高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列达标测试，共4页。

1．已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若a4＝3，a9＝5，则S12＝( )
A．96 B．72
C．48 D．60
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a9＝16，则该数列前11项和S11＝( )
A．58 B．88
C．143 D．176
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－aeq \\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，则m＝( )
A．38 B．20
C．10 D．9
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(S4,S8)＝eq \f(1,3)，则eq \f(S8,S16)等于( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,8)
5．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差d＝________.
6．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
[提能力]
7．(多选题)数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，满足a1＋3a2＝S6，则下列四个选项中正确的有( )
A．a7＝0 B．S13＝0
C．S7最小 D．S5＝S8
8．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
9．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an>0，且Sn＝eq \f(1,4)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an－eq \f(3,4).
(1)证明：{an}是等差数列．
(2)求数列{an}的通项公式．
[战疑难]
10．对于数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an(n∈N*)，对自然数k(k≥2)，规定{Δkan}为数列{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an.若a1＝1，且Δ2an－Δan＋1＋an＝－2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n2×2n－1 B．an＝n×2n－1
C．an＝(n＋1)×2n－2 D．an＝(2n－1)×2n－1
课时作业(五) 等差数列的前n项和
1．解析：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝3,a1＋8d＝5))，求得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(9,5),d＝\f(2,5)，))所以S12＝eq \f(9,5)×12＋eq \f(12×11,2)×eq \f(2,5)＝48.故选C.
答案：C
2．解析：因为等差数列{an}，所以a1＋a11＝a3＋a9＝16，则S11＝11×eq \f(a1＋a11,2)＝11×8＝88.故选B.
答案：B
3．解析：因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，则由am－1＋am＋1－aeq \\al(2,m)＝0可得2am－aeq \\al(2,m)＝0，解得am＝0或am＝2.因为S2m－1＝eq \f(a1＋a2m－1,2)×(2m－1)＝(2m－1)am＝38，所以am≠0，故am＝2.代入可得，2(2m－1)＝38，解得m＝10.故选C.
答案：C
4．解析：设S4＝m(m≠0)，则S8＝3m，所以S8－S4＝2m，由等差数列的性质知，S12－S8＝3m，S16－S12＝4m，所以S16＝10m，故eq \f(S8,S16)＝eq \f(3,10).
答案：A
5．解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①
S5＝5a1＋eq \f(1,2)×5×(5－1)d＝10，②
由①②联立解得a1＝1，d＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
6．解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10＝a1＋9d＝30,a20＝a1＋19d＝50，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝12,d＝2，))
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋eq \f(nn－1,2)×2，即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
7．解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a1＋3a2＝S6，∴4a1＋3d＝6a1＋eq \f(6×5,2)d，化为：a1＋6d＝0，即a7＝0.故a7＝0，A正确；S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝13a7＝0，B正确；S7＝eq \f(7a1＋a7,2)＝7a4，可能大于0，也可能小于0，因此C不正确；S5－S8＝5a1＋eq \f(5×4d,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8a1＋\f(8×7,2)d))＝－3a1－18d＝－3a7＝0，D正确．故选ABD.
答案：ABD
8．解析：当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以eq \f(1,S1)＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn＋1)＝1，即eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以eq \f(1,Sn)＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－eq \f(1,n).
答案：－eq \f(1,n)
9．解析：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝eq \f(1,4)aeq \\al(2,1)＋eq \f(1,2)a1－eq \f(3,4)，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,4)(aeq \\al(2,n)＋2an－3)－eq \f(1,4)(aeq \\al(2,n－1)＋2an－1－3)．
所以4an＝aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＋2an－2an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2)．所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
10．解析：根据题中定义可得Δ2an－Δan＋1＋an＝(Δan＋1－Δan)－Δan＋1＋an＝－2n(n∈N*)，
即an－Δan＝an－(an＋1－an)＝2an－an＋1＝－2n，即an＋1＝2an＋2n，
等式两边同时除以2n＋1，得eq \f(an＋1,2n＋1)＝eq \f(an,2n)＋eq \f(1,2)，∴eq \f(an＋1,2n＋1)－eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)且eq \f(a1,2)＝eq \f(1,2)，
所以，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是以eq \f(1,2)为首项，以eq \f(1,2)为公差的等差数列，
所以eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)(n－1)＝eq \f(n,2)，因此，an＝n·2n－1.故选B.
答案：B