2023嘉兴一中高三上学期期中考试数学含解析
展开嘉兴一中2022学年第一学期期中考试
高三年级数学试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 已知,则( )
A. B. C. D.
3. 设是两条不同直线,是两个不同的平面,则下列为假命题的是( )
A. 若,,则 B. 若,,,则
C. 若,,则 D. 若,,,则
4. 已知,则“”是“恒成立”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任意一点,则点P到直线y=kx-1的距离不可能是( )
A. 4 B. 6
C. 3+1 D. 8
6. 已知数列 的前项和为,且满足,则( )
A. B. C. D.
7. 若函数处取得极值2,则( )
A. B. C. 0 D. 2
8. 若,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题:(多选)本题共4个小题,每小题5分,共20分.在每一小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有错选了得0分.
9. 已知平面直角坐标系中四点、、、,为坐标原点,则下列叙述正确的是( )
A B. 若,则
C. 当时,、、三点共线 D. 若与的夹角为锐角,则
10. 直线l与抛物线相交于,,若,则( )
A. 直线l斜率为定值 B. 直线l经过定点
C. 面积最小值为4 D.
11. 在棱长为1的正方体中,点M是的中点,点P,Q,R在底面四边形ABCD内(包括边界),平面,,点R到平面的距离等于它到点D的距离,则( )
A. 点P的轨迹的长度为 B. 点Q的轨迹的长度为
C. PQ长度的最小值为 D. PR长度的最小值为
12. 若对任意,不等式恒成立,则实数a可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 函数在区间上的值域是___________.
14. 已知的展开式中的系数是20,则实数______.
15. 在四面体中,,,且,,异面直线,所成角为,则该四面体外接球的表面积为______.
16. 设点在椭圆上,点在直线上,则的最小值为_____________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在锐角中,内角所对的边分别为,已知.
(1)求角的大小;
(2)求的取值范围.
18. 已知数列中,,点对任意的,都有,数列满足,其中为的前n项和.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
19. 已知正三棱柱中,.棱上一点.
(1)若,求直线与平面所成角的正弦值;
(2)若是中点,求点到平面的距离.
20. 根据中国海洋生态环境状况公报,从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量(单位:千吨)与年份的散点图如下:
记年份代码为,,对数据处理后得:
6 | 0.5 | 1.5 | 210 | 76 | 17 |
(1)根据散点图判断,模型①与模型②哪一个适宜作为关于的回归方程?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果,建立关于的回归方程,并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量(计算结果精确到整数).
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
21. 已知双曲线,O为坐标原点,离心率,点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程
(2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且,求的最小值.
22. 已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若有两个极值点,(),且不等式恒成立,求实数的取值范围.
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