高中数学高考第44讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程（讲）（教师版）

这是一份高中数学高考第44讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程（讲）（教师版），共11页。试卷主要包含了直线的倾斜角，斜率公式，直线方程的五种形式等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率 k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直线方程的五种形式

题型归纳
题型1 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】（2019秋•庐江县期末）直线xcsα﹣y﹣4＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[0，π）B．
C．D．
【分析】先求出斜率的范围，再根据倾斜角和斜率的关系，求出倾斜角的取值范围．
【解答】解：由于直线xcsα﹣y﹣4＝0的斜率为 csα∈[﹣1，1]，设倾斜角为θ，θ∈[0，π），
则tanθ∈[﹣1，1]，∴θ∈[0，]∪[，π），
故选：D．
【例1-2】（2020春•黄冈期末）已知点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣1，0）是平面直角坐标系中的定点，直线y＝kx+1与线段AB始终相交，则实数k的取值范围是（ ）
A．[1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1]D．[，1]
【分析】根据题意，分析可得点A、B分别在直线y＝kx+1的两侧或直线上，由一元二次不等式的几何意义可得（﹣2k+3+1）（﹣k+1）≤0，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线y＝kx+1与线段AB始终相交，则点A、B分别在直线y＝kx+1的两侧或直线上，
则有（﹣2k+3+1）（﹣k+1）≤0，
解可得：1≤k≤2，即k的取值范围为[1，2]；
故选：A．
【跟踪训练1-1】（2020春•沙坪坝区校级期末）过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是（ ）
A．0＜m≤2B．0＜m＜4
C．2≤m＜4D．0＜m＜2或2＜m＜4
【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围，再由两点求斜率求出AB所在直线的斜率，得到关于m的不等式，求解m的范围，再由m＝2时直线的倾斜角为，符合题意，则答案可求．
【解答】解：由直线的倾斜角α的范围是，
得直线的斜率存在时，有k＜﹣1或k＞1．
又kAB＝，
∴或，
解得0＜m＜2或2＜m＜4．
当直线的斜率不存在时，m＝2．
综上，实数m的取值范围是（0，4）．
故选：B．
【跟踪训练1-2】（2020春•保山期末）已知直线l过点P（1，0）且与线段y＝2（﹣2≤x≤2）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）B．[﹣，2]
C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D．（﹣，2）
【分析】先求出PA、PB的斜率，再根据题意求出k的范围．
【解答】解：如图，，，
由于直线l与线段y＝2（﹣2≤x≤2）有交点，
故k≥2，或 k≤﹣，
故选：A．
【名师指导】
题型2 直线的方程
【例2-1】（2019秋•佛山期末）已知直线l经过点P（﹣1，2），且倾斜角为135°，则直线l的方程为（ ）
A．x+y﹣3＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y+3＝0
【分析】由直线l的倾斜角为135°，所以可求出直线l的斜率，进而根据直线的点斜式方程写出即可．
【解答】解：∵直线l的倾斜角为135°，
∴斜率＝tan135°＝﹣1，
又直线l过点（﹣1，2），
∴直线的点斜式为y﹣2＝﹣1（x+1），
即x+y﹣1＝0．
故选：B．
【例2-2】（多选）（2020春•金湖县校级期中）已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（ ）
A．x﹣y+2＝0B．x+y﹣6＝0C．x＝2D．2x﹣y＝0
【分析】分直线l的斜率存在与不存在分类求解得答案．
【解答】解：当直线l过原点时，直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；
当直线l不过原点时，设直线方程为x+y＝m，则m＝2+4＝6，
∴直线方程为x+y﹣6＝0．
∴直线l的方程可能为2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0．
故选：BD．
【例2-3】（2020春•镇江期末）已知A（3，2），B（﹣2，3），C（4，5），则△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x+y﹣5＝0D．x﹣y﹣5＝0
【分析】根据题意，设BC的中点为D，求出D的坐标，进而求出直线AD的斜率，结合直线的点斜式方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设BC的中点为D，
又由B（﹣2，3），C（4，5），则D的坐标为（1，4），
又由A（3，2），则kAD＝1，
故△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即x+y﹣5＝0；
故选：C．
【例2-4】（2019秋•上饶期末）过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0
C．2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0D．2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0
【分析】讨论直线过原点和不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
【解答】解：当直线过原点时，可得斜率为k＝＝2，
所以直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；
当直线不过原点时，设方程为+＝1，
代入点（1，2）可得﹣＝1，解得a＝﹣1，
所以直线方程为x﹣y+1＝0；
综上知，所求直线方程为：2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0．
故选：D．
【跟踪训练2-1】（2019秋•拉萨期末）如果直线x﹣4y+b＝0的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则b＝ ．
【分析】由题意知，可用斜截式求出直线x﹣4y+b＝0的方程，得到它与两坐标轴的交点坐标，代入三角形的面积公式进行运算．
【解答】解：由题意知，直线的方程为 y＝x+（b＞0），它与两坐标轴的焦点为（0，）和（﹣b，0），
∴它与两坐标轴围成的三角形的面积为 ••b＝8，
解得b＝8．
故答案是：8．
【跟踪训练2-2】（2019秋•兴庆区校级期末）在y轴上的截距为﹣6，且与y轴相交成30°角的直线方程是 ．
【分析】与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为k＝tan60°＝，或k＝tan120°＝﹣，由此能求出y轴上的截距为﹣6，且与y轴相交成30°角的直线方程．
【解答】解：与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为：
k＝tan60°＝，或k＝tan120°＝﹣，
∴y轴上的截距为﹣6，且与y轴相交成30°角的直线方程是：
y＝x﹣6或y＝﹣﹣6．
故答案为：y＝x﹣6或y＝﹣x﹣6．
【跟踪训练2-3】（2019春•惠州期末）一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，分析直线线的斜率，即可得其倾斜角，进而可得所求直线的倾斜角与斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，已知直线的斜率k＝，则其倾斜角为30°，
故所求直线的倾斜角为60°，得出其斜率为，
由直线的点斜式得y﹣（﹣）＝（x﹣2），即．
故选：B．
【名师指导】
1．求解直线方程的2种方法
2．谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.
题型3 直线方程的综合问题
【例3-1】（2019秋•城关区校级期末）△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3＝0．
（1）求直线AB的方程；
（2）求直线BC的方程；
（3）求△BDE的面积．
【分析】（1）由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率，再由点斜式写出AB的直线方程；
（2）先求出点B，点C的坐标，再写出BC的直线方程；
（3）由点到直线的距离求出E到AB的距离d，以及B到CD的距离BD，计算S△BDE即可．
或求出BE，D到BE的距离d，计算S△BDE．
【解答】解：（1）∵CD所在直线的方程为x+2y﹣4＝0，
∴直线AB的斜率为2，
∴AB边所在的直线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即2x﹣y+1＝0；
（2）由，得，
即直线AB与AC边中线BE的交点为B（，2）；
设C（m，n），
则由已知条件得，
解得，∴C（2，1）；
∴所以BC边所在的直线方程为＝，即2x+3y﹣7＝0；
（3）∵E是AC的中点，∴E（1，1），
∴E到AB的距离为：d＝；
又点B到CD的距离为：BD＝，
∴S△BDE＝•d•BD＝．
另解：∵E是AC的中点，∴E（1，1），
∴BE＝，
由，
得，∴D（，），
∴D到BE的距离为：d＝，
∴S△BDE＝•d•BE＝．
【跟踪训练3-1】（2020春•新都区期末）已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，1），B（3，﹣3），C（1，7）．
（1）求BC边的中线所在直线方程的一般式方程；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．
（2）三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）设BC的中点M的坐标为（x，y），
所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为（2，2）．
由两点式得：x﹣5y+8＝0．
所以BC边的中线所在直线方程的一般式方程为：x﹣5y+8＝0；
（2）∵直线BC的方程为：5x+y﹣12＝0．
dA﹣BC＝＝，|BC|＝＝2，
S△ABC＝|BC|dA﹣BC＝×2×＝26．
【名师指导】
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
直接法
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程
待定系数法
①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程