=1(a=-1舍去),此时f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.

(2)∵f(x)在(-1,5]内有意义,且f(x)的定义域为(-1,a),

∴(-1,5]⊆(-1,a),∴a>5,即a的取值范围是(5,+∞).

(3)由(1)知,f(x)=lg,定义域为(-1,1),

当x∈(-1,1)时,t==-1+为减函数,

∴f(x)=lg在定义域内是减函数,

∵f(x)在区间(m,n)上的值域是(-1,+∞),

∴f(n)=lg=-1,m=-1,∴n=,

即所求区间(m,n)为.

22.(12分)已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.

(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]g(x)的值域;

(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)f()>kg(x)恒成立,求实数k的取值范围.

解(1)h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(log2x-1)2+2,

因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],

故函数h(x)的值域为[0,2].

(2)由f(x2)f()>kg(x),得(3-4log2x)(3-log2x)>klog2x,

令t=log2x,因为x∈[1,4],

所以t=log2x∈[0,2],

所以(3-4t)(3-t)>kt对任意t∈[0,2]恒成立,

①当t=0时,k∈R;

②当t∈(0,2]时,k<恒成立,即k<4t+-15,

因为4t+≥12,当且仅当4t=,即t=时取等号,

所以4t+-15的最小值为-3.

综上,实数k的取值范围是(-∞,-3).