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高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系导学案
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系导学案，共13页。
习题课1 匀变速直线运动推论的应用
题型一 位移差公式Δx＝aT2的应用 []2@0#22%版~新&教材教辅[]
1．推论
匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝x2－x1＝aT2。
2．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 []#2022版新*%教材教&辅[@]
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝。
—个做匀变速直线运动的质点，初速度为0.5 m/s，第9 s内的位移比第5 s内的位移多4 m，则该质点的加速度、9 s末的速度和质点在9 s内通过的位移分别是( ) []2022*版~#新@教材^教辅[]
A．a＝1 m/s2，v9＝9.5 m/s，x9＝45 m []《优&化~方案》教#*辅%[]
B．a＝1 m/s2，v9＝9 m/s，x9＝45 m
C．a＝1 m/s2，v9＝9 m/s，x9＝0.5 m
D．a＝0.8 m/s2，v9＝1.7 m/s，x9＝36.9 m
[解析] 由x9－x5＝4aT2解得a＝＝ m/s2＝1 m/s2，第9 s末的速度v＝v0＋at＝0.5 m/s＋1×9 m/s＝9.5 m/s，质点在9 s内通过的位移x＝v0t＋at2＝0.5×9 m＋×1×92 m＝45 m。
[答案] A
[针对训练1] (2020·晋中期末)某质点由A经B到C做匀加速直线运动历时4 s。前2 s和后2 s位移分别为AB＝8 m和BC＝12 m，该质点的加速度大小及B点的瞬时速度的大小分别是( )
A．1 m/s2 5 m/s B．2 m/s2 5 m/s
C．1 m/s2 10 m/s D．2 m/s2 10 m/s
解析：选A。根据Δx＝aT2得，质点的加速度a＝＝＝ m/s2＝1 m/s2；B点的瞬时速度vB＝＝ m/s＝5 m/s，故A正确，B、C、D错误。
题型二 平均速度公式的应用
1．平均速度
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝v＝(v0＋v)＝。
2．推导
设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t时 刻的速度为v。
由x＝v0t＋at2得，①
平均速度＝＝v0＋at②
由v＝v0＋at′知，当t′＝时，v＝v0＋a③
由②③式得＝v④
又v＝v＋a⑤
联立以上各式解得v＝，所以＝v＝。
做匀加速直线运动的物体，依次通过A、B、C三点，位移sAB＝sBC，已知物体在AB段的平均速度大小为2 m/s，在BC段的平均速度大小为3 m/s，那么物体在B点的瞬时速度大小为( )
A． m/s B．2.4 m/s
C．2.5 m/s D．2.6 m/s []《优*#%化方案》@&教辅[]
[解析] 设加速度大小为a，经A、C的速度大小分别为vA、vC，sAB＝sBC＝L，根据匀加速直线运动规律可得
v－v＝2aL
v－v＝2aL
根据匀变速直线运动平均速度的定义有
＝1＝2 m/s
＝2＝3 m/s
联立以上各式可得vB＝2.6 m/s，故D正确，A、B、C错误。
[答案] D
有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度、末速度和加速度的大小。
[解析] 由题意可画出物体的运动示意图： []20&2*2版新教材教辅@[~%]
方法一 逐差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2①
又x1＝vAT＋aT2②
vC＝vA＋a·2T③
由①②③式解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。 []《@优化方&案》~%#教辅[]
方法二 平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为
1＝＝ m/s＝6 m/s
2＝＝ m/s＝16 m/s
由于B是A、C的中间时刻，则1＝，
2＝
又vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
方法三 基本公式法 []@#%2022版新教材教*辅&[]
由位移公式得x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入上式，
解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。 []20#2&2版新%教材教*^辅[]
[答案] 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
题型三 初速度为0的匀变速直线运动推论的应用
1．按时间等分(设相等的时间间隔为T)
1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
2．按位移等分(设相等的位移为x)
通过前x、前2x、前3x、…、前nx时的末速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶
通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
(2020·福建厦门一中月考)一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时( )
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…
B．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶n
C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶… []2&@02^2版新%教材*教辅[]
[解析] 列车从静止开始做匀加速直线运动，速度v＝ []%2#022~版新教^@材教辅[]
所以每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…∶，故A错误；根据时间t＝ ，所以每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶∶∶…∶，故B错误；根据连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)可知，在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故C正确，D错误。
[答案] C
[针对训练2] 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内位移大小之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度大小之比为v1∶v2，则下列说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶ []《优化#&方案》教辅[~@*]
解析：选B。物体从静止开始做匀加速直线运动，它在连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以x1∶x2＝1∶3，由v2＝2ax得v1∶v2＝1∶。
1．(平均速度公式的应用)(多选)(2020·福建厦门一中月考)一辆汽车在4 s内做匀加速直线运动，初速度为2 m/s，末速度为10 m/s，在这段时间内( )
A．汽车的加速度为2 m/s2
B．汽车的加速度为8 m/s2
C．汽车的平均速度为6 m/s
D．汽车的平均速度为10 m/s
解析：选AC。由加速度的定义可知，汽车的加速度为a＝＝2 m/s2，故A正确，B错误；汽车的平均速度为＝＝6 m/s，故C正确，D错误。
2．(推论的综合应用)(多选)(2020·陕西省黄陵县中学期中)一质点做匀加速直线运动，第2秒内的位移是2 m，第3秒内的位移是3 m，那么，下列选项中正确的是( )
A．这两秒内的平均速度是2.5 m/s []2022~%版@新教材教*辅[^]
B．第2秒末瞬时速度是2.5 m/s
C．质点的加速度是2.5 m/s2
D．第3秒末瞬时速度是2.5 m/s []2022~^*版%新教材教@辅[]
解析：选AB。根据平均速度的定义式知，这两秒内的平均速度＝ m/s＝2.5 m/s，故A正确；因为某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则第2 s末的瞬时速度为2.5 m/s，故B正确；根据Δx＝aT2得，加速度a＝ m/s2＝1 m/s2，故C错误；第3秒末瞬时速度是v3＝v2＋at＝(2.5＋1×1) m/s＝3.5 m/s，故D错误。
3．(v0＝0的匀变速直线运动推论的应用)如图所示，一冰壶以速度v垂直边线进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零，求冰壶依次经过B、C、D时的瞬时速度之比和依次通过后3个矩形区域所用的时间之比。
解析：冰壶运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速直线运动。冰壶从右向左依次通过3个矩形区域所用的时间之比为1∶(－1)∶(－)，依次到达D、C、B的速度之比为1∶∶，所以冰壶实际从左向右依次到达B、C、D的速度之比：vB∶vC∶vD＝∶∶1，从左向右依次通过后三个相等矩形区域的时间之比：t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1。 []《*@%&优化方案》教辅^[]
答案：∶∶1 (－)∶(－1)∶1
4．(公式Δx＝aT2的应用)一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第2个4 s内经过的位移是60 m，则这个物体的加速度和初速度各是多少？
解析：由公式Δx＝aT 2，得a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，
根据v4＝ m/s＝v0＋4a，
得v0＝1.5 m/s。
答案：2.25 m/s2 1.5 m/s
(限时：20分钟)
【合格考练】
1．(多选)如图所示，飞机起飞时，在同一底片上相隔相等时间多次曝光“拍摄”的照片，可以看出在相等时间间隔内，飞机的位移不断增大，则下列说法正确的是( ) []@2*022版新教#^材教~辅[]
A．由“观察法”可以看出飞机做匀加速直线运动
B．若测出相邻两段位移之差都相等，则飞机做匀变速直线运动
C．若已知飞机做匀变速直线运动，测出相邻两段相等时间内的位移，则可以用逐差法计算出飞机的加速度
D．若已知飞机做匀变速直线运动，测出相邻两段相等时间内的位移，可以求出这两段总时间的中间时刻的速度
解析：选BCD。因为用肉眼直接观察的误差较大，故用“观察法”不能看出飞机做匀加速直线运动，A错误；因为曝光时间相等，若连续相等的时间内的位移差恒定，则可判断飞机做匀变速直线运动，B正确；用逐差法计算匀变速直线运动的加速度是处理纸带问题的基本方法，故也可以处理曝光时间间隔都相等的图片问题，C正确；匀变速直线运动的某段时间中间时刻的速度等于该段时间内的平均速度，D正确。
2．一个小球从斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下，经过斜面中点时速度为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度为( )
A．4 m/s B．5 m/s
C．6 m/s D．3 m/s []&~《优#化方案》^教辅%[]
解析：选D。设斜面长为L，加速度为a，到底端的速度为v，则由v＝ 得3＝，所以v＝3 m/s，D正确。 []《#优化方&%案》^教辅@[]
3．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( ) []@202^2%版新教材~教辅*[]
A．2 m/s B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
解析：选D。根据平均速度公式可知＝＝，即 m/s＝，得v0＝5 m/s，D正确。
4．一个物体做匀加速直线运动，初速度为v0＝2.0 m/s，在第2 s内通过的位移是5 m，则它的加速度为( )
A．2.0 m/s2 B．1.5 m/s2
C．1.0 m/s2 D．0.5 m/s2 []《优#化方案》~教^*辅[%]
解析：选A。第2 s内的位移为5 m，则第2 s内的平均速度为5 m/s，根据推论知，1.5 s末的瞬时速度为5 m/s，则加速度a＝＝ m/s2＝2.0 m/s2，故A正确。
5．汽车由静止开始做匀加速直线运动，速度达到v时立即做匀减速直线运动，最后停止，运动的全部时间为t，则汽车通过的全部位移为( ) []2^0#&*22版新教@材教辅[]
A．vt B．vt []《@优化方案》教&辅#%[^]
C．vt D．vt
解析：选B。汽车的速度－时间图像如图所示，由于图线与时间轴所围“面积”等于位移的大小，故位移x＝vt，B正确。
6．(多选)(2020·湛江校级月考)汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止，对这一运动过程，下列说法正确的是( ) []*202@2版新^教~材教辅[#]
A．这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1
B．这连续三个1 s的平均速度之比为3∶2∶1 []@《优~化方案》教^%辅&[]
C．这连续三个1 s发生的位移之比为5∶3∶1
D．这连续三个1 s的速度改变量之比为1∶1∶1
解析：选ACD。采用逆向思维，汽车做初速度为0的匀加速直线运动，根据v＝at知，1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶2∶3，则这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1，故A正确；采用逆向思维，根据x＝at2知，1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，所以连续三个1 s内的位移之比为5∶3∶1，连续三个1 s内的平均速度之比为5∶3∶1，故B错误，C正确；根据Δv＝at知，在连续三个1 s内的速度变化量之比为1∶1∶1，故D正确。
7．一列火车有3节相同的车厢，一观察者站在第1节车厢的前端，当火车由静止开始做匀加速直线运动时( )
A．每节车厢末端经过观察者时的速度之比是1∶2∶3
B．每节车厢经过观察者所用的时间之比是1∶(－1)∶(－)
C．每节车厢经过观察者的平均速度为1、2、3，则1∶2∶3＝1∶∶
D．如果第3节车厢末端经过观察者时的速度为v，那么在整个列车经过观察者的过程中，平均速度为
解析：选B。火车做初速度为0的匀加速直线运动，因每节车厢的长度相同，根据匀变速直线运动的速度位移关系式v2＝2ax，可知每节车厢末端经过观察者时的速度之比为1∶∶，故A错误；在通过相等位移内的所用时间之比为1∶(－1)∶(－)，故B正确；通过每节车厢的平均速度等于车厢长与时间的比值；故平均速度之比为1∶(＋1)∶(＋)，故C错误；如果第3节车厢末端经过观察者时的速度为v，那么在整个列车经过观察者的过程中，平均速度为，故D错误。
【等级考练】
8．做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为s，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移中间位置的瞬时速度为v2，则( )
A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1
C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1＝v2
D．匀加速直线运动时，v1v2
解析：选A。画出匀加速直线运动与匀减速直线运动的v－t图像，如图所示，由图知无论何种情况均有：v1
9．(多选)(2020·红塔区校级期末)如图所示，光滑斜面AD被分成三个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD，一小物体从A点由静止开始下滑，下列结论正确的是( )
A．物体到达各点的速率为vB∶vC∶vD＝1∶2∶3
B．物体在AB段和BC段的平均速度之比为(－1)∶1
C．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
D．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
解析：选BC。由速度位移关系式有：v＝2aAB，v＝2aAC，v＝2aAD，由AB＝BC＝CD，可得vB∶vC∶vD＝1∶∶，故A错误；根据平均速度的定义可知AB＝，BC＝，而两段相等位移的时间变化为tAB∶tBC＝1∶(－1)，则AB∶BC＝(－1)∶1，故B正确；由公式v＝可得vC＝，故C正确，D错误。
10．(2020·黄冈高一质检)一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点。已知物体由a到e的时间为t0，则它从e经b再返回e所需时间为( )
A．t0 B．(－1)t0
C．2(＋1)t0 D．(2＋1)t0
解析：选C。由逆向思维可知物体从b到e和从e到a的时间比为1∶(－1)，即t∶t0＝1∶(－1)，得t＝(＋1)t0，由运动的对称性可得从e到b和从b到e的时间相等，所以从e经b再返回e所需时间为2t，即2(＋1)t0。
11．(多选)(2020·定远期末)如图所示，在水平面上固定着4个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第4个木块(即D位置)时速度恰好为0，下列说法正确的是( )
A．子弹从O运动到D全过程的平均速度小于B点的瞬时速度 []^《优化方~案》#教@&辅[]
B．子弹通过每一个木块时，其速度变化量 vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC
C．子弹到达各点的速率之比为vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1
D．子弹从进入木块至到达各点经历的时间之比为tA∶tB∶tC∶tD＝1∶∶∶2 []^@202&2%版新教材教*辅[]
解析：选AC。全过程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，根据匀变速运动的结论可知，中间时刻的瞬时速度一定小于中间位置的瞬时速度，故A正确；由于子弹的速度越来越小，故穿过每一个木块的时间不相等，故速度的差值不相等，故B错误；将子弹的运动反向视为初速度为0的匀加速直线运动，则由v2＝2ax可知，子弹依次通过点C、B、A、O的速率之比为1∶∶∶2，所以子弹到达各点的速率之比为vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1，故C正确；将子弹的运动反向视为初速度为0的匀加速直线运动，则由x＝at2可知，子弹依次通过各木块用时之比为1∶(－1)∶(－)∶(2－)，所以子弹从进入木块至到达各点经历的时间之比为tA∶tB∶tC∶tD＝(2－)∶(2－)∶1∶2，故D错误。
习题课1 匀变速直线运动推论的应用
题型一 位移差公式Δx＝aT2的应用 []2@0#22%版~新&教材教辅[]
1．推论
匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝x2－x1＝aT2。
2．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 []#2022版新*%教材教&辅[@]
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝。
—个做匀变速直线运动的质点，初速度为0.5 m/s，第9 s内的位移比第5 s内的位移多4 m，则该质点的加速度、9 s末的速度和质点在9 s内通过的位移分别是( ) []2022*版~#新@教材^教辅[]
A．a＝1 m/s2，v9＝9.5 m/s，x9＝45 m []《优&化~方案》教#*辅%[]
B．a＝1 m/s2，v9＝9 m/s，x9＝45 m
C．a＝1 m/s2，v9＝9 m/s，x9＝0.5 m
D．a＝0.8 m/s2，v9＝1.7 m/s，x9＝36.9 m
[解析] 由x9－x5＝4aT2解得a＝＝ m/s2＝1 m/s2，第9 s末的速度v＝v0＋at＝0.5 m/s＋1×9 m/s＝9.5 m/s，质点在9 s内通过的位移x＝v0t＋at2＝0.5×9 m＋×1×92 m＝45 m。
[答案] A
[针对训练1] (2020·晋中期末)某质点由A经B到C做匀加速直线运动历时4 s。前2 s和后2 s位移分别为AB＝8 m和BC＝12 m，该质点的加速度大小及B点的瞬时速度的大小分别是( )
A．1 m/s2 5 m/s B．2 m/s2 5 m/s
C．1 m/s2 10 m/s D．2 m/s2 10 m/s
解析：选A。根据Δx＝aT2得，质点的加速度a＝＝＝ m/s2＝1 m/s2；B点的瞬时速度vB＝＝ m/s＝5 m/s，故A正确，B、C、D错误。
题型二 平均速度公式的应用
1．平均速度
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝v＝(v0＋v)＝。
2．推导
设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t时 刻的速度为v。
由x＝v0t＋at2得，①
平均速度＝＝v0＋at②
由v＝v0＋at′知，当t′＝时，v＝v0＋a③
由②③式得＝v④
又v＝v＋a⑤
联立以上各式解得v＝，所以＝v＝。
做匀加速直线运动的物体，依次通过A、B、C三点，位移sAB＝sBC，已知物体在AB段的平均速度大小为2 m/s，在BC段的平均速度大小为3 m/s，那么物体在B点的瞬时速度大小为( )
A． m/s B．2.4 m/s
C．2.5 m/s D．2.6 m/s []《优*#%化方案》@&教辅[]
[解析] 设加速度大小为a，经A、C的速度大小分别为vA、vC，sAB＝sBC＝L，根据匀加速直线运动规律可得
v－v＝2aL
v－v＝2aL
根据匀变速直线运动平均速度的定义有
＝1＝2 m/s
＝2＝3 m/s
联立以上各式可得vB＝2.6 m/s，故D正确，A、B、C错误。
[答案] D
有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度、末速度和加速度的大小。
[解析] 由题意可画出物体的运动示意图： []20&2*2版新教材教辅@[~%]
方法一 逐差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2①
又x1＝vAT＋aT2②
vC＝vA＋a·2T③
由①②③式解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。 []《@优化方&案》~%#教辅[]
方法二 平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为
1＝＝ m/s＝6 m/s
2＝＝ m/s＝16 m/s
由于B是A、C的中间时刻，则1＝，
2＝
又vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
方法三 基本公式法 []@#%2022版新教材教*辅&[]
由位移公式得x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入上式，
解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。 []20#2&2版新%教材教*^辅[]
[答案] 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
题型三 初速度为0的匀变速直线运动推论的应用
1．按时间等分(设相等的时间间隔为T)
1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
2．按位移等分(设相等的位移为x)
通过前x、前2x、前3x、…、前nx时的末速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶
通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
(2020·福建厦门一中月考)一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时( )
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…
B．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶n
C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶… []2&@02^2版新%教材*教辅[]
[解析] 列车从静止开始做匀加速直线运动，速度v＝ []%2#022~版新教^@材教辅[]
所以每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…∶，故A错误；根据时间t＝ ，所以每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶∶∶…∶，故B错误；根据连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)可知，在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故C正确，D错误。
[答案] C
[针对训练2] 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内位移大小之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度大小之比为v1∶v2，则下列说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶ []《优化#&方案》教辅[~@*]
解析：选B。物体从静止开始做匀加速直线运动，它在连续相等时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以x1∶x2＝1∶3，由v2＝2ax得v1∶v2＝1∶。
1．(平均速度公式的应用)(多选)(2020·福建厦门一中月考)一辆汽车在4 s内做匀加速直线运动，初速度为2 m/s，末速度为10 m/s，在这段时间内( )
A．汽车的加速度为2 m/s2
B．汽车的加速度为8 m/s2
C．汽车的平均速度为6 m/s
D．汽车的平均速度为10 m/s
解析：选AC。由加速度的定义可知，汽车的加速度为a＝＝2 m/s2，故A正确，B错误；汽车的平均速度为＝＝6 m/s，故C正确，D错误。
2．(推论的综合应用)(多选)(2020·陕西省黄陵县中学期中)一质点做匀加速直线运动，第2秒内的位移是2 m，第3秒内的位移是3 m，那么，下列选项中正确的是( )
A．这两秒内的平均速度是2.5 m/s []2022~%版@新教材教*辅[^]
B．第2秒末瞬时速度是2.5 m/s
C．质点的加速度是2.5 m/s2
D．第3秒末瞬时速度是2.5 m/s []2022~^*版%新教材教@辅[]
解析：选AB。根据平均速度的定义式知，这两秒内的平均速度＝ m/s＝2.5 m/s，故A正确；因为某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则第2 s末的瞬时速度为2.5 m/s，故B正确；根据Δx＝aT2得，加速度a＝ m/s2＝1 m/s2，故C错误；第3秒末瞬时速度是v3＝v2＋at＝(2.5＋1×1) m/s＝3.5 m/s，故D错误。
3．(v0＝0的匀变速直线运动推论的应用)如图所示，一冰壶以速度v垂直边线进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零，求冰壶依次经过B、C、D时的瞬时速度之比和依次通过后3个矩形区域所用的时间之比。
解析：冰壶运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速直线运动。冰壶从右向左依次通过3个矩形区域所用的时间之比为1∶(－1)∶(－)，依次到达D、C、B的速度之比为1∶∶，所以冰壶实际从左向右依次到达B、C、D的速度之比：vB∶vC∶vD＝∶∶1，从左向右依次通过后三个相等矩形区域的时间之比：t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1。 []《*@%&优化方案》教辅^[]
答案：∶∶1 (－)∶(－1)∶1
4．(公式Δx＝aT2的应用)一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第2个4 s内经过的位移是60 m，则这个物体的加速度和初速度各是多少？
解析：由公式Δx＝aT 2，得a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，
根据v4＝ m/s＝v0＋4a，
得v0＝1.5 m/s。
答案：2.25 m/s2 1.5 m/s
(限时：20分钟)
【合格考练】
1．(多选)如图所示，飞机起飞时，在同一底片上相隔相等时间多次曝光“拍摄”的照片，可以看出在相等时间间隔内，飞机的位移不断增大，则下列说法正确的是( ) []@2*022版新教#^材教~辅[]
A．由“观察法”可以看出飞机做匀加速直线运动
B．若测出相邻两段位移之差都相等，则飞机做匀变速直线运动
C．若已知飞机做匀变速直线运动，测出相邻两段相等时间内的位移，则可以用逐差法计算出飞机的加速度
D．若已知飞机做匀变速直线运动，测出相邻两段相等时间内的位移，可以求出这两段总时间的中间时刻的速度
解析：选BCD。因为用肉眼直接观察的误差较大，故用“观察法”不能看出飞机做匀加速直线运动，A错误；因为曝光时间相等，若连续相等的时间内的位移差恒定，则可判断飞机做匀变速直线运动，B正确；用逐差法计算匀变速直线运动的加速度是处理纸带问题的基本方法，故也可以处理曝光时间间隔都相等的图片问题，C正确；匀变速直线运动的某段时间中间时刻的速度等于该段时间内的平均速度，D正确。
2．一个小球从斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下，经过斜面中点时速度为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度为( )
A．4 m/s B．5 m/s
C．6 m/s D．3 m/s []&~《优#化方案》^教辅%[]
解析：选D。设斜面长为L，加速度为a，到底端的速度为v，则由v＝ 得3＝，所以v＝3 m/s，D正确。 []《#优化方&%案》^教辅@[]
3．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( ) []@202^2%版新教材~教辅*[]
A．2 m/s B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
解析：选D。根据平均速度公式可知＝＝，即 m/s＝，得v0＝5 m/s，D正确。
4．一个物体做匀加速直线运动，初速度为v0＝2.0 m/s，在第2 s内通过的位移是5 m，则它的加速度为( )
A．2.0 m/s2 B．1.5 m/s2
C．1.0 m/s2 D．0.5 m/s2 []《优#化方案》~教^*辅[%]
解析：选A。第2 s内的位移为5 m，则第2 s内的平均速度为5 m/s，根据推论知，1.5 s末的瞬时速度为5 m/s，则加速度a＝＝ m/s2＝2.0 m/s2，故A正确。
5．汽车由静止开始做匀加速直线运动，速度达到v时立即做匀减速直线运动，最后停止，运动的全部时间为t，则汽车通过的全部位移为( ) []2^0#&*22版新教@材教辅[]
A．vt B．vt []《@优化方案》教&辅#%[^]
C．vt D．vt
解析：选B。汽车的速度－时间图像如图所示，由于图线与时间轴所围“面积”等于位移的大小，故位移x＝vt，B正确。
6．(多选)(2020·湛江校级月考)汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止，对这一运动过程，下列说法正确的是( ) []*202@2版新^教~材教辅[#]
A．这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1
B．这连续三个1 s的平均速度之比为3∶2∶1 []@《优~化方案》教^%辅&[]
C．这连续三个1 s发生的位移之比为5∶3∶1
D．这连续三个1 s的速度改变量之比为1∶1∶1
解析：选ACD。采用逆向思维，汽车做初速度为0的匀加速直线运动，根据v＝at知，1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶2∶3，则这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1，故A正确；采用逆向思维，根据x＝at2知，1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，所以连续三个1 s内的位移之比为5∶3∶1，连续三个1 s内的平均速度之比为5∶3∶1，故B错误，C正确；根据Δv＝at知，在连续三个1 s内的速度变化量之比为1∶1∶1，故D正确。
7．一列火车有3节相同的车厢，一观察者站在第1节车厢的前端，当火车由静止开始做匀加速直线运动时( )
A．每节车厢末端经过观察者时的速度之比是1∶2∶3
B．每节车厢经过观察者所用的时间之比是1∶(－1)∶(－)
C．每节车厢经过观察者的平均速度为1、2、3，则1∶2∶3＝1∶∶
D．如果第3节车厢末端经过观察者时的速度为v，那么在整个列车经过观察者的过程中，平均速度为
解析：选B。火车做初速度为0的匀加速直线运动，因每节车厢的长度相同，根据匀变速直线运动的速度位移关系式v2＝2ax，可知每节车厢末端经过观察者时的速度之比为1∶∶，故A错误；在通过相等位移内的所用时间之比为1∶(－1)∶(－)，故B正确；通过每节车厢的平均速度等于车厢长与时间的比值；故平均速度之比为1∶(＋1)∶(＋)，故C错误；如果第3节车厢末端经过观察者时的速度为v，那么在整个列车经过观察者的过程中，平均速度为，故D错误。
【等级考练】
8．做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为s，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移中间位置的瞬时速度为v2，则( )
A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1
C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1＝v2
D．匀加速直线运动时，v1
解析：选A。画出匀加速直线运动与匀减速直线运动的v－t图像，如图所示，由图知无论何种情况均有：v1
9．(多选)(2020·红塔区校级期末)如图所示，光滑斜面AD被分成三个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD，一小物体从A点由静止开始下滑，下列结论正确的是( )
A．物体到达各点的速率为vB∶vC∶vD＝1∶2∶3
B．物体在AB段和BC段的平均速度之比为(－1)∶1
C．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
D．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
解析：选BC。由速度位移关系式有：v＝2aAB，v＝2aAC，v＝2aAD，由AB＝BC＝CD，可得vB∶vC∶vD＝1∶∶，故A错误；根据平均速度的定义可知AB＝，BC＝，而两段相等位移的时间变化为tAB∶tBC＝1∶(－1)，则AB∶BC＝(－1)∶1，故B正确；由公式v＝可得vC＝，故C正确，D错误。
10．(2020·黄冈高一质检)一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点。已知物体由a到e的时间为t0，则它从e经b再返回e所需时间为( )
A．t0 B．(－1)t0
C．2(＋1)t0 D．(2＋1)t0
解析：选C。由逆向思维可知物体从b到e和从e到a的时间比为1∶(－1)，即t∶t0＝1∶(－1)，得t＝(＋1)t0，由运动的对称性可得从e到b和从b到e的时间相等，所以从e经b再返回e所需时间为2t，即2(＋1)t0。
11．(多选)(2020·定远期末)如图所示，在水平面上固定着4个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第4个木块(即D位置)时速度恰好为0，下列说法正确的是( )
A．子弹从O运动到D全过程的平均速度小于B点的瞬时速度 []^《优化方~案》#教@&辅[]
B．子弹通过每一个木块时，其速度变化量 vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC
C．子弹到达各点的速率之比为vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1
D．子弹从进入木块至到达各点经历的时间之比为tA∶tB∶tC∶tD＝1∶∶∶2 []^@202&2%版新教材教*辅[]
解析：选AC。全过程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，根据匀变速运动的结论可知，中间时刻的瞬时速度一定小于中间位置的瞬时速度，故A正确；由于子弹的速度越来越小，故穿过每一个木块的时间不相等，故速度的差值不相等，故B错误；将子弹的运动反向视为初速度为0的匀加速直线运动，则由v2＝2ax可知，子弹依次通过点C、B、A、O的速率之比为1∶∶∶2，所以子弹到达各点的速率之比为vO∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1，故C正确；将子弹的运动反向视为初速度为0的匀加速直线运动，则由x＝at2可知，子弹依次通过各木块用时之比为1∶(－1)∶(－)∶(2－)，所以子弹从进入木块至到达各点经历的时间之比为tA∶tB∶tC∶tD＝(2－)∶(2－)∶1∶2，故D错误。
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