中考数学一轮知识复习和巩固练习考点01 实数（基础巩固） (含详解)

考向01实数—基础巩固

【知识梳理】

考点一、实数的分类

1.按定义分类：

2.按性质符号分类：

有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．

无理数：无限不循环小数叫无理数．

实数：有理数和无理数统称为实数．

方法指导：

常见的无理数有以下几种形式：

（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；

（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；

（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数；

（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.

考点二、实数的相关概念

1.相反数

（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；

（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；

（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.

2.绝对值

（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

可用式子表示为：

（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．

用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．

方法指导：

若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.

3.倒数

（1)实数的倒数是；0没有倒数；

（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.

4.平方根

（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．

（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．

5.立方根

如果x3=a，那么x叫做a的立方根．

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．

考点三、实数与数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．

方法指导：

（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.

（2）实数和数轴上的点是一一对应的.

考点四、实数大小的比较

1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.

2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.

3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.

4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.

5.无理数的比较大小：

利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2a>b；

或利用倒数转化：如比较与.

方法指导：

实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.

考点五、实数的运算

1.加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．

满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．

2.减法

减去一个数等于加上这个数的相反数．

3.乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．

4.除法

（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．

（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．

5.乘方与开方

（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘.

正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．

（3)零指数与负指数  

方法指导：

加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．

考点六、有效数字和科学记数法

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.

把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．

方法指导：

（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；

（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.

【基础巩固训练】

一、选择题
1. 在实数－，0，，－3.1415，，，－0.1010010001…（每两个1之间依

次多1个0），sin30°，这8个实数中，无理数有（   ）

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（   ）

A．66.6×107    B．6.66×108   C．0.666×108        D．6.66×107

3．若k＜＜k+1（k是整数），则k=（　　）

A．6       B．7     C．8    D．9

4．在三个数0.5、、中，最大的数是(　 )
　　A．0.5　　　　 B．　　　　C．　　　　D．不能确定

5．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（   ）

A．0.1（精确到0.1）       B．0.05（精确到百分位）

C．0.050（精确到0.001）      D．0.05（精确到千分位）

6．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是(　 )
　　　　　　　　　　　　　
　　

二、填空题

7． 则=        .

8． 5﹣的小数部分是　          ．

9．若互为相反数，则a+b的值为________．

10．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，则的值为________．

11．已知：若符合前面式子的规律，则a+b=________．

12．将正偶数按下表排列：

           第1列  第2列  第3列  第4列

    第1行    2

    第2行    4      6

    第3行    8     10      12

    第4行   14     16      18     20

    ……

根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．

三、解答题

13． 计算：（1）       

（2）

14．若，比较a、b、c的大小。

15．在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图（1）所示的几何图形．

（1）请你利用这个几何图形求的值为_______．

（2）请你利用图（2）再设计一个能求的值的几何图形．

16.求（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1的个位数字．

答案及解析

一、选择题
1.【答案】C；

【解析】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，但它是无限不循环小数，是无理数．是无理数，而不是分数．在上面所给的实数中，只有，，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数，故选C.

2.【答案】B；

【解析】科学记数法的表示形式为×10n的形式，其中1≤||＜10，n为整数．确定n的值是关键点，由于665 575 306有9位，所以可以确定n=9﹣1=8.有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，故选B．

3.【答案】D.

【解析】∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k=9．故选：D．

4.【答案】B；

5.【答案】D；

【解析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可：

A、0.05049精确到0.1应保留一个有效数字，是0.1，故本选项正确；

B、0.05049精确到百分位应保留一个有效数字，是0.05，故本选项正确；

C、0.05049精确到0.001应是0、050，故本选项正确；

D、0.05049精确到千分位应是0.050，故本选项错误.

故选D.

6.【答案】C；

【解析】设左下角小方格内的点数为x（如图），则依题意得2+5+x=x+1+p,解得p=6.

二、填空题

7．【答案】－1；

【解析】根据非负数的性质，要使，必须，即.

因此.

8．【答案】2﹣　；

【解析】由1＜＜2，得﹣2＜﹣＜﹣1．

不等式的两边都加5，得5﹣2＜5﹣＜5﹣1，

即3＜5﹣＜4，

5﹣的小数部分是（5﹣）﹣3=2﹣，故答案为：2﹣．

9．【答案】0；

  【解析】由绝对值非负特性，可知，又由题意可知：

所以只能是：a–2=0，b+2=0，即a=2，b= –2 ，所以a+b=0.

10．【答案】0；

【解析】原式=.

11．【答案】109；

【解析】规律，所以a=99，b=10，a+b=109.

12．【答案】第45行第13列

【解析】观察数列2，4，6，8，10，...每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个.

每行数字的个数按照1，2，3，4，5，...，n 递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数.

如果2006在第n行，那么

设,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。

到第44行（含44行）共有数字（44+1）×=990个；

到第45行（含45行）共有数字（45+1）×=1035个；

2006是第1003个，在45行13列.

三、解答题

13.【答案与解析】

   （1）原式=

（2）原式==

14.【答案与解析】

    ＜-1；＞-1且＜0；c＞0；所以容易得出：a＜b＜c.

15.【答案与解析】

（1）

(2)

16.【答案与解析】

解：原式=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1

=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1

=264﹣1+1

=264；

∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…

∴2的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环，

∵64=16×4，

∴264的个位数字与24的个位数字相同，为6，

∴原式的个位数字为6．