微专题 对数函数的定义域、值域 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 对数函数的定义域、值域 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共28页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：对数函数的定义域、值域
【考点梳理】
1. 对数函数
(1)对数函数的概念：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象和性质

0＜a＜1
a＞1
图象


定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
减函数
增函数
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
(3)指数函数与对数函数的关系：一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线y＝x对称.
2. 对数函数相关结论
(1)对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝logax＋b恒过定点(1，b)，仍以y轴为渐近线.
(2)作对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(1，0)，(a，1).
(3)对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大.



【题型归纳】
题型一：求对数函数的定义域
1．已知集合，集合（为自然对数的底数），则（       ）
A． B． C． D．
2．记函数的定义域为集合A，若“”是关于x的不等式成立”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
3．若函数的定义域为，则（       ）
A．3 B．3 C．1 D．1


题型二：求对数函数的值域
4．下列函数中值域为的是（       ）
A． B． C． D．
5．“，使得成立”是“恒成立”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数，则的值域为（       ）
A． B． C． D．


题型三：根据对数函数的值域求参数值或范围
7．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
8．若函数的值域为，则 的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
9．已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．或
C．或 D．






【双基达标】
10．下列函数中，值域为的是（       ）
A． B． C． D．
11．已知集合，则（       ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则函数的零点个数为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．若集合，，则（       ）
A． B． C． D．
14．已知函数在上的值域为，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
15．设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（       ）
A． B．
C． D．
16．函数的定义域为 （       ）
A． B． C． D．
17．函数y＝的定义域是（       ）
A． B． C． D．．
18．若函数的定义域为，则（       ）
A．1 B．－1
C．2 D．无法确定
19．设集合，则（       ）
A． B． C． D．
20．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
21．若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（     ）
A． B．
C． D．
22．已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
23．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
24．已知集合，，则为（       ）
A． B． C． D．
25．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．


【高分突破】
一、 单选题
26．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
27．函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
28．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
29．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（       ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
30．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
31．已知函数，则的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
32．下列函数中最小值为4的是（       ）
A． B．
C． D．
33．已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
34．不等式成立的一个充分不必要条件是（       ）
A． B．
C． D．
二、多选题
35．已知函数，，若存在，使得，则的取值可以是（       ）
A．－4 B．－2 C．2 D．3
36．已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．函数的图象与x轴有两个交点
C．函数的最小值为
D．函数的最大值为4
E．函数的图象关于直线对称
37．关于函数，则下列说法正确的是（       ）
A．其图象关于y轴对称
B．当时，是增函数；当时，是减函数
C．的最小值是
D．无最大值，也无最小值
38．设函数=ln(x2-x+1)，则下列命题中正确的是（       ）
A．函数的定义域为R
B．函数是增函数
C．函数的值域为R
D．函数的图象关于直线x=对称
三、填空题
39．函数的定义域是___________.
40．不等式的解集是________.
41．已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数a的取值范围是______．
42．已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；
43．函数的单调递增区间为______.
44．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________
四、解答题
45．若函数、都在区间I上有定义，对任意都有成立，则称、为区间I上的“均分函数”．
(1)判断、是否为区间上的“均分函数”，并说明理由；
(2)若、为区间上的“均分函数”，求m的取值范围；
(3)若、为区间上的“均分函数”，求k的取值范围．
46．已知函数（且）的图象过点
（1）求的值.
（2）若.
（i）求的定义域并判断其奇偶性；
（ii）求的单调递增区间.
47．已知函数.
（1）当时，求；
（2）求解关于的不等式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
48．已知函数.
(1)求在上的最大值；
(2)设函数的定义域为I，若存在区间，满足:对任意，都存在(其中表示A在I上的补集)使得，则称区间A为的“Γ区间”.已知，若为函数的“Γ区间”，求a的最大值.
49．已知函数在[1，2]时有最大值1和最小值0，设．
（1）求实数，的值；
（2）若不等式在[4，8]上有解，求实数的取值范围

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
求出集合由交集的运算可得答案.
【详解】
集合，
，
.
故选：C．
2．B
【解析】
【分析】
求出函数的定义域得集合，解不等式得的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案.
【详解】
函数有意义的条件为，解得，
所以，不等式，即，
因为，所以，记不等式的解集为集合，
所以，所以，得.
故选：B．
3．A
【解析】
【分析】
根据题意可知为方程的一个根，从而可求出的值
【详解】
由，得，
由题意可知上式的解集为，
所以为方程的一个根，
所以，得，
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
根据指数对数和幂函数的值域判断即可
【详解】
值域为，值域为R，值域为，值域为R，故只有满足.
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
结合函数的最值（值域）以及充分、必要条件的知识来确定正确答案.
【详解】
的最小值为2，故，
“恒成立”，
即“恒成立”，
所以，故.
故是充要条件.
故选：C
6．D
【解析】
【分析】
首先求出的范围，然后可得答案.
【详解】
因为，所以，所以，
故选：D
7．D
【解析】
【分析】
首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：由题意可得当时，所以的值域为，
设时，的值域为，则由的值域为R可得，
∴，解得，即．
故选：D
8．C
【解析】
【分析】
求出当和时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可
【详解】
当 时，
当 时，
要使 的值域为
则 ，
故选：C
9．B
【解析】
【分析】
根据函数的值域为R可得或，利用复合函数的单调性和二次函数的性质可得a的取值范围.
【详解】
因为函数的值域为R，
所以取得一切正数，
即方程有实数解，
得，解得或；
又函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，且在上恒成立，
则，解得，
综上，实数a的取值范围为或.
故选：B
10．C
【解析】
由题意利用基本初等函数的值域，得出结论．
【详解】
解：函数的值域为，，故排除；
函数的值域为，故排除；
函数的值域为，故满足条件；
函数的值域为，，故排除，
故选：．
11．C
【解析】
【分析】
根据对数型函数的定义域，结合解一元二次不等式的方法、集合并集的定义进行求解即可.
【详解】
因为，，所以.
故选：C
12．B
【解析】
【分析】
由的性质求出对应区间的值域及单调性，令并将问题转化为与交点横坐标对应值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.
【详解】
令，
当时，且递增，此时，
当时，且递减，此时，
当时，且递增，此时，
当时，且递增，此时，
所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：

由图知：与有两个交点，横坐标、：
当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.
综上，的零点共有4个.
故选：B
13．D
【解析】
【分析】
求出集合、，利用补集和交集的定义可求得结果.
【详解】
因为，则或
，因此，.
故选：D.
14．C
【解析】
画出函数的图象，根据函数在上的值域为，得到m的范围，进而得到3m的范围，再利用函数的单调性求解.
【详解】
函数的图象，如图所示：

因为函数在上的值域为，
由图象可得，
而在上单调递增，故的取值范围是.
故选；C
15．A
【解析】
【分析】
先求出的定义域，然后利用奇函数的性质求出的值，从而得到的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出的值域．
【详解】
因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.
故选：.
16．D
【解析】
【分析】
对数函数的定义域为真数大于0，解不等式即可.
【详解】
解：函数的定义域为：，即或，
所以定义域为：.
故选：D.
17．A
【解析】
【分析】
根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.
【详解】
依题意，
所以的定义域为.
故选：A
18．B
【解析】
【分析】
先根据定义域确定的解为，再确定，且，即解得结果.
【详解】
函数的定义域为，则的解集为，
即，且的根，故.
故选：B.
19．D
【解析】
【分析】
先用列举法写出集合和集合，再判定他们之间的关系即可得出答案.
【详解】
根据题意，
时，
所以选项D正确.
故选：D.
20．D
【解析】
令，由题意可知，函数的值域包含，分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
令，由于函数的值域为，
所以，函数的值域包含.
①当时，函数的值域为，合乎题意；
②当时，若函数的值域包含，
则，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于分析出内层函数的值域包含，进而对参数进行分类讨论，结合二次函数的基本性质求解.
21．D
【解析】
【分析】
根据函数的图象经过点(4，2)可求出的值，把的值代入函数的解析式，从而根据函数的定义域及单调性排除选项.
【详解】
由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝.
所以，
因为函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，所以排除选项A，B，C.
故选：D.
22．C
【解析】
【分析】
分析给定函数的性质，利用函数的奇偶性、单调性解不等式作答.
【详解】
函数定义域为，
显然有，即函数是偶函数，
当时，，令，
，，，
因，则，即，，有，在上单调递增，
又在上单调递增，因此，在上单调递增，
于是得，解得或，
所以不等式成立的x的取值范围是.
故选：C
23．B
【解析】
令，要使已知函数的值域为，
需值域包含，对系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解.
【详解】
解：∵函数的值域为，
令，
当时，，不合题意；
当时，，此时，满足题意；
当时，要使函数的值域为，
则函数的值域 包含，
，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：要使函数的值域为，需要作为真数的函数值域必须包含，对系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解.
24．D
【解析】
化简集合N，根据并集运算即可.
【详解】
由，解得
，
，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二次不等式，集合的并集，属于容易题.
25．C
【解析】
【分析】
由题得，即求.
【详解】
∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
26．C
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质可化简集合，根据对数函数性质得集合，然后计算交集．
【详解】
由已知，，
∴．
故选：C．
27．A
【解析】
【分析】
根据真数大于0列不等式后再解不等式即可.
【详解】
由题意得，即，解得.
故选:A.
28．B
【解析】
【分析】
化简集合A，B，根据集合的交集运算可得结果.
【详解】
∵集合，，
∴.
故选：B.
29．A
【解析】
【分析】
对于AC:直接求出定义域，即可判断；
对于B:取特殊情况，a=0时，值域为R，否定结论；
对于D:取特殊情况，a=-4时否定结论.
【详解】
对A，当时，解有，故A正确；
对B，当时，，此时，，
此时值域为，故B错误；
对C，由A，的定义域为，故C错误；
对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.
故选：A.
30．B
【解析】
【分析】
由题知，，进而根据补集运算与交集运算求解即可.
【详解】
解：因为，，
所以，
所以
故选：B
31．A
【解析】
根据对数的定义，结合复合函数的定义域性质进行求解即可.
【详解】
由可知：或，
因此有：或，显然不成立，故，解得或.
故选：A
32．C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
33．C
【解析】
【分析】
求出集合、，利用交集的定义可求得结果.
【详解】
对于函数，，则，故，
，因此，.
故选：C.
34．D
【解析】
【分析】
先利用对数函数单调性解不等式，再判断出充分不必要条件.
【详解】
由，由于，而，故不等式成立的一个充分不必要条件是，A选项是充要条件，B选项是既不充分也不必要条件，C选项是必要不充分条件.
故选：D.
35．AB
【解析】
【分析】
根据条件求出两个函数的值域，结合若存在，使得，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可.
【详解】
当时，，即，
则的值域为，
当时，，
则的值域为，
若存在，使得，
则，
若，
则或，
解得或.
所以当时，
的取值范围为.
故选：AB
36．ABC
【解析】
【分析】
A，利用函数直接求解；B令求解即可；C，转化为二次函数求解；D，转化为二次函数求解；E，取特殊值验证即可.
【详解】
A正确，；
B正确，令，得，
解得或，即的图象与x有两个交点；
C正确，因为，所以当，
即时，取最小值；
D错误，没有最大值；
E错误，取，则.
故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查对数型函数的图象和性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
37．AC
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，求其定义域，奇偶性，单调性即可.
【详解】
函数定义域为，
又满足，所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，A正确；
函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，，又是偶函数，所以函数的最小值是，故BD不正确，C正确
故选：AC．
38．AD
【解析】
【分析】
求得对数型复合函数的定义域、单调性、值域以及对称性，即可判断和选择.
【详解】
A正确，∵x2-x+1=>0恒成立，∴函数的定义域为R；
B错误，函数y=ln(x2-x+1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；
C错误，由x2-x+1=可得y=ln(x2-x+1)≥，∴函数的值域为；
D正确，，故函数的图象关于直线x=对称.
故选：.
【点睛】
本题考查对数型复合函数性质的求解，属综合基础题.
39．
【解析】
【分析】
由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域
【详解】
由题意可得解得，即的定义域是.
故答案为：
40．
【解析】
【分析】
由，结合在单调递减，即可求解集.
【详解】
解：由在单调递减，因为，
所以 ，解得，，即解集为.
故答案为:
【点睛】
本题考查了对数不等式的求解，考查了对数函数的单调性，考查了对数函数的定义域.本题的易错点是忽略了真数需要大于零.
41．
【解析】
由对数函数的性质可得，转化条件为、，由二次函数的图象与性质即可得解.
【详解】
因为，所以即，
函数的图象开口朝上，对称轴为，
①当，函数在上单调递增，所以，
即，
所以，解得；
②当时，函数在上单调递减，所以，
即，
所以，解得；
③当时，，，
所以，解得；
④当时，，，
所以，解得；
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
解决本题的关键是将条件转化为、，结合二次函数的图象与性质讨论即可得解.
42．8
【解析】
【分析】
根据条件可得在，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出的范围．
【详解】
当时，．
因为的值域为，则当时，．
当时，，
故在，上单调递增，
，即，
解得，即的最大值为8．
故答案为：8．
43．
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性及定义域解答即可.
【详解】
由题意，，解得或，
所以的定义域为.由二次函数的图象与性质，知函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.
【详解】
由，解得：或，故函数的定义域为，
又，
为上的偶函数；
当时，单调递增，
设，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；
由可知，解得．
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
45．(1)是均分函数，理由见解析；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由题设有，换元法及二次函数的性质求值域，结合“均分函数”定义判断即可.
（2）由题设在恒成立，列不等式组求范围，即可得的范围.
（3）由题设有在上恒成立，分别求不等式左侧最大值、右侧最小值，即可得k的取值范围．
(1)
，设，
∴，
∴、是上的均分函数；
(2)
由题意：在恒成立，即．
∴，解得，则；
(3)
由题意：
∴，即．
又在上是严格增函数，则．
由，当且仅当时等号成立，但，
故当时，，
∴．
46．（1）；（2）（i）定义域为，是偶函数；（ii）.
【解析】
【分析】
（1）由可求得实数的值；
（2）（i）根据对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，由此可解得函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义可证明函数为偶函数；
（ii）利用复合函数法可求得函数的增区间.
【详解】
（1）由条件知，即，又且，所以；
（2）.
（i）由得，故的定义域为.
因为，故是偶函数；
（ii），
因为函数单调递增，函数在上单调递增，
故的单调递增区间为.
47．（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将直接代入解析式计算即可.
（2）将整理为，解得或，再对讨论即可解不等式.
（3）将问题转化为，分别分和讨论，求最小值，令其大于，即可求解.
【详解】
（1）当时，
（2）由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为
（3）由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为
【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题.
48．（1）答案见解析；（2）1.
【解析】
（1）作出函数的图象，分， ，利用数形结合法求解.
(2)根据对任意，都存在使得，分，，分别求得在和上的值域，利用集合法求解.
【详解】
（1）函数的图象如图所示：

当时，的最大值为，
当时，的最大值为.
(2) 当时，在上的值域为，在上的值域为，
因为满足:对任意，都存在使得，
所以Í，成立；
此时为函数的“Γ区间”，
当时，在上的值域为，在上的值域为，
当时， ，所以， ，
即存在，对任意使得，
所以不为函数的“Γ区间”，
所以a的最大值是1.
【点睛】
方法点睛：双变量存在与恒成立问题：
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 ；
若， 成立，则 的值域是的子集；
49．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）讨论时，易知函数为常数函数不合题意，时，确定函数单调性，进而根据条件求出a,b；
（2）由（1）求出，进而化简不等式为，然后分离变量即可解得.
【详解】
（1）函数，
若时，，最大值等于最小值，不符合题意，
所以，的对称轴为，所以在区间[1，2]上是增函数，
故，解得．
（2）由已知可得，则，
所以不等式
转化为在上有解，
设，则，
即在上有解，
即有解，
∵，∴，
∴当时，取得最大值，最大值为．
∴即,∴的取值范围是.