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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用8.1 二分法与求方程近似解精品ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用8.1 二分法与求方程近似解精品ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了随堂小测等内容，欢迎下载使用。
1.在二次函数的零点概念基础上，进一步理解一般函数零点的概念. 2. 通过对二次函数的研究，归纳出零点存在定理，并会用零点存在定理分析函数的零点.核心素养：直观想象、逻辑推理.
一、二次函数的零点一般地，使二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）的值为0的实数x称为二次函数y＝ax2+bx+c的零点.因此，二次函数y＝ax2+bx+c的零点就是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的实数解，也是二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.二次函数y＝ax2+bx+c（a>0）的图象、零点及对应一元二次方程根的关系如下表（a<0，函数图象开口向下，其他同表格）.
二、函数的零点1.函数的零点一般地，我们把使函数y＝f（x）的值为0的实数x 称为函数y＝f（x）的零点.因此，函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数解.从图象上看，函数y＝f（x）的零点，就是它的图象与x轴交点的横坐标.
【解读】函数零点、方程的解与函数图象的关系图
2.零点与奇偶性的关系若定义域包括0的函数y＝f （x）具有奇偶性，而且其所有零点组成的集合为A，其中A是一个有限集，则：（1）若y＝f（x）是奇函数，则0∈A，而且A中的元素个数一定是奇数；（2）若A中的元素个数是偶数，则y＝f（x）是偶函数；（3）若A中的元素个数是奇数且y＝f（x）是偶函数，则0∈A；（4）A中所有元素之和为0.
【方法技巧】解决函数零点问题的两种方法（1）代数法：若方程f（x）＝0可解，其实数解就是函数y＝f（x）的零点.（2）几何法：若方程f（x）＝0难以直接求解，将其改写为g（x）- h（x）＝0，进一步改写为g（x）＝h（x），在同一坐标系中分别作出y＝g（x）和y＝h（x）的图象，两图象交点的横坐标就是函数y＝f（x）的零点，两图象交点的个数就是函数y＝f（x）零点的个数.
三、函数零点存在定理1.函数零点存在定理若函数y＝f（x）在区间［a，b］上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点.2.函数零点存在定理的几何意义在闭区间［a，b］上是连续不断的曲线y＝f（x），若曲线的起始点（a，f（a））与终点（b，f（b））分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3.函数零点的性质对于任意函数y＝f（x）的图象是连续不断的一条曲线，则有：（1）当函数图象通过零点（不是二重零点）且穿过x轴时，函数值变号.（2）若存在两个或两个以上的零点，那么相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
【概念理解】（1）函数零点存在定理的两个条件：①函数f（x）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线；② f（a）·f（b）<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立.如图①（不满足“连续”）和图②（不满足“异号”）所表示的函数在（a，b）上不存在零点.
①② ③ ④
（2）函数零点存在定理只是给出了存在零点的充分条件，不是必要条件，即在［a，b］上不满足“连续”“异号”这两个条件的函数y＝f（x），在区间（a，b）上依然可能存在零点.如图③（不满足“连续”）和图④（不满足“异号”）所表示的函数在（a，b）上存在零点.
2.如果方程f（x）＝0有两个相等的实数根x，那么x叫做函数y＝f（x）的二重零点.如，2就是函数f（x）＝（x-2）2的二重零点.
【知识拓展】1.函数零点的分类（1）变号零点：零点附近两侧的函数值异号，如图①.（2）不变号零点：零点附近两侧的函数值同号，如图②.
四、一元二次方程根的分布二次函数零点问题可转化为一元二次方程根的分布问题，可利用二次函数图象与x轴的交点情况来研究.一般从开口方向、对称轴位置、判别式Δ的符号以及端点函数值的符号等方面考虑.设f（x）＝ax2+bx+c（a>0），则f（x）的零点可用一元二次方程ax2+bx+c＝0的根来研究.设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a>0）的两根（不妨设x1
示例 若关于x的方程x2-4x+a＝0有两个不相等的正根，则a的取值范围为 .
【方法技巧】解决一元二次方程根的分布问题可以从两个角度思考，一是利用方程本身知识求解，如利用方程的求根公式、根与系数的关系等；二是利用方程对应的函数知识求解，如利用函数的图象、函数的性质等.
【方法技巧】求函数零点的方法（1）可通过解方程，求其实数解；（2）可通过作函数图象，利用数形结合求交点的横坐标；（3）分段函数的零点，需要逐段分别求解.
（2）当x≤0时，令f（x）＝0，即x2+2x-3＝0，解得x1＝-3，x2＝1（舍去）.当x>0时，令f（x）＝0，即x-2+ln x＝0，∴ ln x＝-x+2.在同一直角坐标系中作出函数y＝ln x与y＝-x+2（x>0）的图象，如图，由图可知两图象只有一个交点.综上可知，函数f（x）的零点个数为2.
【方法总结】求函数零点个数的四种方法1.方程法：求方程f（x）＝0的实数根.2.图象法：将方程f（x）＝0与对应函数的图象联系起来找出零点，对于不易画出f（x）＝g（x）-h（x）图象的函数分别画出g（x）和h（x）的图象，看两个图象有几个交点.3.结合函数的奇偶性判断存在奇偶性的函数的零点（零除外）是成对出现的.因此，研究奇函数或偶函数在区间［-a，a］上的零点时，可以先研究其在区间（0，a］上的零点情况.4.应用函数零点存在定理结合单调性判断判断函数y＝f（x）在每个单调区间上是否有零点即可确定函数零点的个数.
三、判断零点所在区间例 3 方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（ ）A.（2，3）B.（3，4）C.（0，1）D.（4，5）
【方法技巧】判断函数零点所在区间的方法和步骤（1）方法：定理法，即利用函数零点存在定理判断.（2）步骤：①代入，将区间端点代入函数解析式求出函数值.②判断，把所得函数值相乘，并进行符号判断.③总结，若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.
【分析】构造函数f （x）＝2x+ln x-6，然后利用零点存在定理可判断出方程6-2x＝ ln x的根所在的区间.【解析】由6-2x＝ln x，得2x+ln x-6＝0，构造函数f（x）＝2x+ln x-6.∵ f（2）＝ln 2-2<0，f（3）＝ln 3>0，∴ f（2）f（3）<0，∴ 由零点存在定理可知，函数f（x）在区间（2，3）上至少有一个零点.又∵ 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴ f（x）在区间（2，3）上至多有一个零点，∴ 函数f（x）在区间（2，3）上有唯一零点.即方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（2，3）.
四、与零点相关的参数问题1.根据零点所在区间求参数范围例 4 若函数f（x）＝x+ax（a∈R）在区间（1，2）上有零点，则a的值可能是（ ）A.-2B. 0C. 1D. 3
【解析】（方法1：验证法）函数f（x）＝x+ax（a∈R）的图象在（1，2）上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝-2时，f（1）＝1-2<0，f（2）＝2-1＝1>0，故f（x）在区间（1，2）上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.（方法2：直接法）令x+ax＝0，得x2＝-a.又∵ f（x）在区间（1，2）上有零点，∴ a<0且x＝-a∈（1，2），∴ -4
五、关于一元二次方程根的分布问题例 6 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1＝0.（1）若方程有两个实数根，其中一个根在区间（-1，0）内，另一个根在区间（1，2）内，求m的取值范围.（2）若方程有两个不相等的实数根，且均在区间（0，1）内，求m的取值范围.
【方法总结】解一元二次方程根的分布问题的四个方向（1）抛物线开口方向；（2）一元二次方程根的判别式；（3）对应区间端点函数值的符号；（4）抛物线的对称轴与区间端点的位置关系.
解： （1）若λ＝2，当x≥2时，令x-4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2-4x+3<0，解得14，故λ的取值范围为（1，3］∪（4，+∞）.
1.在二次函数的零点概念基础上，进一步理解一般函数零点的概念. 2. 通过对二次函数的研究，归纳出零点存在定理，并会用零点存在定理分析函数的零点.核心素养：直观想象、逻辑推理.
一、二次函数的零点一般地，使二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）的值为0的实数x称为二次函数y＝ax2+bx+c的零点.因此，二次函数y＝ax2+bx+c的零点就是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的实数解，也是二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.二次函数y＝ax2+bx+c（a>0）的图象、零点及对应一元二次方程根的关系如下表（a<0，函数图象开口向下，其他同表格）.
二、函数的零点1.函数的零点一般地，我们把使函数y＝f（x）的值为0的实数x 称为函数y＝f（x）的零点.因此，函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数解.从图象上看，函数y＝f（x）的零点，就是它的图象与x轴交点的横坐标.
【解读】函数零点、方程的解与函数图象的关系图
2.零点与奇偶性的关系若定义域包括0的函数y＝f （x）具有奇偶性，而且其所有零点组成的集合为A，其中A是一个有限集，则：（1）若y＝f（x）是奇函数，则0∈A，而且A中的元素个数一定是奇数；（2）若A中的元素个数是偶数，则y＝f（x）是偶函数；（3）若A中的元素个数是奇数且y＝f（x）是偶函数，则0∈A；（4）A中所有元素之和为0.
【方法技巧】解决函数零点问题的两种方法（1）代数法：若方程f（x）＝0可解，其实数解就是函数y＝f（x）的零点.（2）几何法：若方程f（x）＝0难以直接求解，将其改写为g（x）- h（x）＝0，进一步改写为g（x）＝h（x），在同一坐标系中分别作出y＝g（x）和y＝h（x）的图象，两图象交点的横坐标就是函数y＝f（x）的零点，两图象交点的个数就是函数y＝f（x）零点的个数.
三、函数零点存在定理1.函数零点存在定理若函数y＝f（x）在区间［a，b］上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点.2.函数零点存在定理的几何意义在闭区间［a，b］上是连续不断的曲线y＝f（x），若曲线的起始点（a，f（a））与终点（b，f（b））分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3.函数零点的性质对于任意函数y＝f（x）的图象是连续不断的一条曲线，则有：（1）当函数图象通过零点（不是二重零点）且穿过x轴时，函数值变号.（2）若存在两个或两个以上的零点，那么相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
【概念理解】（1）函数零点存在定理的两个条件：①函数f（x）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线；② f（a）·f（b）<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立.如图①（不满足“连续”）和图②（不满足“异号”）所表示的函数在（a，b）上不存在零点.
①② ③ ④
（2）函数零点存在定理只是给出了存在零点的充分条件，不是必要条件，即在［a，b］上不满足“连续”“异号”这两个条件的函数y＝f（x），在区间（a，b）上依然可能存在零点.如图③（不满足“连续”）和图④（不满足“异号”）所表示的函数在（a，b）上存在零点.
2.如果方程f（x）＝0有两个相等的实数根x，那么x叫做函数y＝f（x）的二重零点.如，2就是函数f（x）＝（x-2）2的二重零点.
【知识拓展】1.函数零点的分类（1）变号零点：零点附近两侧的函数值异号，如图①.（2）不变号零点：零点附近两侧的函数值同号，如图②.
四、一元二次方程根的分布二次函数零点问题可转化为一元二次方程根的分布问题，可利用二次函数图象与x轴的交点情况来研究.一般从开口方向、对称轴位置、判别式Δ的符号以及端点函数值的符号等方面考虑.设f（x）＝ax2+bx+c（a>0），则f（x）的零点可用一元二次方程ax2+bx+c＝0的根来研究.设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a>0）的两根（不妨设x1
示例 若关于x的方程x2-4x+a＝0有两个不相等的正根，则a的取值范围为 .
【方法技巧】解决一元二次方程根的分布问题可以从两个角度思考，一是利用方程本身知识求解，如利用方程的求根公式、根与系数的关系等；二是利用方程对应的函数知识求解，如利用函数的图象、函数的性质等.
【方法技巧】求函数零点的方法（1）可通过解方程，求其实数解；（2）可通过作函数图象，利用数形结合求交点的横坐标；（3）分段函数的零点，需要逐段分别求解.
（2）当x≤0时，令f（x）＝0，即x2+2x-3＝0，解得x1＝-3，x2＝1（舍去）.当x>0时，令f（x）＝0，即x-2+ln x＝0，∴ ln x＝-x+2.在同一直角坐标系中作出函数y＝ln x与y＝-x+2（x>0）的图象，如图，由图可知两图象只有一个交点.综上可知，函数f（x）的零点个数为2.
【方法总结】求函数零点个数的四种方法1.方程法：求方程f（x）＝0的实数根.2.图象法：将方程f（x）＝0与对应函数的图象联系起来找出零点，对于不易画出f（x）＝g（x）-h（x）图象的函数分别画出g（x）和h（x）的图象，看两个图象有几个交点.3.结合函数的奇偶性判断存在奇偶性的函数的零点（零除外）是成对出现的.因此，研究奇函数或偶函数在区间［-a，a］上的零点时，可以先研究其在区间（0，a］上的零点情况.4.应用函数零点存在定理结合单调性判断判断函数y＝f（x）在每个单调区间上是否有零点即可确定函数零点的个数.
三、判断零点所在区间例 3 方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（ ）A.（2，3）B.（3，4）C.（0，1）D.（4，5）
【方法技巧】判断函数零点所在区间的方法和步骤（1）方法：定理法，即利用函数零点存在定理判断.（2）步骤：①代入，将区间端点代入函数解析式求出函数值.②判断，把所得函数值相乘，并进行符号判断.③总结，若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.
【分析】构造函数f （x）＝2x+ln x-6，然后利用零点存在定理可判断出方程6-2x＝ ln x的根所在的区间.【解析】由6-2x＝ln x，得2x+ln x-6＝0，构造函数f（x）＝2x+ln x-6.∵ f（2）＝ln 2-2<0，f（3）＝ln 3>0，∴ f（2）f（3）<0，∴ 由零点存在定理可知，函数f（x）在区间（2，3）上至少有一个零点.又∵ 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴ f（x）在区间（2，3）上至多有一个零点，∴ 函数f（x）在区间（2，3）上有唯一零点.即方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（2，3）.
四、与零点相关的参数问题1.根据零点所在区间求参数范围例 4 若函数f（x）＝x+ax（a∈R）在区间（1，2）上有零点，则a的值可能是（ ）A.-2B. 0C. 1D. 3
【解析】（方法1：验证法）函数f（x）＝x+ax（a∈R）的图象在（1，2）上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝-2时，f（1）＝1-2<0，f（2）＝2-1＝1>0，故f（x）在区间（1，2）上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.（方法2：直接法）令x+ax＝0，得x2＝-a.又∵ f（x）在区间（1，2）上有零点，∴ a<0且x＝-a∈（1，2），∴ -4
五、关于一元二次方程根的分布问题例 6 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1＝0.（1）若方程有两个实数根，其中一个根在区间（-1，0）内，另一个根在区间（1，2）内，求m的取值范围.（2）若方程有两个不相等的实数根，且均在区间（0，1）内，求m的取值范围.
【方法总结】解一元二次方程根的分布问题的四个方向（1）抛物线开口方向；（2）一元二次方程根的判别式；（3）对应区间端点函数值的符号；（4）抛物线的对称轴与区间端点的位置关系.
解： （1）若λ＝2，当x≥2时，令x-4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2-4x+3<0，解得1
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