中考总复习数学（河南地区）第四章三角形课件

这是一份中考总复习数学（河南地区）第四章三角形课件，共60页。PPT课件主要包含了直线与线段，考点1，角及其平分线，考点2，余角与补角，∠BOC，角平分线，相交线，考点3，垂线段等内容，欢迎下载使用。

考点 1 直线与线段考点 2 角及其平分线考点 3 相交线考点 4 平行线考点 5 命题
1.两个基本事实(1)直线的基本事实:两点确定一条直线.(2)线段的基本事实:两点之间,线段最短.2.线段的中点及性质如图,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点,即AM=BM= AB.
3.线段的和差运算如图,点B是线段AC上一点,则有:AB=①_________-BC; BC=AC②_________AB; AC=AB③_________BC. 4.两点之间的距离:两点间线段的长度叫做两点间的距离.
1.度、分、秒的换算:1°=60',1'=60″,度、分、秒之间的进制是60.
1.对顶角(如图)(1)对顶角有:∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与∠8.(2)性质:对顶角⑨________. 2.三线八角(如图)(1)同位角有:∠1与⑩________,∠2与∠6,∠3与⑪________,∠4与∠8. (2)内错角有:∠2与⑫________,∠3与∠5. (3)同旁内角有:∠3与∠8,∠2与⑬________. 
3.垂线及其性质(如图)(1)垂线:在两条直线AB和CD相交所成的四个角中,如果有一个角是⑭________,我们就说这两条直线互相⑮________,记作“AB⊥CD”.其中一条直线叫做另一条直线的⑯________,它们的交点O叫做垂足. (2)垂线段:过直线外一点,作已知直线的垂线,该点与垂足之间的线段,叫做该点到该直线的垂线段.(3)点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.(4)垂线的基本性质①在同一平面内,过一点有且只有⑰_______条直线与已知直线垂直; ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,⑱__________最短.
判定一条直线是线段的垂直平分线时,需证明直线上有两点到线段两端点的距离相等,切忌只证明直线上有一个点到线段两端点的距离相等,就说这条直线是线段的垂直平分线.如图,AB=AC,但直线AD不是线段BC的垂直平分线.
利用平行线求角度的方法1.确定要求的未知角和已知角,若已知角与要求的角之间没有直接联系,可借助其他角建立联系,再运用平行线、对顶角、邻补角、角平分线的性质及三角形内角和等相关知识进行运算.2.对顶角体现了两角的相等关系,邻补角体现了两角的互补关系,平行线体现了两直线的位置关系,因此当图形中出现相交线时,常考虑用“对顶角相等”或“邻补角之和为180°”进行解题;当图形中出现平行线时,常利用“三线八角”,结合平行线的性质或判定进行解题.
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;两条平行线之间的距离处处相等.
2.互逆命题:如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题叫做互逆命题.把其中一个命题叫做原命题时,另一个命题就叫做原命题的逆命题.
第二节 三角形及其性质
考点 1 三角形的分类考点 2 三角形的性质考点 3 三角形中的重要线段考点 4 特殊三角形的性质及判定
课时一 三角形的边、角关系及重要线段 命题角度 1　三角形的边、角关系 命题角度 2　三角形中的重要线段课时二 直角三角形 命题角度 3　利用直角三角形的性质计算 命题角度 4　与直角三角形相关的动点和折叠问题课时三 等腰三角形 命题角度 5　利用等腰三角形的性质计算 命题角度 6　与等腰三角形相关的动点和折叠问题
1.三角形具有稳定性.2.三角形三边之间的关系:三角形的两边之和③　 　第三边,两边之差④　 　 第三边,若一个三角形的三边分别为a,b,c,则|a-b|判断三条线段能否构成三角形的方法将两条较短线段之和与最长的线段进行比较,若两条较短线段之和大于最长线段,则能构成三角形,反之不能构成三角形.
3.内角和定理:三角形三个内角的和等于⑤　 　. 4.三角形内、外角的关系(1)三角形的外角⑥　 　与它不相邻的两个内角的和.如图,有∠ACD=∠A+∠B. (2)三角形的任意一个外角⑦ 　任何一个和它不相邻的内角.如图,有∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.5.三角形的边角关系:在同一个三角形中,等边对等角,较长的边所对的角较大.
特殊三角形的性质及判定
运用等腰三角形的性质时的注意事项1.已知等腰三角形不相等的两边长,求该三角形的周长时,不要忘记分类讨论及验证该三角形的三边关系.2.涉及高线、垂直平分线时,应考虑三角形的形状.3.不能认为等腰三角形任意一边上的高线、中线以及该边所对角的平分线都“三线合一”.
例1 [2020湖北黄冈]已知:如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,则∠BAD=　　　　°. 【思路分析】　
例2 (逻辑推理)如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线DE交BC于点E.若∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C=　　　　°.【思路分析】　
利用直角三角形的性质计算
例3 已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°.(1)如图(1),AD⊥BC于点D.①若∠B=40°,则∠DAC=　　　　　; ②若AB=3,AC=4,则AD=　　　　　; ③若∠B=30°,AB=6,则BC=　　　　　; ④点E是BC的中点,若AD=DE=2,则BC=　 　　.(2)如图(2),点D,E分别在AB,BC边上,且DE垂直平分线段BC.若AB=2AC,AD=3,则AC=　　　　　. 　
【思路分析】　(1)直接利用直角三角形的相关性质计算即可.(2)连接CD,则CD=BD,在Rt△ACD中,利用勾股定理列方程求解即可.
解决直角三角形计算题的常用思路1.当出现30°角时,应想到30°角所对的直角边是斜边的一半.2.当出现斜边上的中线时,要想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.3.作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数求线段长或角度.4.利用全等三角形或相似三角形的性质进行转换求相关的量.
与直角三角形相关的动点和折叠问题
例4 (逻辑推理)[2019开封二模]如图,在Rt△ABC中,AC=3,AB=4,点D为斜边BC的中点,点E为AB上的一个动点,将△ABC沿直线DE折叠,点A,C的对应点分别为A',C',EA'交BC于点F,若△BEF为直角三角形,则BE的长度为　　　　　.
利用等腰三角形的性质计算
例5 (逻辑推理)[2019山东威海]如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接AC,BD.若∠ACB=90°,AC=BC,AB=BD,则∠ADC=　　　　°.
等腰三角形中的分类讨论在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时,如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角,就需要分类讨论.1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b,求周长c时,分两种情况:(1)当腰长为a,底边长为b时,周长c=2a+b;(2)当腰长为b,底边长为a时,周长c=2b+a.2.已知等腰三角形的周长为c,一边长为a,求另外两边长时,分两种情况:(1)若长度为a的边为腰,则另外两边的长度分别为a,c-2a;(2)若长度为a的边为底边,则另外两边的长度均为(c-a).3.已知等腰三角形的一个角为α,求顶角或底角的度数时,分三种情况:(1)若α为钝角,则α为顶角,底角的度数为(180°-α);(2)若α为直角,则α为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45°;(3)若α为锐角,则α可能是顶角,也可能是底角.特别注意:无论哪种情况,都要注意等腰三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形三个内角的和等于180°”.
与等腰三角形相关的动点和折叠问题
例6 如图,在△ABC中,∠A=30°,AB=AC=2 +2,点D为线段AC上的动点,点E为射线CB上的动点,连接DE,将△CDE沿直线DE折叠,点C的对应点F恰好落在线段AB上,则当△ADF是以DF为腰的等腰三角形时,CD的长为　　　　　　. 
折叠问题中特殊三角形的存在性问题的解题思路1.根据题意分析所有可能的情况,并画出相应图形.(1)直角三角形的存在性问题中,一般直角顶点不确定,所以需针对直角顶点分三种情况讨论.(注意:需结合题意正确分类,某些题目中,分析题意可判断出某个角不可能是直角,这时应针对直角顶点分两种情况讨论.如例4,由于∠B是锐角,所以只需分两种情况讨论)(2)等腰三角形的存在性问题中,若未明确腰和底边,则可针对底边分三种情况讨论;若明确某条边是腰,则可针对底边分两种情况讨论.2.结合折叠的性质、勾股定理、三角形的相关性质、锐角三角形函数、全等三角形、相似三角形等知识求解.
第三节 全等三角形
考点1 全等三角形的定义及性质考点2 全等三角形的判定
命题角度 　全等三角形的判定与性质
全等三角形的定义及性质
1.定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.2.性质(1)全等三角形的对应边①　 　、对应角②　 　. (2)全等三角形的周长③　 　、面积④　 　. (3)全等三角形对应的高、中线、角平分线都⑤　 　.
1.全等三角形的判定方法
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等,也就是说“SSA”不是判定三角形全等的方法.例如:如图,在△ABC和△ABD中,AB=AB,∠B=∠B,AC=AD,但△ABC与△ABD不全等.
2.全等三角形的常见模型
2.证明三角形全等的思路
全等三角形的判定与性质
例 (逻辑推理)[2020许昌一模](1)发现如图(1),△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC边上,连接CE.填空:①∠DCE的度数是　　　　. ②线段CA,CE,CD之间的数量关系是　　　　　　. (2)探究如图(2),△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点D在BC边上,连接CE.请判断∠DCE的度数及线段CA,CE,CD之间的数量关系,并说明理由.
解:(1)①120°　②CA=CE+CD(2)∠DCE=90°, CA=CD+CE.理由:∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE = 90°,∴AB= AC,AD = AE,∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC,即∠BAD = ∠CAE,∴△BAD≌△CAE,∴BD=CE, ∠ACE=∠B=45°,∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°. 在等腰直角三角形ABC中,CB= CA.∵CB=CD+DB=CD+CE,∴ CA=CD+CE.
利用全等三角形证明线段间的数量关系的方法两条线段之间的数量关系一般为相等,有时也会出现倍数关系;三条线段之间的关系一般是和、差关系.解题时,一般先观察图形,猜测线段之间的关系,然后进行证明.(1)证明两条线段相等时,若两条线段在一个三角形中,一般考虑通过“等角对等边”证明;若两条线段不在同一个三角形中,则一般利用全等三角形的判定与性质证明.(2)证明两条线段之和等于较长线段时,通常可借助截长补短法,构造全等三角形,将两条较短线段转化到一条线段上证明.
第四节 相似三角形
考点 1 *黄金分割考点 2 比例的性质考点 3 平行线分线段成比例考点 4 相似三角形考点 5 相似多边形的性质考点 6 相似三角形的实际应用考点 7 位似图形
命题角度1 相似三角形的判定与性质命题角度2 与相似三角形相关的折叠问题命题角度3 与相似三角形相关的几何探究题
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么就说线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比,且 ≈0.618.一条线段有两个黄金分割点.简记为
1.定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得到的对应线段成比例.
解决平行线分线段成比例问题,找准“对应线段”是关键利用平行线分线段成比例求线段的长,关键在于正确理解“对应线段”,知道成比例的线段均在被截的直线上,并正确使用“ (如图)”,构建含待求线段的比例式,从而运用方程思想求解.
1.性质(1)相似三角形的④　 　相等,对应边⑤　 　　; (2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于⑥ 　　; (3)相似三角形的周长的比等于⑦　 　　,面积比等于⑧　 　 　　.
3.常见的相似模型(1)平行线型 若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.(2)斜交型 若∠1=∠2,则△ADE∽△ABC.
若∠ACB=∠AED=90°,则△AED∽△ACB.(3)一线三等角型
1.相似多边形的对应角相等,对应边成比例;2.相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
1.利用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题,如利用光的反射定律求物体的高度及利用影子计算建筑物的高度.同一时刻,物高与影长成正比,如
1.定义:一般地,如果两个相似图形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一点O,且OP=kOP'(k≠0),那么这样的两个图形叫做位似图形,点O叫做位似中心,k就是这两个相似图形的相似比.2.性质(1)任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比;(2)任意一组对应点所在直线都相交于一点;(3)对应边互相平行或在同一直线上;(4)位似图形是特殊的相似图形,具有相似图形的所有性质.
相似三角形的判定与性质
例1 (逻辑推理)[2019四川雅安]如图,每个小正方形的边长均为1,则下列选项中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是(　　) 【思路分析】　
例2 (逻辑推理)[2020海南]如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=15,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE于点G,若BG=8,则△CEF的周长为(　　)【思路分析】第一步:由“AD∥BC,AF平分∠BAD”,得BE=BA;由“AB∥CD,AF平分∠BAD”,得DF=DA,进而求得CF的长.第二步:求△ABE的周长.通过证明△ABE∽△FCE,进而可根据相似三角形的周长之比等于相似比求解.　
与相似三角形相关的折叠问题
例3 (逻辑推理)如图,在平行四边形ABCD中,AB=14,AD=10,∠A=60°,点M为AB边上一动点,过点M作MN⊥AB,交射线AD于点N,将△AMN沿直线MN翻折,点A落在AB边上的点E处.连接DE,CE,当△DNE与△EBC相似时,AM的长为　　　　. 【思路分析】
解决折叠问题中相似三角形存在性问题的一般思路1.找固定的对应点:题目中一般会给出一组固定的对应点,找出这组对应点;2.分类:将相似三角形按照其他两组不固定的对应点进行分类;3.列式求解:根据相似三角形的性质,列出比例式,根据勾股定理求出相关线段的长,代入比例式求解,或设关键线段的长为未知数,列方程求解.
与相似三角形相关的几何探究题
例4 (逻辑推理)[2015河南,22]如图(1),在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.(1)问题发现①当α=0°时, =　　　　; ②当α=180°时, =　　　　. (2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时, 的大小有无变化?请仅就图(2)的情形给出证明.(3)问题解决当△EDC旋转到A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
【思路分析】(1)当α=0°或180°时,求出AE,BD的长度,即可得出它们的比值.(2)证明△ACE∽△BCD,得到 ,求出AC的长,即可得证.(3)分情况画出图形,再根据图形特点和条件进行求解.【自主解答】　
(2)无变化.证明:在题图(1)中,∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴ ,∠EDC=∠B=90°.
如题图(2),∵△EDC在旋转过程中形状、大小不变,∴ 仍然成立.又∵∠ACE=∠BCD=α,∴△ACE∽△BCD,
解法提示:当△EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,四边形ABCD为矩形,∴BD=AC=4 ;当△EDC在BC下方,且A,E,D三点共线时,△ADC为直角三角形,由勾股定理可求得AD=8,∴AE=6,根据 可求得
第四节 锐角三角函数及其应用
考点 1 锐角三角函数的定义考点 2 特殊角的三角函数值考点 3 解直角三角形考点 4 锐角三角函数的实际应用
定义:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边的长度分别是a,b,c,则有:∠A的正弦:sin A=① 　; ∠A的余弦:cs A=② 　; ∠A的正切:tan A=③ 　.
2.规律记忆30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1， ;30°,45°,60°角的余弦值分别是60°,45°,30°角的正弦值.
(解直角三角形时的原则:有角求角,无角求边;有斜用弦,无斜用切;宁乘勿除,取原避中;化斜为直,方程相助)
锐角三角函数的实际应用
1.仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角,如图(1)所示. 2.坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(或坡比),记作i,即i= ;坡面与水平线的夹角α叫坡角,则i=tan α= ,如图(2)所示.
3.方位角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向线旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(或南)偏东(或西)××度.如图(3),点A在点O的北偏西35°的方向上;点B在点O的东北方向上;点C在点O的南偏西60°的方向上.
4.测量物体高度的常见三角函数模型(1)利用水平距离测量物体的高度(h)
(2)测量底部可以到达的物体的高度(h)
(3)测量底部不可到达的物体的高度(h)
高分突破·微专项4 中点模型
1.模型说明中点模型,即与中点相关的模型,一般涉及三角形各边的中点、中线及中位线的有关性质的应用.当题目中已知中点时,可根据图形抽象出中点模型解决问题.有时需添加辅助线构造中点模型解题.
高分突破·微专项5 一线三直角模型
1.模型说明一线三直角是一个常见的相似模型,指的是有三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,有些地区称“三垂直模型”,也有称“K形图”或“M形图”.(一线三等角不仅可以是直角,也可以是锐角或钝角.本专题主要研究一线三直角模型)2.识别方法(1)查找图形中已知的直角,顺着这个直角的顶点寻找或者构造模型中的“一线”;(2)构造其他直角,构造的直角的顶点必须在“同一条直线”上, “这条直线”可能在已知角的外部,也可能“穿过”这个角.
3.构造一线三直角的基本步骤做题过程中,若出现一直角的顶点在一条直线上的形式,就可以构造两侧的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解决相关问题.综合性题目往往就会把全等和相似的转化作为出题的一种形式.本质就是找角、定线、构相似.
三角形中运用一线三直角进行相关的运算
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠AEB=135°,BE=3 ,DE⊥BE交AB于点D,若DE= ,则AE的长为　　　　. 【思路分析】　观察题图,有两个直角:∠DEB和∠C.有“一条线”:直线AC.过点D作AC的垂线,即可构造一线三直角模型,然后结合题中的条件利用相似三角形的性质求解.
四边形中运用一线三直角求线段长
例2 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC边的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为　　　　. 【思路分析】　题图中的直角有很多,与CF联系紧密且易于构造一线三直角模型的直角是∠AFE,过直角顶点F用竖直的线(作矩形ABCD的边AD的垂线),可构造一线三直角模型,再结合题中的条件利用相似三角形的性质解题.
一线三直角在二次函数中的运用
例3 如图,抛物线y=x2-4x+3与坐标轴交于A,B,C三点,点P在抛物线上,连接BC,PE⊥BC于点E,若PE=2CE,则点P的坐标为　　　　. 【思路分析】　题图中与点P相关的直角顶点是E,可过点E作x轴或y轴的平行线,构造一线三直角模型,然后利用相关知识进行计算.
高分突破·微专项6 半角模型
1.模型说明半角模型是一种常见的模型,指的是在一个角的顶点处引出两条射线,使夹角为已知角的一半,且至少有一条射线在已知角内部,我们称之为大角夹半角模型,简称半角模型.本专题主要研究两种类型:①90°角夹45°角;②120°角夹60°角.
2.模型类别及相关结论
1.旋转的目的:将分散的条件集中起来,将隐蔽的关系显现出来;2.旋转的条件:具有公共端点的等线段;3.旋转的方法:以公共端点为旋转中心、相等的两条线段的夹角为旋转角进行旋转,使旋转后两线段重合.
例1 (1)如图(1),在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=45°.探究BE,DF,EF三条线段之间的数量关系;(2)如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,则(1)中的结论是否仍然成立?请加以证明.
【思路分析】【自主解答】
(1)如图(1),将△ABE绕点A逆时针旋转90°,至△ADE'的位置,使AB与AD重合,则AE'=AE,DE'=BE,∠DAE'=∠BAE.
又∵∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°,∴∠DAE'+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°,∴∠E'AF=∠EAF,又AF=AF,∴△AEF≌△AE'F,∴EF=E'F,∴EF=DE'+DF=BE+DF.
(2)成立.证明:如图(2),将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADE'的位置.则AE'=AE,DE'=BE,∠DAE'=∠BAE.又∵∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF= ∠BAD,∴∠DAE'+∠DAF=∠BAE+∠DAF= ∠BAD,∴∠E'AF=∠EAF,又AF=AF,∴△AEF≌△AE'F,∴EF=E'F,∴EF=DE'+DF=BE+DF.
例2 如图,在△PAB中,∠APB=90°,PA=PB,点C,D是边AB上两点,且∠CPD=45°,则线段AC,CD,BD之间有怎样的数量关系,并说明理由.【思路分析】方法一：方法二:以直线PC为对称轴,作△PAC的对称图形,以直线PD为对称轴,作△PBD的对称图形,易知点A,B的对应点重合,设为点A',在Rt△CA'D中,利用勾股定理及等量代换求解即可.
方法一:如图(1),将△APC绕点P逆时针旋转90°至△BPC'的位置,使PA与PB重合,连接DC',则PC'=PC,BC'=AC,∠BPC'=∠APC,∠PBC'=∠PAC=45°.又∵∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=45°,∴∠DPB+∠BPC'=∠DPB+∠APC=45°,∴∠DPC'=∠DPC,又PD=PD,∴△PDC≌△PDC',∴DC=DC'.
∵∠DBC'=∠PBA+∠PBC'=45°+45°=90°,∴BC'2+BD2=C'D2,∴AC2+BD2=CD2.方法二:如图(2),以直线PC为对称轴,作△PAC的对称图形,以直线PD为对称轴,作△PBD的对称图形,易知点A,B的对应点重合,设为点A',则CA'=CA ,DA'=DB,∠CA'P=∠CAP=45°,∠DA'P=∠DBP=45°,∴∠CA'D=90°,∴CA'2+DA'2=CD2,∴CA2+BD2=CD2.
例3 如图,△ABD是等边三角形,点C是△ABD外一点,CA=CB且∠ACB=120°,点E,F分别在边AD,BD上,且∠ECF=60°,连接EF.求证:EF=AE+BF.【思路分析】