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    专题42 二次根式 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷

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    这是一份专题42 二次根式 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷,共12页。试卷主要包含了二次根式的性质与化简,二次根式分母有理化,二次根式中的整数和小数部分应用等内容,欢迎下载使用。

    专题42 二次根式

    一、二次根式的性质与化简

    【学霸笔记】

    1. 二次根式的性质

    1

    2.

    2. 二次根式运算法则

    1

    2.

    【典例】如果式子|x2|化简的结果为2x3,则x的取值范围是(  )

    Ax1 Bx2 C1x2 Dx0

    【解答】解:∵|x2|=|x1|+|x2|,

    又∵化简的结果为2x3

    解得x2

    故选:B

    【巩固】实数ab满足10﹣|b+4|﹣|b2|,则a2+b2的最大值为       

     

     

     

    二、二次根式分母有理化

    【典例】已知xy,则  

    【解答】解:把xy进行分母有理化可得:

    x5+2

    y52

    98

    故答案为:98

    【巩固】已知x,则x62x5x4+x32x2+2x的值为(  )

    A0 B1 C D

     

     

     

     

    三、二次根式中的整数和小数部分应用

    【典例】已知的整数部分为a,小数部分为b,求的值.

    【解答】解:∵459

    23

    45

    a4b

    【巩固】

    a的小数部分,b的小数部分,则             

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    巩固练习

    1.若实数abc满足等式,则c可能取的最大值为(  )

    A0 B1 C2 D3

     

     

    2.化简的结果是(  )

    A B C2 D.﹣2

     

     

    3.如果实数xy满足(x)(y)=1,那么x+y值为(  )

    A0 B.﹣1 C1 D2

     

     

    4.小明在解方程2时采用了下面的方法:由

    24x)﹣(8x)=16

    又有2,可得8,将这两式相加可得

    ,将5两边平方可解得x=﹣1,经检验x=﹣1是原方程的解.

    请你学习小明的方法,解决下列问题:

    1)已知,则的值为   

    2)解方程4x,得方程的解为  

     

     

     

     

    5.已知整数xy满足:1xy100,且

    则:  

     

     

     

     

     

    6.已知xb21),则x2bx+103  

     

     

    7.已知x3+2,求:的值.

     

     

     

     

     

    8.计算:

    12432);

    2π0+32

    3)若a1b1,求a2b+ab2的值.

    4)已知abc在数轴上的对应点如图所示,化简:|a+b||b+c|

     

     

     

    9.已知xy6,求的值.

     

     

     

     

     

    10.若m满足关系,试求m的值.

     

     

     

     

     

     

    11.已知xn为自然数),问:是否存在自然数n,使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998?若存在,求出n;若不存在,请说明理由.

     

    专题42 二次根式

    一、二次根式的性质与化简

    【学霸笔记】

    1. 二次根式的性质

    1

    2.

    2. 二次根式运算法则

    1

    2.

    【典例】如果式子|x2|化简的结果为2x3,则x的取值范围是(  )

    Ax1 Bx2 C1x2 Dx0

    【解答】解:∵|x2|=|x1|+|x2|,

    又∵化简的结果为2x3

    解得x2

    故选:B

    【巩固】实数ab满足10﹣|b+4|﹣|b2|,则a2+b2的最大值为       

    【解答】解:∵10﹣|b+4|﹣|b2|,

    ∴|a1|+|a5|=10﹣|b+4|﹣|b2|,

    ∴|a1|+|a5|+|b+4|+|b2|=10

    ∵|a1|+|a5|≥4,|b+4|+|b2|≥6

    ∴|a1|+|a5|=4,|b+4|+|b2|=6

    1a5,﹣4b2

    a2+b2的最大值为:

    52+(﹣4241

    故答案为:41

    二、二次根式分母有理化

    【典例】已知xy,则  

    【解答】解:把xy进行分母有理化可得:

    x5+2

    y52

    98

    故答案为:98

    【巩固】已知x,则x62x5x4+x32x2+2x的值为(  )

    A0 B1 C D

    【解答】解:∵x

    x62x5x4+x32x2+2x

    x5x2)﹣x4+x2x2)+2x

    x52)﹣x4+x22)+2x

    x5)﹣x4+x2)+2x

    x4[x)﹣1]+x2)+2x

    0+x)()+2x

    =﹣x+2x

    x

    故选:C

    三、二次根式中的整数和小数部分应用

    【典例】已知的整数部分为a,小数部分为b,求的值.

    【解答】解:∵459

    23

    45

    a4b

    【巩固】

    a的小数部分,b的小数部分,则             

    【解答】解:∵

    a的小数部分1

    b的小数部分2

    211

    故答案为:1

     

     

     

     

     

     

    巩固练习

    1.若实数abc满足等式,则c可能取的最大值为(  )

    A0 B1 C2 D3

    【解答】解:由两个已知等式可得,

    而|b|≥0,所以c2

    c2时,可得a9b0,满足已知等式.

    所以c可能取的最大值为2

    故选:C

    2.化简的结果是(  )

    A B C2 D.﹣2

    【解答】解:

    因此,原式

    故选:D

    3.如果实数xy满足(x)(y)=1,那么x+y值为(  )

    A0 B.﹣1 C1 D2

    【解答】解:∵(x)(x)=x2+1x21,(y)(y)=y2+1y21

    又∵(x)(y)=1

    ①+②得:﹣xyx+y

    2x+y)=0

    x+y0

    故选:A

    4.小明在解方程2时采用了下面的方法:由

    24x)﹣(8x)=16

    又有2,可得8,将这两式相加可得

    ,将5两边平方可解得x=﹣1,经检验x=﹣1是原方程的解.

    请你学习小明的方法,解决下列问题:

    1)已知,则的值为   

    2)解方程4x,得方程的解为  

    【解答】解:(1)()()=22a2﹣(10a2)=12

    2

    故答案为:2

    2)()()=(4x2+6x5)﹣(4x22x5)=8x

    4x

    2

    将这两式相加可得2x+1

    解得x3

    经检验,x3是原方程的解.

    ∴原方程的解为:x3

    故答案为:x3

    5.已知整数xy满足:1xy100,且

    则:  

    【解答】解:∵

    0

    )()=0

    1xy100

    0

    xy20097×7×4149×41

    ∵整数xy满足:1xy100

    x41y49

    10

    故本题答案为:10

    6.已知xb21),则x2bx+103  

    【解答】解:将x代入x2bx+103

     x2bx+103

    =(2b103

    0

    故答案为0

    7.已知x3+2,求:的值.

    【解答】解:原式=x2+26x)+5

    =(x2+6x)+5

    =(x1)(x5),

    x3+2

    32

    x3+2326

    ∴原式=(6+1)×(6+5)=77

    8.计算:

    12432);

    2π0+32

    3)若a1b1,求a2b+ab2的值.

    4)已知abc在数轴上的对应点如图所示,化简:|a+b||b+c|

    【解答】解:(1)原式=2892

    2

    10

    2)原式1+31

    4

    3)∵a1b1

    a+b2ab4

    a2b+ab2aba+b

    4×2

    8

    4)由图可知:a0a+b0ca0b+c0

    |a+b||b+c|

    =﹣a+a+b+cabc

    =﹣a

    9.已知xy6,求的值.

    【解答】解:∵xy6

    9

    4

    10.若m满足关系,试求m的值.

    【解答】解:根据题意得:

    x+y1990

    0

    解得

    m201

    11.已知xn为自然数),问:是否存在自然数n,使代数式19x2+36xy+19y2的值为1 998?若存在,求出n;若不存在,请说明理由.

    【解答】解:不存在.

    x+y2

    n+12n+n+1+n+24n+2

    xy1

    假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998

    19x2+36xy+19y21998

    19x2+19y21962,(x2+y2

    x+y2

    由已知条件,得x+y22n+1).

    n为自然数,∴22n+1)为偶数,

    x+y不为整数.

    ∴不存在这样的自然数n

     

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