北师大版 (2019)必修 第一册1.1 随机现象学案及答案

第七章　概 　率

§1　随机现象与随机事件

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　随机现象

1．在自然界和人类社会中，普遍存在着两种现象．一类是在一定条件下必然出现的现象，称为________．

另一类则是在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为________．

2．随机现象有两个特点：

(1)____________________________；

(2)事先并不知道会出现哪一种结果．

答案：1.确定性现象　随机现象　2.(1)结果至少有2种

【主题2】　样本空间

一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的________，记作Ω.样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的________，记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间．

答案：样本空间　样本点

【主题3】　随机事件

一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的________，简称事件，常用A，B，C等表示．在每次试验中，当一个事件发生时，这一子集中的样本点必出现其中一个；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生．

样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为________．

空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为________．

答案：随机事件　必然事件　不可能事件

【主题4】　随机事件的运算

1．交事件与并事件

(1)交事件

一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的________(或积事件)，记作________(或________)．事件A∩B是由事件A和事件B所共有的样本点构成的集合．

(2)并事件

一般地，由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的________(或和事件)，记作________(或________)．事件A与事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的样本点构成的集合．

2．互斥事件与对立事件

(1)互斥事件

一般地，不能同时发生的两个事件A与B(________)称为________．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件．

(2)对立事件

若A∩B＝∅，且________，则称事件A与事件B互为________，事件A的对立事件记作________．

答案：

1．(1)交事件　A∩B　AB　(2)并事件　A∪B　A＋B

2．(1)A∩B＝∅　互斥事件　(2)A∪B＝Ω

对立事件　

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)奥运会上美国男子篮球队夺冠是确定性现象．(　　)

(2)任一事件A是相应样本空间Ω的一个子集．(　　)

(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)

(4)设M，N是两个随机事件，若M∪N＝Ω，则事件M与事件N不会同时发生．(　　)

答案：(1)　(2)√　(3)√　(4)

2．下列现象是随机现象的是(　　)

①标准大气压下，水加热到100°C沸腾；

②李强射击一次中靶；

③某人购买福利彩票7注，7注均未中奖．

A．①②  B．②③  C．②  D．③

答案：B　

解析：①是确定性现象，②③是随机现象．

3．从6个男生和2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是(　　)

A．3个都是男生   B．至少有1个男生

C．3个都是女生   D．至少有1个女生

答案：B　

解析：由于女生只有2人，而现在要选择3人，所以至少要有1个男生被选中．所以B选项为必然事件，故选B.

4．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，

①在这200件产品中任意抽取9件，全部是一级品；

②在这200件产品中任意抽取9件，全部是二级品；

③在这200件产品中任意抽取9件，不全是一级品；

④在这200件产品中任意抽取9件，其中不是一级品的件数小于9.

其中，__________是必然事件，__________是不可能事件，________是随机事件．

答案：④　②　①③　

解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知，④是必然事件，②是不可能事件，①③是随机事件．

5．把红、黑、白、蓝四张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)

A．对立事件       B．不可能事件

C．互斥但不对立事件       D．以上均不对

答案：C

课堂篇·重难要点突破

研习1　事件类型的判断

[典例1]　(1)从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情(　　)

A．可能发生       B．不可能发生

C．很可能发生       D．必然发生

(2)指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．

①我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭．

②若a为实数，则|a|≥0.

③抛掷硬币10次，至少有一次正面向上．

④同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标．

[审题路线图]事件类型的判断⇒根据事件的概念判断．

(1)答案：D　

解析：因为若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张，一定还有1张黑桃；若抽出了全部的梅花与黑桃共7张，则还会有3张红桃；若抽出了全部的红桃与黑桃共8张，则还会有2张梅花．所以这个事件一定发生，是必然事件．

(2)解：①我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．

②对任意实数a，|a|≥0总成立，是必然事件．

③抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．

④同一门炮向同一目标发射，命中率不一定是50%，是随机事件．

判断三种事件类型的思路

首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不会发生(不可能事件)．

[练习1]在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？

(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；

(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；

(3)没有空气，种子发芽；

(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话．

解：由实数的运算性质知(1)恒成立，故(1)是必然事件．

没有空气，种子不会发芽，故(3)是不可能事件．

从6张号签中任取一张，可能取出4号签，也可能取不到4号签；电话总机在60秒内可能接到至少15个电话，也可能接不到15个电话，故(2)(4)是随机事件．

研习2　试验结果的列举

[典例2]　某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．写出这个试验的样本空间．

[审题路线图]试验结果的列举⇒明确条件和结果，根据生活经验按一定顺序逐一列出全部结果．

解：当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的样本空间是{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．

[延伸探究]　本例中条件不变，写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．

解：记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．

不重不漏地列举试验的样本点的方法

(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件．

(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有样本点，可应用画树状图、列表等方法解决．

[练习2]袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．

(1)从中任取1球．

(2)从中任取2球．

解：(1)条件为从袋中任取1球，结果为：红、白、黄、黑4种．

(2)条件为从袋中任取2球，若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为(红，白)、(红，黄)、(红，黑)、(白，黄)、(白，黑)、(黄，黑)6种．

研习3　事件的运算

[典例3]　掷一枚骰子，下列事件：

A＝{出现奇数点)，B＝{出现偶数点)，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．

求：(1)A∩B，BC；

(2)A∪B，B∪C；

(3)记H是事件D的对立事件，求H，AC，H∪E.

[审题路线图]事件的运算⇒利用事件间运算的定义，借助集合间运算的思想求解．

解：(1)A∩B＝∅，BC＝{出现2点}．

(2)A∪B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，

B∪C＝{出现1,2,4或6点}．

(3)H＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，

AC＝{出现1点}，

H∪E＝{出现1,2,3或6点}．

事件间的运算方法

(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．

(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．

提醒：在一些比较简单的题目中，可以根据常识来判断事件之间的关系，但对于比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．

[练习3]盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．

问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故C∩A＝A.

研习4　事件关系的判断

[典例4]　(1)从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是(　　)

A．①      B．②④      C．③      D．①③

(2)一位射击手进行一次射击．

事件A：命中的环数大于7环；

事件B：命中环数为10环；

事件C：命中的环数小于6环；

事件D：命中的环数为6,7,8,9,10环．

判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

①事件A与B；②事件A与C；③事件C与D.

[审题路线图]事件关系的判断⇒抓住互斥与对立事件的定义来判断．

(1)答案：C　

解析：根据题意，从1,2,3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的4个事件可得：

①：恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；

②：至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；

③：至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；

④：至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件．

(2)解：①不是互斥事件，更不可能是对立事件．

理由：事件A：命中的环数大于7环，包含事件B：命中环数为10环，二者能够同时发生，即A∩B＝{命中环数为10环}．

②是互斥事件，但不是对立事件．

理由：事件A：命中的环数大于7环，与事件C：命中的环数小于6环不可能同时发生，但A∪C＝{命中环数为1,2,3,4,5,8,9,10环}≠I(I为全集)．

③是互斥事件，也是对立事件．

理由：事件C：命中的环数小于6环，与事件D：命中的环数为6,7,8,9,10环不可能同时发生，且C∪D＝{命中环数为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10环}＝I(I为全集)．

互斥事件与对立事件的判断方法

(1)利用基本定义：判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生．若不同时发生，则这两个事件是互斥事件；若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．

(2)利用集合的观点：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.

①若集合A∩B＝∅，则事件A与B互斥；

②若集合A∩B＝∅，且A∪B＝U(U为全集)，也即A＝∁UB或B＝∁UA，则事件A与B对立．

提醒：对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件则可以是多个事件间的关系．

[练习4]某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.

解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．

(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．

课后篇·演练提升方案

1．下面的事件：①掷一枚硬币，出现反面；②异性电荷相互吸引；③3＋5>10，是随机事件的有(　　)

A．②      B．③    C．①      D．②③

答案：C　

解析：①为随机事件，②为必然事件，③为不可能事件．

2．下面的事件：①在标准大气压下，水加热到90 ℃时会沸腾；②从标有1,2,3的小球中任取一球，得2号球；③a>1，则y＝ax是增函数，是必然事件的有(　　)

A．③      B．①  C．①③      D．②③

答案：A　

解析：①为不可能事件，②为随机事件，③为必然事件．

3．下列事件中，不可能事件为(　　)

A．三角形内角和为180°

B．三角形中大边对大角，大角对大边

C．锐角三角形中两个内角和小于90°

D．三角形中任意两边的和大于第三边

答案：C　

解析：若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A，B，D均为必然事件．

4．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)

A．A∪B是必然事件       B.∪是必然事件

C.与一定互斥       D.与一定不互斥

答案：B　

解析：用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件．

5．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是(　　)

A．A与C互斥      B．任何两个均互斥

C．B与C互斥      D．任何两个均不互斥

答案：A　

解析：因为从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件．D1＝{没有次品}，D2＝{1件次品}，D3＝{2件次品}，D4＝{3件次品}，所以A＝D1，B＝D4，C＝D2∪D3∪D4，故A与C互斥，A与B互斥，B与C不互斥．

6．下面给出了5个事件：

(1)抛掷一枚硬币，反面朝上；

(2)没有空气和水，人也可以生存下去；

(3)圆内接四边形对角互补；

(4)一批产品的合格率为80%；

(5)直线y＝k(x＋1)过定点(－1,0)．

其中，必然事件是____________；不可能事件是________；随机事件是________．

答案：(3)(5)　(2)　(1)(4)　

解析：(1)为随机事件．(2)为不可能事件．(3)为必然事件．(4)为随机事件．(5)为必然事件．

7．掷一枚质地均匀的色子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“大于2的点数出现”，则A∩B表示“________”．

答案：点数4出现　

解析：A＝{2,4}，B＝{3,4,5,6}，故A∩B表示“点数4出现”．