【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：期末模拟测试卷（C 巅峰卷）

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2022-2023学年上学期 期末模拟测试卷（C卷 巅峰版）

高一数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教A版2019 必修1（新教材）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2021·河南许昌·高一期末）已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先求出集合A，B，再求两集合的交集即可

【详解】

解：由，得，所以，

由，得，所以，

所以，

故选：B

2．（2021·河南许昌·高一期末）函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

易得t在上递减，在上递增，再由在上递增，利用复合函数的单调性求解.

【详解】

令，解得或，

t在上递减，在上递增，

又在上递增，

所以单调递增区间是

故选：D

3．（2021·河南许昌·高一期末）已知，，，则，，三者的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

分别求出，，的范围，即可比较大小.

【详解】

因为在上单调递增，所以，即，

因为在上单调递减，所以，即，

因为在单调递增，所以，即，

所以，

故选：C

4．（2021·河南许昌·高一期末）设函数，若关于方程有个不同实根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

等价于，即或

，转化为与和图象交点的个数为个，作出函数的图象，数形结合即可求解

【详解】

作出函数的图象如下图所示．

变形得，

由此得或，方程只有两根

所以方程有三个不同实根，则，

故选：B

【点睛】

易错点点睛：本题的易错点为函数的图像无限接近直线，即方程只有两根，另外难点在于方程的变形，即因式分解．

5．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先利用对数函数图象的特点求出点，再利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式可得，即可求解.

【详解】

对数函数恒过点，将其图象向左平移个单位，向上平移个单位可得的图象，点平移之后为点，所以，

令，，则，

所以，

由诱导公式可得：，

故选：D

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是求出，会利用三角函数的定义求出的三角函数值，会利用诱导公式化简.

6．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）已知角的终边经过点，且则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由题可判断的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，列出不等式即可求解.

【详解】

的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，

，解得.

故选：C.

7．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

8．（2021·浙江省三门第二高级中学高一期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一《方田》记载 ：“今有宛田，下周八步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（　　）

A．平方步 B．平方步 C．平方步 D．平方步

【答案】A

【分析】

利用扇形面积计算公式即可得出．

【详解】

∵弧长8步，其所在圆的直径是4步，

∴由题意可得：S2×8＝8（平方步），

故选A．

【点睛】

本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

9．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）下列函数中，能用二分法求函数零点的有

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】

对四个选项中的函数分别研究其零点两边函数值的正负，如异号则可以用二分法求零点，如同号则不可以用二分法求零点，得到答案.

【详解】

，，

当时，；

当时，，

在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，

其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.

故选.

【点睛】

本题考查二分法求函数零点的要求，属于简单题.

10．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）下列命题为真命题的是（    ）

A．函数在区间上的值域是

B．当时，，

C．幂函数的图象都过点

D．“”是“”的必要不充分条件

【答案】BCD

【分析】

对于A，由对勾函数的性质可知，函数在区间上单调递增，从而可求出其值域；对于B，当时，，所以方程一定有解；对于C，由幂函数的性质判断；对于D，由于，所以等价于，得，再与比较可得答案

【详解】

解：对于A，因为对勾函数在区间上单调递增，所以函数的值域为，所以A错误；

对于B，当时，，所以方程一定有解，所以，成立，所以B正确；

对于C，幂函数的图像恒过，所以C正确；

对于D，因为，所以等价于，得，因为 ，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确，

故选：BCD

11．（2021·福建·泉州科技中学高二阶段练习）已知对于函数（其中，），选取的一组值计算和，所得出的结果可能是（    ）

A．3和1 B．2和4 C．3和4 D．4和6

【答案】ABD

【分析】

设，利用定义可证为奇函数，进而可得，结合题意，分析选项，即可得答案.

【详解】

设，

所以，

所以为奇函数，

所以，即，

所以为偶数，

因为，所以和可以为1和3、2和4、4和6，

故选：ABD

12．（2021·浙江省三门第二高级中学高一期末）下列说法中错误的是（     ）

A．若，则是第四象限角

B．若函数的值域是，则它的定义域一定是

C．若，则实数的取值范围是

D．函数的单调递减区间为

【答案】ABD

【分析】

根据函数性质进行逐个判断即可.

【详解】

若，则异号，所以是第二象限角或者第四象限角，故A错误；

若，则函数的值域是，故B错误；

因为，又，

所以，则实数的取值范围是，故C正确；

函数的单调递减区间为，单调递减区间不能取并集，故D错误；

故选：ABD.

【点睛】

本题主要考查函数的基本性质，是高中数学知识的基础，是解决问题的必备知识，需要牢记.

第Ⅱ卷

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）若，则________.

【答案】

【分析】

，然后可得答案.

【详解】

因为

所以

故答案为：4

14．（2021·云南·弥勒市一中高一阶段练习）设，则________.

【答案】2

【分析】

先求出，再求的值即可

【详解】

解：由题意得，，

所以，

故答案为：2

15．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是______________.

【答案】

【分析】

根据函数的解析式可知函数再定义域内是基函数,由图象可知若函数有六个零点，,根据二次函数可知，，，即,最后整理可得,结合即可求出取值范围.

【详解】

解:因为函数为奇函数，根据解析式作出函数在上的图象如图：

由图可知，，且，即，所以是，

因为，故，即，

故，

根据对勾函数在上单调减，在上单调增，

故而在上单调减，

则，

故答案为：.

【点睛】

1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：

①利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满足条件的零点可能不惟一；不满足条件时也可能有零点．

②数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．

2.函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具．数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透，以开阔解题思路，提升解题效率．

16．（2020·浙江杭州·高一期末）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的所有可能取值组成的集合为___________.

【答案】

【分析】

先根据正弦函数的零点以及对称轴，判断为奇数，又由在上单调，可得且，由此求得的范围，检验范围内的每一个奇数即可.

【详解】

解：函数数，为的零点，为图像的对称轴，

且，

相减可得，

即，即为奇数，

又在上单调，

①

且②，

由①②可得，故奇数的最大值为11，

当时，，

此时在上不单调，不满足题意；

当时，，

此时在上单调递减，满足题意；

当时，，

此时在上不单调，不满足题意；

当时，，

此时在上单调递减，满足题意；

当时，，

此时在上单调递增，满足题意；

当时，，

此时在上单调递增，满足题意；

则的所有可能取值组成的集合为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查正弦函数的图像和性质，关键要求出的范围，并且要对范围内的数值进行检验，计算量较大，难度较大.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2021·河南许昌·高一期末）设全集，集合，

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【分析】

（1）由得到，然后利用集合的补集和交集运算求解.

（2）化简集合,根据,分和 两种情况求解.

【详解】

（1）当时，．

或，

或.

（2）,

若,

则当时，,

不成立

，

解得，

的取值范围是.

18．（2021·河南许昌·高一期末）已知函数是定义在上的奇函数．

(1)求实数的值；

(2)判断函数的单调性，并利用定义证明．

【答案】(1)；(2)为减函数；证明见解析．

【分析】

(1)根据奇函数的定义，即可求出；

(2)利用定义证明单调性．

【详解】

解：(1)，

由得，

解得．

另解：由，令得代入得：

验证，当时，，满足题意

(2)为减函数．

证明：由(1)知，

在上任取两不相等的实数，，且，

，

由为上的增函数，，，，，

则，．

函数为减函数．

【点睛】

定义法证明函数单调性的步骤：

(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)下结论．

19．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）．

(1)若,,求花坛的面积；

(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大？

【答案】（1）；（2）当线段的长为5米时，花坛的面积最大.

【分析】

(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；

(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD的长度.

【详解】

(1)设花坛的面积为S平方米.

答：花坛的面积为；

(2) 圆弧的长为米，圆弧的长为米，线段的长为米

由题意知，

即   *  ， 

，

由*式知，，

记则

所以=   

当时，取得最大值，即时，花坛的面积最大，

答：当线段的长为5米时，花坛的面积最大.

【点睛】

本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.

20．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）已知函数．

（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；

（2）设，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）令，则，将问题转化为在R上恒成立，利用判别式小于0即可得到答案；

（2）利用符合函数的单调性易得在上单调递增，利用单调性将问题转化为恒成立，求出的最小值即可.

【详解】

解：令，则．

（1）因为，所以，

则对任意，恒成立等价于对任意，恒成立.

故，解得或，即的取值范围为，

（2）因为，所以，

因为图象的对称轴为，所以在上单调递增，即在上单调递增．

因为，所以，．

因为，所以．

因为，所以，即．

因为，所以．

因为，所以，故．

因为，所以的取值范围是．

【点睛】

结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

21．（2021·浙江省三门第二高级中学高一期末）已知函数,的部分图象如图所示.

(1)求的解析式,并说明的图象怎样经过2次变换得到的图象;

(2)若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1),变换见解析;(2).

【分析】

（1）先根据图象求出的解析式；再结合图象变化规律说明的图象怎样经过2次变换得到的图象；
（2）先结合正弦函数的性质求出的范围；再结合恒成立问题即可求解.

【详解】

(1)由图得,

因为为函数递增区间上的零点,

所以,即.

因为,所以,

即，

将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度可得；

 (2)因为,所以,

所以当时,取最小值,

当时,取最大值1,

因为恒成立,即恒成立,

所以,

即.

【点睛】

本题主要考查由函数的部分图象求解析式，诱导公式，函数的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题.

22．（2021·浙江省三门第二高级中学高一期末）已知函数的最大值为1

（1）求常数的值；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若，且是第一象限角，求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）利用两角和、差的余弦公式，辅助角公式，化简整理，可得的解析式，根据题意，即可得a值.

（2）由（1）可得解析式，令，即可得答案.

（3）根据题意，可得，根据的范围，分析计算，可得值，利用两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案.

【详解】

（1）由题意得：

因为的最大值为1，

所以，解得.

（2）由（1）可得，

令，解得，

所以函数的单调递增区间为

（3）因为，所以，解得，

因为是第一象限角，即，所以，

因为，

所以，即，

所以

.

【点睛】

解题的关键是熟练掌握恒等变换公式、三角函数的性质等知识，并灵活应用，易错点为，根据的范围，得到的范围，此时无法判断的正负，还需比较与值的大小，进一步确定的范围，方可得答案，属中档题.