浙教版初中数学八年级下册第五单元《特殊平行四边形》（标准难度）（含答案解析）（含答案解析） 试卷

浙教版初中数学八年级下册第五单元《特殊平行四边形》（标准难度）（含答案解析）

考试范围：第五单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，，，，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在矩形中，，，是上一动点，于，于，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是(    )

A. 一般平行四边形 B. 一般四边形
C. 对角线垂直的四边形 D. 矩形

4.  如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  如图：已知菱形的顶点，且，点在轴的正半轴上按以下步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边、于点、分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点作射线，交菱形的对角线于点，则点的坐标为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，已知点、、、分别是菱形各边的中点，则四边形是(    )

A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形

7.  如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，菱形的两条对角线，相交于点，是的中点，若，菱形的面积为，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，正方形的面积为，为正三角形，点在正方形内，在对角线上取一点，使最小，则这个最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在四边形中，，，，交于点添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是(    )

A. 添加“”，则四边形是菱形
B. 添加“”，则四边形是矩形
C. 添加“”，则四边形是菱形
D. 添加“”，则四边形是正方形

11.  如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．则下列说法：
若，则四边形为矩形；
若，则四边形为菱形；
若四边形是平行四边形，则与互相平分；
若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．
其中正确的个数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.  如图，正方形的边长为，点是的中点，点从点出发，沿移动至终点设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  矩形的三个顶点坐标分别是，，，那么第四个顶点坐标是____________．

14.  如图，菱形和菱形的边长分别是和，，连结，则的长为          ．
 

15.  如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为______．

16.  如图，定义：若菱形与正方形的两个顶点，重合，另外两个顶点，在正方形的内部，则称菱形为正方形的内含菱形．若正方形的周长为，其内含菱形的边长是整数，则内含菱形的周长为________；若正方形的面积为，其内含菱形的面积为，则内含菱形的边长为________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

如图，长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的路线移动移动一周．

写出点的坐标；
当点移动了秒时，求出点的坐标；
在移动过程中，当的面积是时，直接写出点的坐标．

18.  本小题分

已知：如图，在中，，，分别平分和，交于点，．
求证：四边形是矩形．

19.  本小题分
已知：如图，在矩形中，，分别是，上的点，且，求证：．
 

20.  本小题分
如图，在▱中，，是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结．
 

求证：四边形是菱形．

若，，求的面积．

21.  本小题分
如图，在▱中，对角线平分．
 

求证：四边形是菱形．

过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点若，，求的长．

22.  本小题分

如图，在▱中，对角线平分．

求证：四边形是菱形；

过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点若，，求的长．

23.  本小题分

如图，已知在菱形中，，，分别为，，的中点，连接，，，．

求证：

当与满足什么关系时，四边形是正方形请说明理由．

24.  本小题分
如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且．
 

试判断四边形是什么四边形并说明理由

当的大小满足什么条件时，四边形是正方形请回答并证明你的结论．

25.  本小题分

如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接．

求证：；

如果，试判断四边形的形状并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形中位线定理的应用有关知识，可连接、，利用三角形中位线定理及矩形的性质求解．
【解答】
解：连接、；

、分别是、的中点，
是的中位线；
；
同理可证得，；
若四边形是矩形，则；
．
故四边形应具备的条件为对角线互相垂直．
故选C．  

2.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，连结，
，，
，
，
即，
解得．
在矩形中，
，
，
．

故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行四边形的性质以及矩形的判定：四个角都是直角的四边形是矩形．
由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有个直角，因此这个四边形一定是矩形．
【解答】
解：如图；
四边形是平行四边形，
；
、平分、，
，即；
同理可证得：；
故四边形是矩形．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．根据题意可知是的中位线，所以的长可求；根据勾股定理可求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长，进而求出的长．
【解答】
解：是矩形的对角线的中点，是的中点，
，
，，
，
是矩形的对角线的中点，
，
，
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：如图，作于．

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，，
由作图可知：平分，
，
，
，，
，
，
故选：．
如图，作于证明是等边三角形，求出即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接、交于．

四边形是菱形，
，
，，
，，
同法可得：，，
，，
四边形是平行四边形，
同法可证：，
，
，
，
四边形是矩形．
故选：．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．先作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值．然后证明四边形为平行四边形，即可求出．
【解答】
解：如图
，
作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值，最小值为的长．
菱形关于对称，是边上的中点，
是的中点，
又是边上的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，即的最小值为，
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，菱形的面积为，
，
解得：，
，，，
又点是中点，
是的中位线，
在中，，
则．
故选：．
先根据面积相等求出的值，再利用勾股定理求出来，由已知易得为的中位线，则的长度可求．
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，可得与交于点．
点与关于对称，
，
最小．
正方形的面积为，
．
又是等边三角形，
．
故所求最小值为．
故选：．
由于点与关于对称，所以与的交点即为点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的面积为，可求出的长，从而得出结果．
此题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点的位置是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形判定和性质、平行线的性质、菱形的判定定理、正方形的判定定理等知识点；
根据全等三角形的判定和性质可得，，结合平行线的性质和菱形的判定定理、正方形的判定定理即可判定各个选项．
【解答】
解：、在与中

≌
，，

，

，，
又
，
四边形是菱形，故A说法正确；
B、无法判断，故B说法错误；
C、≌

又，
≌

又
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故C说法正确；
D、≌



又
四边形是矩形
又
矩形是正方形，故D说法正确；
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，
故选项正确，错误，
故选：．
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，据此即可解题．
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形．
 

12.【答案】 

【解析】解：通过已知条件可知，当点与点重合时，的面积为；
当点在上运动时，的高不变，则的面积是的一次函数，面积随增大而增大；
当时有最大面积为，
当在边上运动时，的底边不变，则的面积是的一次函数，面积随增大而增大，
当时，有最大面积为；
当点在边上运动时，的底边不变，则的面积是的一次函数，面积随增大而减小，当时最小面积为；
因此只有选项的图象符合题意．
故选：．
根据题意，分类讨论：当点在上运动时、当在边上运动时、当点在边上运动时，分别判断出与的关系是一次函数，并确定的取值范围和的最值，然后作出判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象，一次函数的性质，正方形的性质，三角形面积，难度不大．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查对矩形的性质，坐标与图形的性质等知识点的理解和掌握，能灵活运用矩形的性质是解此题的关键．画出图形，根据矩形的性质和坐标与图形性质得到点的横坐标与的横坐标相等，纵坐标与的纵坐标相等，即可求出的坐标．
【解答】
解：如图所示：

矩形中，、、三点的坐标分别，，，
点的横坐标与的横坐标相等，纵坐标与的纵坐标相等，
即的坐标是．  

14.【答案】 

【解析】略
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
设，则，根据菱形的性质得，，，再证明，所以，解得，然后利用勾股定理计算，再计算的长．
【解答】
解：，
设，则，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，解得，
即，，
在中，，
在中，．
故答案为．  

16.【答案】； 

【解析】略
 

17.【答案】略 

【解析】略
 

18.【答案】证明：在中，，是边的中线，
，，
，
为的外角的平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形为矩形． 

【解析】此题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质：三线合一的性质．解答此类题的关键是根据等腰三角形的性质结合三角形外角性质证明由在中，，是边的中线，可得，即，再由平分和，可证明，又因为，所以四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形即可证明四边形是矩形．
 

19.【答案】证明：在矩形中，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌； 

【解析】略
 

20.【答案】由已知易证，
．
 ，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形

由，四边形是菱形，
则．
由，
得．
在中，
，

可得．
 

【解析】略
 

21.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，

，

．

平分，，

，

，▱是菱形．

四边形是菱形，．

，，

四边形是平行四边形，，

，．

，，是等腰直角三角形，

，．

【解析】略
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
▱是菱形；
解：四边形是菱形，
，
，，
四边形是平行四边形，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
． 

【解析】略
 

23.【答案】证明：因为四边形为菱形，
所以，D.
因为，分别是，的中点，
所以，．
所以．
在和中，
．

解：当时，四边形是正方形．

理由如下：
因为，，分别是，，的中点，
所以，，，，．
因为四边形为菱形，
所以．
所以．
所以四边形为菱形．
因为，
所以．

所以．
所以．
所以四边形为正方形．

【解析】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及正方形的判定．
根据菱形的性质，可得，    ，由、分别为、的中点，可得，再根据 判定两个三角形全等即可；
由菱形的判定与性质、三角形中位线定理，可得  ，  ，  ，  ，  ，则四边形为菱形，所以当  时，四边形是正方形．
 

24.【答案】四边形是菱形．垂直平分，

，，，

，，，

，，，

，，

四边形是菱形

当时，菱形是正方形．

证明：，，
，，

菱形是正方形．
 

【解析】略
 

25.【答案】  ，是的中点，在和中，≌，．

四边形是正方形，证明如下：，是中线，，  ，四边形是平行四边形．，是中线，，，四边形是矩形．，四边形是正方形．

【解析】略