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指数函数

概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

      ⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：

规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

      2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；

       当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

       在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

      3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

      4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：

1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；
3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；
4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

 底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

　　   在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。    

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，

我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a＞0，a≠1).

因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数

y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草图

由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.

比较对数大小的常用方法有：

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.

(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比

幂函数

幂函数的图像与性质

幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．

从中可以归纳出以下结论：

①    它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

②    时，幂函数图像过原点且在上是增函数．

③    时，幂函数图像不过原点且在上是减函数．

④    任何两个幂函数最多有三个公共点．

幂函数（R，是常数）的图像在第一象限的分布规律是：

①所有幂函数（R，是常数）的图像都过点；

②当时函数的图像都过原点；

③当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）；

④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）

⑤当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）

⑥当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如）

当时，幂函数有下列性质：

（1）图象都通过点；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；

（4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。

当时，幂函数有下列性质：

（1）图象都通过点；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近；

（4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。

无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

对号函数

函数（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，（当且仅当即时取等号），由此可得函数（a>0,b>0,x∈R+）的性质:

当时，函数（a>0,b>0,x∈R+）有最小值，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。函数（a>0,b>0）在区间（0，）上是减函数，在区间（，+∞）上是增函数。

因为函数（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数（a>0,b>0,x∈R-）的性质：

当时，函数（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数（a>0,b>0）在区间（-∞，-）上是增函数，在区间（-，0）上是减函

奇函数和偶函数

（1）如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数．
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数．
说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇
　(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x) 是不易的．为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数．用这个方法判断此函数较为方便：f(x)
　(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值，
当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数．
　(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形．
　(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证．
　例 如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．
　解 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0
　　则有－x1＞－x2＞0，
　　∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，
　　∴f(－x1)＞f(－x2)
　　又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立，
　　∴=－f(x1)＞－f(x2)
　　∴f(x1)＜f(x2)．
　　∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
　　由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同．
　　类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反．
时，f(x)的解析式
　　解 ∵x＜0，∴－x＞0．
　　又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)．

偶函数图象对称性的拓广与应用

　　 我们知道，如果对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真．由此可拓广如下：

　　 如果存在常数a，b，对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x，a+x，b-x仍在

　　 (a+b-x，f(x))，而f(a＋b－x)＝f[a＋(b－x)]＝f[b－(b－x)]＝f(x)，对称点P'(a+b-x，

　　称；