湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期月考(四)数学试题（原卷版）

长郡中学2023届高三月考试卷（四）

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. ，若，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 函数零点所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数，则（    ）

A.  B.  C. 2 D.

4. 在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知向量，且，则（    ）

A. 68 B.  C.  D.

6. 为了解某种产品与原材料之间的关系，随机调查了该产品5个不同时段的产品与原材料的价格，得到如下统计数据表：

但是统计员不小心丢失了一个数据（用代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 的展开式中，的系数为（    ）

A. 60 B.  C. 120 D.

8. 三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A  B.  C.  D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知复数，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B. 的虚部为1

C.  D.

10. 对抛物线，下列描述不正确的是（    ）

A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为

C. 准线方程为 D. 准线方程为

11. 已知直线，则（    ）

A. 若，则

B 若，则

C. 若与坐标轴围成三角形面积为1，则

D. 当时，不经过第一象限

12. 某校3200名高中生举行了一次法律常识考试，其成绩大致服从正态分布，设表示其分数，且，则下列结论正确的是（    ）

（附：若随机变量服从正态布，则）

A.

B.

C. 分数在的学生数大约为2185

D. 分数大于94的学生数大约为4

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 将半径为4的半圆卷成一个圆锥，则圆锥底面半径为________，圆锥的体积为________．

14. 写出一个最小正周期为12奇函数__________．

15. 已知函数，若，则__________．

16. 某校电子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成．这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推，特别码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：1997届3班21号学生的登陆码为1997321*．（*为表中第1997行第一个数的个位数字）．若某学生的登录码为202*2138（），则可以推断该学生是__________届2班13号学生．

四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步聚．

17. 已知等差数列满足，前4项和．

（1）求的通项公式；

（2）设等比数列满足，求的前项和．

18. 在中，内角的对边分别是．已知．

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积．

19. 2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的界杯足球赛，体育生更是热爱观看世界杯，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计人数如下表所示：

（1）该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率；

（2）从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X，用上表中的频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．

20. 如图，在四棱锥中，底面．

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成角的余弦值．

21. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．

（1）求双曲线的方程；

（2）设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．

22. 已知函数．

（1）求函数在上的最值；

（2）若，当时，判断函数零点个数．