中考经典几何模型与最值问题 专题03 一线三垂直模型构造全等三角形

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专题03 一线三垂直模型构造全等三角形
【专题说明】
一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。
【知识总结】
过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）

常见的两种图形：

图1 图2

1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.
当α=45°时，求△EAD的面积.
当α=30°时，求△EAD的面积
当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.

解析：∵AD∥BC,DG⊥BC
∴∠GDF=90°
又∵∠EDC=90°
∴∠1=∠2

在△CGD和△EFD中
∠DGC=∠DFE
∠1=∠2
CD=DE
∴△DCG≌△DEF
∴EF=CG
∵AD∥BC,AB⊥BC,
AD=2，BC=3
∴BG=AD=2
∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关
2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP

解析：过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N

∵四边形ACFG是正方形
∴AC=AG,∠CAG=90°
∴∠CAH+∠ACH=90°
∴∠ACH=∠GAM
在△ACH和△GAM中
∠AHC=∠GMA
∠ACH=∠GAM
AC=GA
∴△ACH≌△GAM
∴CH=AM,AH=GM
同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP
∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP

3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.

解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE
∴∠BDA=∠AEC=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠EAC=90°[
∴∠ABD=∠EAC
在△ABD和△CAE中
∠ADB=∠CEA=90°
∠ABD=∠EAC
AB=CA
∴△ABD≌△CAE(AAS)
AD=CE,BD=AE
∵AE=AD+DE
∴BD=DE+CE
（2）在△ABD和△CAE中
∠ADB=∠CEA=90°
AB=CA
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD=CE,BD=AE[
∵AE=DE-AD
∴BD=DE-CE.
4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC的长为（ ）

解析:∵AD是△ABC的高
∴∠ADB=90°
∵∠ABC=45°
∴∠BAD=45°
∴∠ABC=∠BAD
∴AD=BD
∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD
∴∠AFE=∠C
在△BDF和△ADC中
∠CAD=∠FBD
AD=BD
∠BDF=∠ADC
∴△BDF≌△ADC（ASA）
∴DF=CD=4
∴AD=AF+DF=2+4=6=BD
∴BC=BD+CD=6+4=10

5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（ ）

解析：∵ABCD是正方形，∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°
∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE，∴∠ABF=∠DAE
在△AFB和△AED中，∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD
∴△AFB≌△AED
∴AF=DE=4，BF=AE=3
∴EF=AF+AE=4+3=7

6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（ ）

解析：∵矩形ABCD中，EF⊥EC,
∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90°，∴∠AEF=∠DCE,
又∵EF=EC，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=CD
∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16，
∴CD+AD=8
∴AD-2+AD=8
AD=5
∴AE=AD-DE=5-2=3.
7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=12BD

解析：延长CE、BA相交于点F.

∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°
∴∠EBF=∠ACF.
又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=CF
在△BCE和△BFE中，∠EBF=∠CBE，BE=BE，∠CEB=∠FEB
∴△BCE≌△BFE(ASA)
∴CE=EF
∴CE=12CF=12BD

【基础训练】
1、如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.

解析：
(1)过点B作BD⊥x轴于点D,
∴∠BCD+∠DBC=90°
由等腰Rt△ABC可知，BC=AC,∠ACB=90°
∴∠BCD+∠AC0=90°
∴∠DBC=∠ACO
在△BCD和△CAO中
∠BDC=∠AOC
∠DBC=∠ACO[
BC=AC
∴△BCD≌△CAO
∴CD=OA,BD=OC
(2)的证明方法一样

2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点 .
如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.
在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______

解析：
（1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B,PC⊥AF于C，
∴PB=PC
在Rt△PBM和Rt△PCN中
PB=PC
PM=PN
∴Rt△PBM≌Rt△PCN
∴BM=CN
（2）在Rt△PBA和Rt△PCA中
PB=PC
AP=AP
∴Rt△PBA≌Rt△PCA
∴AB=AC
∴AM+CN=AM+BM=AB=AC

3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.
当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.

解析：
∵∠B=40°
∴∠BAD+∠BDA=140°
∵∠ADE=40°
∴∠CDE+∠BDA=140°
∴∠BAD=∠CDE
在△ABD和△DCE中
∠B=∠C
∠BAD=∠CDE
AB=DC
∴△ABD≌△DCE

4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=12∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB交于点F，求证：BE=12DF.

解析：过点D做DG∥AC交BE的延长线于点G
BE与DH的延长线交于G点，如图，

∵DH∥AC，∠BDH=∠C=45°
∴△HBD为等腰直角三角形
∴HB=HD，而∠EBF=22.5°
∵∠EDB=12∠C=22.5°
∴DE平分∠BDG
而DE⊥BG，∴BE=GE,即BE=12BG
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，∴∠DFH=∠G
∵∠GBH=90°-∠G,∠FDH=90°-∠G
∴∠GBH=∠FDH
在△BGH和△DFH中，，∴△BGH≌△DFH(AAS)，∴BG=DF
∴BE=12FD

5、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD
证明：BF平分∠ABC
证明：AB+AE=BC

解析：（1）作AC的垂线交AD的延长线于点M，易证BAE≌△ACM（ASA）得CM=AE=CD

∴∠M=∠CDM=∠AEB=∠BAD，AB=BD，∴BF平分∠ABD（等腰三角形三线合一）
（2）AB+AE=BD+DC=BC

【巩固提升】
1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC,AP⊥PC,求证：△ABP≌△PDC

解析：∵AP⊥PC,∴∠APB＋∠CPD=900,
∵AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点
D,∴∠B=∠D=900
∴∠CPD+∠PCD=900,∴∠APB=∠PCD,又AP=PC,∴△ABP≌△PDC

2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 当点P在线段OB（点p不与O，B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3） 在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN，MB，请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）将点A（-1，0）和点B（3，0）代入抛物线解析式可求得，b=-2,c=-3,所以y=x2-2x-3.
(2) 通过同角的余角相等得∠EPO=∠PCB, ∠EOP=∠PBC-900,得△EPO∽△PCB，所以,设OE=y，OP=x，则y=-x2+x=-(x-)2+(0 又-<0，所以当x=时，OE有最大值为。
(3) 过点M作MG∥y轴，交BN于点G，
设M（m,m2-2m-3）。由N、B两点可求得直线BN的解析式：
Y=x-3，可得G（m,m-3），
则GM=-m2+3m，所以S△MBN=×（-m2+3m）×3=-（m-）2+.
当M(，-)时，△BMN的面积取得最大值。

3、如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点p，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）。若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.
（1） 直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；
（2） 当m为何值时，△MAB的面积S取得最小值和最大值？请说明理由；
（3） 求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。

解析：(1)由△PCB≌△BOA可得PC=OB=3,BC=OA=1,所以P（3，4），（0，4）.将P（3，4），C（0，4）代入解析式得，b=3, c=4，所以抛物线y=-x2+3x+4。
（2） 过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则S△AMB=S梯形MNOB-S△AOB-S△AMN,代入整理得；S△AMB=-（m-3）2+5,又知，0≤m≤4，且a=-<0，所以当m=3时，有最大值为5，当m=0时，面积最小为。
（3） 此问分两种情况①当M点在OP左侧，当∠MPO=∠POA时，M点与P重合，此时M（0，4）.②当M点在OP的右侧，当∠MPO=∠POA时，有PG=OG,设G（x，0）
（4） 由勾股定理得PG2=（x-3）2+16，所以x2=（x-3）2+16，解得x=，这样可求得PM的解析式：
Y=-x+与y=-x2+3x+4建立方程组可求得M(,)[
当∠MPO=∠POA时,M(0,4)或M(,)


4、如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）。
（1） 求证：△AEP≌△CEP；
（2） 判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3） 求△AEF的周长。

解析：（1）∵四边形APCD是正方形，DP是对角线，∴根据SAS可证△AEP≌△CEP。
（1） 过C作CN⊥BP交BP于点N，这样就构造出一线三垂直基本图形，由AAS容易证△ABP≌△PNC, ∴∠PAB=∠CPN,∵△AEP≌△CEP,∴∠PAE=∠PCE
（2） 又∠EAP=∠BAP,∴∠CPN=∠PCE,∴CF∥BN,
（3） ∵BG⊥AB,∴CF⊥AB.

（4） △AEF的周长=AE+AF+EF,
又AE=CE,CE+EF=PN+PB,PB=CN=FB,PN=AB
∴△AEF的周长=AB+FB+AF=2AB=16.

5、如图，在四边形ABFG中，AB=10，BF=4，∠B=600,设AE=x，AG=y，求y与x的函数关系式。

解析：过点F作FD⊥AB,垂足为D,

∵∠B=600,BF=4，∴DF=2,DB=2
∴AD=8,由AE=x得DE=8-x。由一线三垂直，知△AEG∽△DFE,∴=,
∴y=(8x-x2)

6、如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG,作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH。显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线，仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于1800的角平分线），并说明理由

解析：AG平分∠BAF,GA平分∠BGF,GH平分∠EGC，CH平分∠DCM.理由如下：
∵AB=AF=AD,AG=AG，∴△AFG≌△ABG
∴∠BAG=∠GAF,∠AGB=∠AGF
即AG平分∠BAF,GA平分∠BGF
过H作HN⊥BC交BC于N

容易证得△GAB≌△HGN,得HN=BG，GN=AB=BC
∴CN=BG=HM，∴∠HCN=∠DCM=450,即CH平分∠DCM
根据同角的余角相等得∠FAG=∠EGH
而∠FAG=∠BAG=∠HGN,即GH平分∠EGC

7、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。
（1） 求此抛物线的表达式；
（2） 抛物线上有一点P，满足∠PBC=900，求点P的坐标

解析：（1）设抛物线解析 式：y=a(x-2)(x-6)，将C（0，3）代入可得
y=-2x+3。
（2）过点P，作PD⊥x轴交x轴于D，由一线三垂直知
△OBC∽△DPB,∴=, ∴=,
设BD=m则，PD=2m，
∴P（6+m,2m）
将点P坐标代入y=-2x+3中，
可求得P的坐标。