专题27以相似为载体的几何综合问题-挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

  专题27以相似为载体的几何综合问题          

【例1】（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．

(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；

(2)若＝2，求的值；

(3)若MN∥BE，求的值．

【例2】（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．

（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：

（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．

【例3】（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在平行四边形中，是一条对角线，且，，，是边上两点，点在点的右侧，，连接，的延长线与的延长线相交于点．

(1)如图1，是边上一点，连接，，与相交于点．

①若，求的长；

②在满足①的条件下，若，求证：；

(2)如图2，连接，是上一点，连接．若，且，求的长．

【例4】（2022·江苏泰州·中考真题）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.

(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；

(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.

【例5】（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，和的顶点重合，，，，．

(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；

(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．

一、解答题【共20题】

1．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上．

(1)如图1，当四边形是正方形时，求证：；

(2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形；

(3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．

2．（2022·山东东营·中考真题）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止.

(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是____________，位置关系是____________；

(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.

3．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．

(1)求证：；

(2)当点在线段上（点不与点，重合）时，求的值；

(3)过点作交于点，若，请直接写出的值．

4．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点G．

(1)求证：.

(2)若．

①求菱形的面积.

②求的值.

(3)若，当的大小发生变化时（），在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．

5．（2022·山东枣庄·中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．

(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？

6．（2022·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．

(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；

(2)当时，求的长；

(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．

7．（2022·山东菏泽·中考真题）如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．

(1)直接写出CE与AB的位置关系；

(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；

(3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．

8．（2022·辽宁丹东·中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．

(1)如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；

(2)如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．

9．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．

(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F．

①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；

②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．

10．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

(1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；

(2)若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；

(3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

11．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．

(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；

(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

(3)如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．

12．（2022·山东济宁·中考真题）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．

(1)填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为       ；

(2)当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．

①求m值最大时点D的坐标；

②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．

13．（2022·山东烟台·中考真题）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．

(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．

①求的值；

②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

14．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．

(1)点D到边的距离为__________；

(2)用含t的代数式表示线段的长；

(3)连结，当线段最短时，求的面积；

(4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值．

15．（2022·内蒙古通辽·中考真题）已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．

(1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；

(2)将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；

(3)，，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．

16．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F．

(1)求证：；

(2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．

①求的最小值；

②当取最小值时，求线段DE的长．

17．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．

(1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；

(2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．

①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；

②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．

18．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题：

(1)当时，求t的值；

(2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

19．（2022·辽宁营口·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．

(1)求抛物线和直线的解析式；

(2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；

(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．

20．（2022·山东威海·中考真题）回顾：用数学的思维思考

(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．

①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．

②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

（从①②两题中选择一题加以证明）

(2)猜想：用数学的眼光观察

经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：

如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．

(3)探究：用数学的语言表达

如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．