专题40 代数综合压轴题-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题40 代数综合压轴题（原卷版）

类型一 配方法的应用

1．（2022•南京模拟）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：

阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．

2．（2022秋•和平区校级期末）已知多项式A＝2x2+my﹣12，B＝nx2﹣3y+6．

（1）若（m+2）2+|n﹣3|＝0，化简A﹣B；

（2）若A+B的结果中不含有x2项以及y项，求m+n+mn的值．

3．已知a+b+c＝1，b2+c2﹣4ac+6c+1＝0，求abc的值．

类型二 一元二次方程与二次函数的综合

4．（2011•东城区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0．

（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；

（2）若a：b＝2：，且2x1﹣x2＝2，求a，b的值；

（3）在（2）的条件下，二次函数y＝x2+2ax+b2的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D．若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x﹣y的最大值．

5．（2021秋•沙市区校级期中）已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点．

类型三 含参二次函数

6．（2021•邯郸模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．

（1）若抛物线过点A（﹣1，6），求出抛物线的解析式；

（2）当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；

（3）已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；

（4）如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．

7．（2022•河南模拟）已知二次函数y＝（t+1）x2+2（t+2）x在x＝0和x＝2时的函数值相等．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；

（3）把二次函数的图象与x轴两个交点之间的部分记为图象G，把图象G向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为M，请结合图象回答：当（2）中得到的直线与图象M有公共点时，求n的取值范围．

8．已知抛物线y＝mx2+（3﹣2m）x+m﹣2（m≠O）与x轴有两个不同的交点．

（1）求m的取值范围；

（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；

（3）当m＝1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′，Q，P三点，画出抛物线草图．

9．（2020•西青区二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．

（I）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标及对称轴；

（II）①试说明无论a为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将该抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C1，直接写出C1的解析式；

（III）若（II）中抛物线C1的顶点到x轴的距离为2，求a的值．

类型四 二次函数与几何综合

10．（2022•东海县一模）如图，已知抛物线yx2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．

（1）则点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　，点C的坐标为 　 　；

（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1＞x2）都在抛物线上，若x1+x2＝1，请证明：y1＞y2；

（3）已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM＝90°，且△CMN与△OBC相似，试求此时点N的坐标．

11．（2021秋•越秀区校级期中）已知抛物线y＝x2+2ax+a2﹣2（a为常数）．

（1）求证：无论a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点；

（2）抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，抛物线顶点为点D．

①若x1，x2是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为4，求a的值；

②点E在抛物线对称轴上，△BDE是等腰三角形，求出点E的纵坐标．

类型五 一次函数与二次函数的综合实际应用

12．（2022•铁西区二模）某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如表：

（1）请根据上述关系，完成表格．

（2）用含有×的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；

（3）在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元；且加上其他费用3000元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？

类型六 绝对值概念的应用

13．（2021秋•姜堰区期中）【阅读】已知m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，求M、N两点之间的距离MN．

小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：

解：因为m＞n，所以有以下情况：

情况1：若m＞0，n＞0，如图①，M、N两点之间的距离MN＝|m|﹣|n|＝m﹣n；

情况2：若m≥0，n＜0，如图②，M、N两点之间的距离MN＝|m|+|n|＝m﹣n；

情况3：若m＜0，n＜0，如图③，M、N两点之间的距离MN＝|n|﹣|m|＝m﹣n．

由此小明得出结论：若m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，则M、N两点之间的距离MN＝m﹣n．

【应用】

在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C对应的数为c．

（1）若b＝1，AB＝2，则a＝ 　．

（2）若a＝﹣2，b＝4，点C到点A的距离是点C到点B距离的n（n＞0）倍．

①当n时，求c的值；

②对于任意一个n的值，满足条件的点C的个数始终有2个，请直接写出n取值范围 　 　．

（3）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，当ab的值最大时，求A、B两点之间的距离AB．