【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题02 一元二次函数、方程与不等式（专题过关）

专题02   一元二次函数、方程与不等式（知识梳理）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·河南商丘·高一月考）若a>b，c>d，则下列不等式中一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据不等式的性质及反例判断各个选项.

【详解】

因为c>d，所以，所以，所以B正确；

时，不满足选项A；

时，，且，所以不满足选项CD；

故选：B

2．（2021·山东潍坊·高一月考）下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】

取特殊值可判断ACD，根据不等式的性质，分类讨论可判断B.

【详解】

取，则，故A错误；

若，因为，所以，若，因为，所以，

所以，综上，时，成立，故B正确；

取，则，故C错误；

取，则，故D错误.

故选：B

3．（2021·甘肃兰州·高二期中（理））设，则（    ）

A．最大值是7 B．最小值是7 C．最大值是 D．最小值是

【答案】C

【分析】

由题设可得且，应用基本不等式求最值，注意等号成立条件即可.

【详解】

由题设，，

∴，当且仅当，即时等号成立，

∴最大值是.

故选：C.

4．（2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一期中）若，则的最小值等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】

由可得，则，再利用基本不等式即可求出结果．

【详解】

，，

，

当且仅当即时，等号成立，

的最小值为4，

故选：D．

5．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）已知，，，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

因为，所以，则，再由基本不等式求解即可

【详解】

因为，

所以，

又，，

所以，

，

因为，

所以，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为，

故选：C

6．（2021·河南·高二期中（理））已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

首先根据题意得到，利用基本不等式得到的最小值，从而得到，再解不等式即可.

【详解】

因为，，所以，

所以，

又，，所以，，

所以，当且仅当，即，时等号成立，

所以当，时，取得最小值8.

要使恒成立，只要，解得.

故选：B

7．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】C

【分析】

根据题意，直接求解即可.

【详解】

根据题意，由，得，

因为不等式的解集为，

所以由，知，解得，

故不等式的解集为.

故选：C.

8．（2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中）已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

由二次函数的性质，结合已知单调区间可得，即可求a的取值范围.

【详解】

由题设，开口向上且对称轴为，

要使在上是增函数，则，可得.

故选：B

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.

9．（2021·山东滕州·高一期中）设，，，为实数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】

利用不等式的性质判断，利用特殊值判断BC，利用作差法，结合不等式的性质判断D.

【详解】

由可得，，A正确；

时，，B不正确；

时，，C不正确；

因为，所以，所以 所以 ，D正确；

故选：AD.

10．（2021·重庆市云阳县双江中学校高一月考）下列选项正确的是（   ）

A．若，则的最小值为4

B．若，则的最小值为2

C．若，则的最大值为-2

D．若正实数满足，则的最小值为8

【答案】CD

【分析】

A选项，分与时，利用基本不等式求解；B选项通过使用基本不等式，一正二定三相等，发现等号不成立；C选项，先判断出，，再基本不等式进行求解；D选项，1的妙用，使用基本不等式进行求解

【详解】

当时，，当且仅当，即时取等号，则有最大值为，当时，，当且仅当，即时取等号，则的最小值为2，故A错误；

因为，，所以，等号成立的条件是，即，方程无解，在这里不能使用基本不等式，B错误；

，，异号，故，，使用基本不等式，，当且仅当，即时取等号，则的最大值为，C正确；

正实数满足，则，当且仅当，即时取等号，则的最小值为8，D正确.

故选：CD

11．（2021·安徽·亳州二中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．不等式的解集为

C．不等式的解集为或

D．

【答案】AC

【分析】

根据一元二次不等式的解集可判断A正确；根据不等式的解集，可得方程的两根为、，利用韦达定理可得，代入相应不等式，结合的符号，化简后（求解），可判断BCD.

【详解】

关于的不等式的解集为，

所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；

方程的两根为、，

由韦达定理得，解得.

对于B，，由于，所以，

所以不等式的解集为，故B不正确；

对于C，由的分析过程可知，所以

或，

所以不等式的解集为或，故C正确；

对于D，，故D不正确.

故选：AC.

12．（2020·全国·高一课时练习）已知关于的方程,下列结论正确的是(    )

A．方程有实数根的充要条件是，或

B．方程有一正一负根的充要条件是

C．方程有两正实数根的充要条件是

D．方程无实数根的必要条件是

E.当时,方程的两实数根之和为0

【答案】BCD

【分析】

依次判断每个选项：或,故A错误；充要条件是,故B正确；解得,故C正确；,故D正确；无实数根,故E错误，得到答案.

【详解】

在A中,由得或,故A错误；

在B中,当时,函数的值为,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是,故B正确；

在C中,由题意得解得,故C正确；

在D中,由得,又,故D正确；

在E中,当时,方程为,无实数根,故E错误.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查了不等式相关的充分必要条件，意在考查学生的计算能力.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（2020·江苏省西亭高级中学高一期末）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ；

【答案】20吨

【分析】

依题意写出表达式，均值不等式求最小值．

【详解】

由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨．

【点睛】

实际问题一定注意实际问题中自变量的取值，取等号的条件．

14．（2021·天津市新华中学高三月考）若，，且，则 最小值是_____．

【答案】13

【分析】

由题得 ，进而，结合基本不等式求解即可

【详解】

由题得 ，故

又，当且仅当x=8,y=5,等号成立

故答案为13

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，考查换元思想，准确计算变形是关键，是中档题

15．（2021·全国·高一课时练习）已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】

将问题转化成关于的函数，则对任意恒成立，只要区间端点的函数值均小于0即可；

【详解】

由题意，因为当时，不等式恒成立，

可转化为关于的函数，

则对任意恒成立，则满足

解得，即的取值范围为.

故答案为：.

16．（2021·福建·厦门一中高一月考）实数满足下列三个条件：

①；②；③.

那么的大小关系是___________.

【答案】

【分析】

由于需要比较的数比较多，可采取分步比大小的方式，结合不等式的性质来进行判断

【详解】

有题知①，将②式③式分别相加，得到，化简得④，由②式及可得到，要使②成立，必须⑤成立，综合①④⑤式得到：

【点睛】

解决此类题型要注意分析式子的关联性，弄清首位顺序，才能高效解题

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2020·浙江·高一单元测试）已知不等式的解集是．

（1）若，求的取值范围；

（2）若，求不等式的解集．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到值，代入不等式可求解其解集

试题解析：（1）∵，∴，∴

（2）∵，∴是方程的两个根，

∴由韦达定理得解得

∴不等式即为：

其解集为．

考点：一元二次不等式解法

18．（2020·浙江·高一单元测试）已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.

（1）求实数值；

（2）若实数，满足，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【分析】

(1)先得到绝对值不等式的解集，根据两者解集相同，由韦达定理得到结果；（2）原式子等价于根据均值不等式求解即可.

【详解】

（1）,解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：.

（2），则，

当，即时取等号，即时有最小值.

【点睛】

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

19．（2021·河北雄县·高一月考）已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；

已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．

【答案】当时，y的最小值为7． ，时，xy的最大值为6．

【分析】

直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．

直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．

【详解】

已知，

则：，

故：，

当且仅当：，

解得：，

即：当时，y的最小值为7．

已知，，，

则：，

解得：，

即：，

解得：，时，xy的最大值为6．

【点睛】

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

20．（2009·湖北·高考真题（文））

围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.

（Ⅰ）将y表示为x的函数；

（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

【答案】（Ⅰ）y=225x+

（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

【详解】

试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值

试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m

则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360

由已知xa=360,得a=,

所以y=225x+

（2）

．当且仅当225x=时，等号成立．

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

考点：函数模型的选择与应用

21．（2020·河北·鸡泽县第一中学高一月考）设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对于，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】

（1）由得，然后分、、三种情况来解不等式；

（2）由恒成立，由参变量分离法得出，并利用基本不等式求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】

（1），，.

当时，不等式的解集为；

当时，原不等式为，该不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

（2）由题意，当时，恒成立，

即时，恒成立.

由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，

所以，，因此，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

22．（2019·四川·成都七中万达学校高二期中（文））已知，设：实数满足 ，：实数满足．

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）先解出命题、的不等式，由为真，得知命题与均为真命题，再将两个不等式对应的范围取交集可得出答案；

（2）解出命题中的不等式，由题中条件得知命题中的不等式对应的集合是命题中不等式对应集合的真子集，因此得出两个集合的包含关系，列不等式组解出实数的取值范围．

【详解】

（1）由  得 ，

当时，，即为真时，实数的取值范围是.

由，得，即为真时，实数的取值范围是.

因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是；

（2）由得，

所以，为真时实数的取值范围是.

因为是的必要不充分条件，所以且

所以实数的取值范围为：.

【点睛】

本题考查第（1）问考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，转化为两个命题为真假时参数取值范围的交集，第（2）问考查由命题的充分必要性求参数的取值范围，转化为集合的包含关系，考查转化与化归的数学思想的应用，属于中等题．