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专题04 平行线判定与性质常考解答题-七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（苏科版）
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专题04 平行线判定与性质常考解答题
真题再现
1．（2021秋•社旗县期末）〖我阅读〗
“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．
〖我会做〗
填空（理由或数学式）
已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．
求证：AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠E （ ）
∴ （ ）
∴ +∠2＝180° （ ）
∵∠B＝
∴ + ＝180°
∴AB∥CD （ ）
2．（2022春•邛崃市期中）如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，求证：CE∥DF．请完成下面的解题过程．
解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC＝∠ ，∠ECB＝∠ （角平分线的定义）
又∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠ ＝∠ ．
又∵∠ ＝∠ （已知）
∴∠F＝∠
∴CE∥DF ．
3．（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ ）
又∵∠1＝∠B（ ）
∴ （ ）
∴∠AFB＝∠AOE（ ）
∴∠AFB＝90°（ ）
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝ （平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
4．（2022春•龙凤区校级期末）已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．
（1）填空：∠2和∠D可用关系式表示为 ；∠1与∠D有怎样的关系式： ；
（2）求证：AB∥CD．
5．（2022春•巩义市期末）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，∠1与∠2互补，∠A＝∠C，求证：AD∥BC．
证明：∵∠1＝∠DGH（ ），
又∵∠1+∠2＝180°（补角的定义），
∴∠DGH+∠2＝180°（等量代换），
∴（ ）（ ），
∴∠A＝∠EDG（ ），
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠EDG＝∠C（等量代换），
∴AD∥BC（ ）．
6．（2022春•扎赉特旗校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以 （ ）．
7.（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠ ＝90° （ ），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝ （ ），
即∠ +∠B＝180°，
∴AD∥BC （ ）．
8．（2022春•龙岗区期末）填空并完成以下证明：
已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
证明：FH⊥AB（已知）
∴∠BHF＝ ．
∵∠1＝∠ACB（已知）
∴DE∥BC（ ）
∴∠2＝ ．（ ）
∵∠2＝∠3（已知）
∴∠3＝ ．（ ）
∴CD∥FH（ ）
∴∠BDC＝∠BHF＝ ．°（ ）
∴CD⊥AB．
9．（2022春•岳池县期末）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）
∴∠4＝60°（ ）
又∵∠1＝60°（ ）
∴∠1＝∠4（ ）
∴AB∥CD（ ）
10.（2022春•韩城市期末）如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，
求证：DF∥EA．
11．（2021秋•绥德县期末）如图，点E、F分别是AB、CD上的点，连接BD、AD、EC、BF，AD分别交CE、BF于点G、H，若∠DHF＝∠AGE，∠ABF＝∠C，求证：AB∥CD．
12．（2022春•汉阳区校级月考）如图，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF交CD于点G．若∠1+2∠2＝180°，求证：AB∥CD．
13．（2021秋•遂川县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．
14．（2021秋•神木市期末）如图，∠1＝40°，∠2＝140°，∠C＝∠D，求证：AC∥DF．
15．（2022秋•北京期中）如图，已知∠1＝75°，∠2＝35°，∠3＝40°，求证：a∥b．
16．（2022春•藁城区校级月考）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．求证：AB∥CD．
17．（2022春•新城区校级期中）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．
（1）求∠BOF的度数；
（2）试说明AB∥CD的理由．
18．（2022春•普兰店区期中）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，证明：AB∥EF．
19．（2021•齐河县校级开学）如图，已知∠C＝∠1，∠1和∠D互余，∠2和∠D互余．求证：AB∥CD．
20．（2022春•绥江县期中）如图，已知∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．
21．（2022春•仙游县校级期末）已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．
求证：AB∥CD．
22．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
23．（2022春•白水县期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB上一点，EF⊥BC于点F，点G是AC上一点，连接DG，且∠1＝∠2．求证：AB∥DG．
24．（2022春•新罗区期中）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+50°，∠CBD＝80°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
25.（2022春•东莞市期中）如图，已知AC平分∠BAD，且∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若AC⊥CB，∠D＝120°，求∠B的度数．
26.（2022春•昭平县期末）如图，∠DAC+∠ACB＝180°，CE平分∠BCF，∠FEC＝∠FCE，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝28°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）试求∠DAC、∠FEC的度数．
27．（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．
（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．
28．（2022春•江城区期中）如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：（1）∠2＝∠CBD；
（2）MD∥BC．
29．（2022春•老河口市月考）如图，∠B+∠BCD＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．
30．（2022春•双流区校级期中）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．
（1）求证：AE⊥CE；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
31．（2022春•二七区校级月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
32．（2022•青山区模拟）如图，E在四边形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于F，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，求证：AB∥CD．
33．（2022秋•驻马店期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
34．（2022春•青羊区校级月考）如图，∠4+∠ADC＝180°，且∠1＝∠2，说明DG∥AB的理由．
35．（2021秋•商河县期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且∠ECD＝∠EDC．求证：DE∥AC．
专题04 平行线判定与性质常考解答题
真题再现
1．（2021秋•社旗县期末）〖我阅读〗
“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．
〖我会做〗
填空（理由或数学式）
已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．
求证：AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠E （ ）
∴ AD∥BC （ ）
∴ +∠2＝180° （ ）
∵∠B＝
∴ + ＝180°
∴AB∥CD （ ）
【解答】证明：∵∠1＝∠E （已知），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D+∠2＝180° （两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B＝∠D，
∴∠B+∠2＝180°，
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知，AD∥BC，内错角相等，两直线平行，∠D，两直线平行，同旁内角互补，∠D，∠B，∠2，同旁内角互补，两直线平行．
2．（2022春•邛崃市期中）如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，求证：CE∥DF．请完成下面的解题过程．
解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC＝∠ ，∠ECB＝∠ （角平分线的定义）
又∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠ ＝∠ ．
又∵∠ ＝∠ （已知）
∴∠F＝∠
∴CE∥DF ．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB （ 已知 ），
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB（ 角平分线的定义）．
又∵∠ABC＝∠ACB （已知），
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠F＝∠ECB（等量代换），
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：ABC；ACB；DBC；ECB；DBF；F；ECB；同位角相等，两直线平行．
3．（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ ）
又∵∠1＝∠B（ ）
∴ （ ）
∴∠AFB＝∠AOE（ ）
∴∠AFB＝90°（ ）
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝ （平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝（90）°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．
4．（2022春•龙凤区校级期末）已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．
（1）填空：∠2和∠D可用关系式表示为 ；∠1与∠D有怎样的关系式： ；
（2）求证：AB∥CD．
【解答】（1）解：∵∠2和∠D互余，
∴∠2+∠D＝90°，
∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∵∠1+∠D＝90°，
故答案为：∠2+∠D＝90°；∠1+∠D＝90°；
（2）证明：∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∴∠1+∠D＝90°，
又∵∠2和∠D互余，
∴∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
5．（2022春•巩义市期末）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，∠1与∠2互补，∠A＝∠C，求证：AD∥BC．
证明：∵∠1＝∠DGH（ ），
又∵∠1+∠2＝180°（补角的定义），
∴∠DGH+∠2＝180°（等量代换），
∴（ ）（ ），
∴∠A＝∠EDG（ ），
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠EDG＝∠C（等量代换），
∴AD∥BC（ ）．
【解答】证明：∵∠1＝∠DGH（对顶角相等），
又∵∠1+∠2＝180°（补角的定义），
∴∠DGH+∠2＝180°（等量代换），
∴CD∥AB（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠EDG（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠EDG＝∠C（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等，CD∥AB，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行．
6．（2022春•扎赉特旗校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以 （ ）．
【解答】解：∵∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（平角的定义），
∴∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）．
∵EA平分∠BAG，
∴∠1＝∠BAG（角平分线的定义）．
∵FG平分∠AGC，
∴∠2＝∠AGC，
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．
7.（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠ ＝90° （ ），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝ （ ），
即∠ +∠B＝180°，
∴AD∥BC （ ）．
【解答】解：证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC＝90° （垂直的定义），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系），
即∠BAD+∠B＝180°，
∴AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补，两直线平行．
8．（2022春•龙岗区期末）填空并完成以下证明：
已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
证明：FH⊥AB（已知）
∴∠BHF＝ ．
∵∠1＝∠ACB（已知）
∴DE∥BC（ ）
∴∠2＝ ．（ ）
∵∠2＝∠3（已知）
∴∠3＝ ．（ ）
∴CD∥FH（ ）
∴∠BDC＝∠BHF＝ ．°（ ）
∴CD⊥AB．
【解答】证明：FH⊥AB（已知），
∴∠BHF＝90°．
∵∠1＝∠ACB（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠BCD（等量代换），
∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）
∴CD⊥AB．
故答案为：90°；同位角相等，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠BCD；等量代换；同位角相等，两直线平行；90；两直线平行，同位角相等．
9．（2022春•岳池县期末）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）
∴∠4＝60°（ ）
又∵∠1＝60°（ ）
∴∠1＝∠4（ ）
∴AB∥CD（ ）
【解答】证明：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义），
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°，
∴∠4＝60°（对顶角相等），
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：已知；垂直定义；已知；60°；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
10.（2022春•韩城市期末）如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，
求证：DF∥EA．
【解答】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠CDA＝∠BAD＝90°．
∴∠1+∠ADF＝∠2+∠DAE．
∵∠1＝∠2，
∴∠ADF＝∠DAE．
∴DF∥EA
11．（2021秋•绥德县期末）如图，点E、F分别是AB、CD上的点，连接BD、AD、EC、BF，AD分别交CE、BF于点G、H，若∠DHF＝∠AGE，∠ABF＝∠C，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠DHF＝∠AHB，∠DHF＝∠AGE，
∴∠AHB＝∠AGE，
∴BH∥EC，
∴∠ABF＝∠AEG，
∴∠ABF＝∠C，
∴∠AEG＝∠C，
∴AB∥CD．
12．（2022春•汉阳区校级月考）如图，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF交CD于点G．若∠1+2∠2＝180°，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵EG平分∠AEF交CD于点G，
∴∠AEG＝∠GEF．
∠1+2∠2＝180°，∠1+2∠AEG＝180°，
∴∠2＝∠AEG，
∴AB∥CD．
13．（2021秋•遂川县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，
∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义），
∵∠2＝60°，（已知），
∴∠2＝∠ACD（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．
14．（2021秋•神木市期末）如图，∠1＝40°，∠2＝140°，∠C＝∠D，求证：AC∥DF．
【解答】证明：∵∠1＝40°，∠2＝140°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴BD∥CE，
∴∠D＝∠CEF，
∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠C，
∴AC∥DF．
15．（2022秋•北京期中）如图，已知∠1＝75°，∠2＝35°，∠3＝40°，求证：a∥b．
【解答】证明：∵∠4是∠2，∠3所在三角形的外角，
∴∠4＝∠3+∠2＝75°，
又∵∠1＝75°，
∴∠1＝∠4，
∴a∥b．
16．（2022春•藁城区校级月考）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD．
17．（2022春•新城区校级期中）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．
（1）求∠BOF的度数；
（2）试说明AB∥CD的理由．
【解答】解：（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOE＝∠AOC＝∠COE，∠2＝∠BOE＝∠DOE，
∵∠COE+∠DOE＝180°，
∴∠2+∠AOC＝90°，
∵∠COE＝∠3，
∴∠AOC＝∠3，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2：∠3＝2：5，
∴∠3＝∠2，
∴∠2+×∠2＝90°，
∴∠2＝40°，
∴∠3＝100°，
∴∠BOF＝∠2+∠3＝140°；
（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠AOC＝90°，
∴∠1＝∠AOC，
∴AB∥CD．
18．（2022春•普兰店区期中）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，证明：AB∥EF．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
∵∠3+∠4＝180°，
∴CD∥EF．
∴AB∥EF．
19．（2021•齐河县校级开学）如图，已知∠C＝∠1，∠1和∠D互余，∠2和∠D互余．求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，
∴∠1+∠D＝90°，∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
20．（2022春•绥江县期中）如图，已知∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴EF∥CD，
∴∠3＝∠4，
∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，
∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4，
∴∠AED＝∠ACB，
∴BC∥DE．
21．（2022春•仙游县校级期末）已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．
求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠2＝∠E，
∴AD∥BE，∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠3，
∴∠3＝∠BAE，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠BAE，
∴AB∥CD．
22．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝50°，
∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°+50°＝140°，
故答案为：140°；
②∵∠ACB＝135°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝135°﹣90°＝45°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°；
（2）∠ACB与∠DCE互补，理由如下：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．
23．（2022春•白水县期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB上一点，EF⊥BC于点F，点G是AC上一点，连接DG，且∠1＝∠2．求证：AB∥DG．
【解答】证明：∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠2，
∴AB∥DG．
24．（2022春•新罗区期中）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+50°，∠CBD＝80°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD＝∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+50°，∠CBD＝80°，
∴∠3+50°+80°+∠3＝180°，
∴∠3＝25°，
由（1）得：AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°
25.（2022春•东莞市期中）如图，已知AC平分∠BAD，且∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若AC⊥CB，∠D＝120°，求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠D＝120°，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝30°，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∴∠B＝60°．
26.（2022春•昭平县期末）如图，∠DAC+∠ACB＝180°，CE平分∠BCF，∠FEC＝∠FCE，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝28°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）试求∠DAC、∠FEC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠DAC+∠ACB＝180°，
∴BC∥AD，
∵CE平分∠BCF，
∴∠ECB＝∠FCE，
∵∠FEC＝∠FCE，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴BC∥EF，
∴AD∥EF；
（2）解：设∠BCE＝∠FCE＝x，
则∠BCF＝2∠FCE＝2x，∠DAC＝3∠BCF＝3×∠FCE＝3×2x＝6x，
依题意得：6x+x+x+28°＝180°
解得：x＝19°，
即∠FEC＝∠FCE＝19°，
∴∠DAC＝6x＝6×19°＝114°．
答：∠DAC的度数为114°，∠FEC的度数为19°．
27．（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．
（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．
【解答】（1）证明：∵∠D+∠AED＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DGF＝∠EFG，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠DGF＝∠C，
∴CE∥GF，
∵∠CED＝75°，
∴∠DHG＝75°，
∴∠FHD＝105°．
28．（2022春•江城区期中）如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：（1）∠2＝∠CBD；
（2）MD∥BC．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，
∴∠2＝∠CBD；
（2）∵∠1＝∠2，∠2＝∠CBD，
∴∠1＝∠CBD，
∴GF∥BC，
∵∠AMD＝∠AGF，
∴GF∥MD，
∴MD∥BC．
29．（2022春•老河口市月考）如图，∠B+∠BCD＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠4＝∠BAE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD，
∴∠4＝∠CAD，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠CAD．
∴AD∥BE．
30．（2022春•双流区校级期中）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．
（1）求证：AE⊥CE；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
【解答】证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF，
∴∠2＝BEF，∠3＝DEF，
∵∠BEF+∠DEF＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥CE；
（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，
∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，
∴AB∥CD．
31．（2022春•二七区校级月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的性质），
所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（ 角平分线的性质），
因为FG平分∠AGC，所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行）．
32．（2022•青山区模拟）如图，E在四边形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于F，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠3＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠3，
∴AB∥CD．
33．（2022秋•驻马店期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
【解答】（1）解：∵∠A＝78°，∠A＝∠D，
∴∠D＝78°，
∵∠C＝47°，
∴∠BFD＝∠D+∠C＝78°+47°＝125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD＝180°，∠CFD+∠BFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠A＝∠D，
∴（180°﹣∠A﹣∠B）+（∠C+∠D）＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
34．（2022春•青羊区校级月考）如图，∠4+∠ADC＝180°，且∠1＝∠2，说明DG∥AB的理由．
【解答】解：∵∠4+∠ADC＝180°，∠4+∠5＝180° （平角定义），
∴∠5＝∠ADC，
∴EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴DG∥AB．
35．（2021秋•商河县期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且∠ECD＝∠EDC．求证：DE∥AC．
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
∵∠ECD＝∠EDC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴DE∥AC．
真题再现
1．（2021秋•社旗县期末）〖我阅读〗
“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．
〖我会做〗
填空（理由或数学式）
已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．
求证：AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠E （ ）
∴ （ ）
∴ +∠2＝180° （ ）
∵∠B＝
∴ + ＝180°
∴AB∥CD （ ）
2．（2022春•邛崃市期中）如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，求证：CE∥DF．请完成下面的解题过程．
解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC＝∠ ，∠ECB＝∠ （角平分线的定义）
又∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠ ＝∠ ．
又∵∠ ＝∠ （已知）
∴∠F＝∠
∴CE∥DF ．
3．（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ ）
又∵∠1＝∠B（ ）
∴ （ ）
∴∠AFB＝∠AOE（ ）
∴∠AFB＝90°（ ）
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝ （平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
4．（2022春•龙凤区校级期末）已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．
（1）填空：∠2和∠D可用关系式表示为 ；∠1与∠D有怎样的关系式： ；
（2）求证：AB∥CD．
5．（2022春•巩义市期末）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，∠1与∠2互补，∠A＝∠C，求证：AD∥BC．
证明：∵∠1＝∠DGH（ ），
又∵∠1+∠2＝180°（补角的定义），
∴∠DGH+∠2＝180°（等量代换），
∴（ ）（ ），
∴∠A＝∠EDG（ ），
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠EDG＝∠C（等量代换），
∴AD∥BC（ ）．
6．（2022春•扎赉特旗校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以 （ ）．
7.（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠ ＝90° （ ），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝ （ ），
即∠ +∠B＝180°，
∴AD∥BC （ ）．
8．（2022春•龙岗区期末）填空并完成以下证明：
已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
证明：FH⊥AB（已知）
∴∠BHF＝ ．
∵∠1＝∠ACB（已知）
∴DE∥BC（ ）
∴∠2＝ ．（ ）
∵∠2＝∠3（已知）
∴∠3＝ ．（ ）
∴CD∥FH（ ）
∴∠BDC＝∠BHF＝ ．°（ ）
∴CD⊥AB．
9．（2022春•岳池县期末）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）
∴∠4＝60°（ ）
又∵∠1＝60°（ ）
∴∠1＝∠4（ ）
∴AB∥CD（ ）
10.（2022春•韩城市期末）如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，
求证：DF∥EA．
11．（2021秋•绥德县期末）如图，点E、F分别是AB、CD上的点，连接BD、AD、EC、BF，AD分别交CE、BF于点G、H，若∠DHF＝∠AGE，∠ABF＝∠C，求证：AB∥CD．
12．（2022春•汉阳区校级月考）如图，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF交CD于点G．若∠1+2∠2＝180°，求证：AB∥CD．
13．（2021秋•遂川县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．
14．（2021秋•神木市期末）如图，∠1＝40°，∠2＝140°，∠C＝∠D，求证：AC∥DF．
15．（2022秋•北京期中）如图，已知∠1＝75°，∠2＝35°，∠3＝40°，求证：a∥b．
16．（2022春•藁城区校级月考）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．求证：AB∥CD．
17．（2022春•新城区校级期中）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．
（1）求∠BOF的度数；
（2）试说明AB∥CD的理由．
18．（2022春•普兰店区期中）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，证明：AB∥EF．
19．（2021•齐河县校级开学）如图，已知∠C＝∠1，∠1和∠D互余，∠2和∠D互余．求证：AB∥CD．
20．（2022春•绥江县期中）如图，已知∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．
21．（2022春•仙游县校级期末）已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．
求证：AB∥CD．
22．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
23．（2022春•白水县期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB上一点，EF⊥BC于点F，点G是AC上一点，连接DG，且∠1＝∠2．求证：AB∥DG．
24．（2022春•新罗区期中）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+50°，∠CBD＝80°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
25.（2022春•东莞市期中）如图，已知AC平分∠BAD，且∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若AC⊥CB，∠D＝120°，求∠B的度数．
26.（2022春•昭平县期末）如图，∠DAC+∠ACB＝180°，CE平分∠BCF，∠FEC＝∠FCE，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝28°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）试求∠DAC、∠FEC的度数．
27．（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．
（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．
28．（2022春•江城区期中）如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：（1）∠2＝∠CBD；
（2）MD∥BC．
29．（2022春•老河口市月考）如图，∠B+∠BCD＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．
30．（2022春•双流区校级期中）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．
（1）求证：AE⊥CE；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
31．（2022春•二七区校级月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
32．（2022•青山区模拟）如图，E在四边形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于F，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，求证：AB∥CD．
33．（2022秋•驻马店期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
34．（2022春•青羊区校级月考）如图，∠4+∠ADC＝180°，且∠1＝∠2，说明DG∥AB的理由．
35．（2021秋•商河县期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且∠ECD＝∠EDC．求证：DE∥AC．
专题04 平行线判定与性质常考解答题
真题再现
1．（2021秋•社旗县期末）〖我阅读〗
“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．
〖我会做〗
填空（理由或数学式）
已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．
求证：AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠E （ ）
∴ AD∥BC （ ）
∴ +∠2＝180° （ ）
∵∠B＝
∴ + ＝180°
∴AB∥CD （ ）
【解答】证明：∵∠1＝∠E （已知），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D+∠2＝180° （两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B＝∠D，
∴∠B+∠2＝180°，
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知，AD∥BC，内错角相等，两直线平行，∠D，两直线平行，同旁内角互补，∠D，∠B，∠2，同旁内角互补，两直线平行．
2．（2022春•邛崃市期中）如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，求证：CE∥DF．请完成下面的解题过程．
解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC＝∠ ，∠ECB＝∠ （角平分线的定义）
又∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠ ＝∠ ．
又∵∠ ＝∠ （已知）
∴∠F＝∠
∴CE∥DF ．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB （ 已知 ），
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB（ 角平分线的定义）．
又∵∠ABC＝∠ACB （已知），
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠F＝∠ECB（等量代换），
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：ABC；ACB；DBC；ECB；DBF；F；ECB；同位角相等，两直线平行．
3．（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ ）
又∵∠1＝∠B（ ）
∴ （ ）
∴∠AFB＝∠AOE（ ）
∴∠AFB＝90°（ ）
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝ （平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝（90）°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．
4．（2022春•龙凤区校级期末）已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．
（1）填空：∠2和∠D可用关系式表示为 ；∠1与∠D有怎样的关系式： ；
（2）求证：AB∥CD．
【解答】（1）解：∵∠2和∠D互余，
∴∠2+∠D＝90°，
∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∵∠1+∠D＝90°，
故答案为：∠2+∠D＝90°；∠1+∠D＝90°；
（2）证明：∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∴∠1+∠D＝90°，
又∵∠2和∠D互余，
∴∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
5．（2022春•巩义市期末）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，∠1与∠2互补，∠A＝∠C，求证：AD∥BC．
证明：∵∠1＝∠DGH（ ），
又∵∠1+∠2＝180°（补角的定义），
∴∠DGH+∠2＝180°（等量代换），
∴（ ）（ ），
∴∠A＝∠EDG（ ），
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠EDG＝∠C（等量代换），
∴AD∥BC（ ）．
【解答】证明：∵∠1＝∠DGH（对顶角相等），
又∵∠1+∠2＝180°（补角的定义），
∴∠DGH+∠2＝180°（等量代换），
∴CD∥AB（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠EDG（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠EDG＝∠C（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等，CD∥AB，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行．
6．（2022春•扎赉特旗校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以 （ ）．
【解答】解：∵∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（平角的定义），
∴∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）．
∵EA平分∠BAG，
∴∠1＝∠BAG（角平分线的定义）．
∵FG平分∠AGC，
∴∠2＝∠AGC，
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．
7.（2021秋•杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．
证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠ ＝90° （ ），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝ （ ），
即∠ +∠B＝180°，
∴AD∥BC （ ）．
【解答】解：证明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC＝90° （垂直的定义），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系），
即∠BAD+∠B＝180°，
∴AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补，两直线平行．
8．（2022春•龙岗区期末）填空并完成以下证明：
已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
证明：FH⊥AB（已知）
∴∠BHF＝ ．
∵∠1＝∠ACB（已知）
∴DE∥BC（ ）
∴∠2＝ ．（ ）
∵∠2＝∠3（已知）
∴∠3＝ ．（ ）
∴CD∥FH（ ）
∴∠BDC＝∠BHF＝ ．°（ ）
∴CD⊥AB．
【解答】证明：FH⊥AB（已知），
∴∠BHF＝90°．
∵∠1＝∠ACB（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠BCD（等量代换），
∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）
∴CD⊥AB．
故答案为：90°；同位角相等，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠BCD；等量代换；同位角相等，两直线平行；90；两直线平行，同位角相等．
9．（2022春•岳池县期末）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）
∴∠4＝60°（ ）
又∵∠1＝60°（ ）
∴∠1＝∠4（ ）
∴AB∥CD（ ）
【解答】证明：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义），
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°，
∴∠4＝60°（对顶角相等），
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：已知；垂直定义；已知；60°；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
10.（2022春•韩城市期末）如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，
求证：DF∥EA．
【解答】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠CDA＝∠BAD＝90°．
∴∠1+∠ADF＝∠2+∠DAE．
∵∠1＝∠2，
∴∠ADF＝∠DAE．
∴DF∥EA
11．（2021秋•绥德县期末）如图，点E、F分别是AB、CD上的点，连接BD、AD、EC、BF，AD分别交CE、BF于点G、H，若∠DHF＝∠AGE，∠ABF＝∠C，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠DHF＝∠AHB，∠DHF＝∠AGE，
∴∠AHB＝∠AGE，
∴BH∥EC，
∴∠ABF＝∠AEG，
∴∠ABF＝∠C，
∴∠AEG＝∠C，
∴AB∥CD．
12．（2022春•汉阳区校级月考）如图，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF交CD于点G．若∠1+2∠2＝180°，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵EG平分∠AEF交CD于点G，
∴∠AEG＝∠GEF．
∠1+2∠2＝180°，∠1+2∠AEG＝180°，
∴∠2＝∠AEG，
∴AB∥CD．
13．（2021秋•遂川县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，
∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义），
∵∠2＝60°，（已知），
∴∠2＝∠ACD（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．
14．（2021秋•神木市期末）如图，∠1＝40°，∠2＝140°，∠C＝∠D，求证：AC∥DF．
【解答】证明：∵∠1＝40°，∠2＝140°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴BD∥CE，
∴∠D＝∠CEF，
∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠C，
∴AC∥DF．
15．（2022秋•北京期中）如图，已知∠1＝75°，∠2＝35°，∠3＝40°，求证：a∥b．
【解答】证明：∵∠4是∠2，∠3所在三角形的外角，
∴∠4＝∠3+∠2＝75°，
又∵∠1＝75°，
∴∠1＝∠4，
∴a∥b．
16．（2022春•藁城区校级月考）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD．
17．（2022春•新城区校级期中）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．
（1）求∠BOF的度数；
（2）试说明AB∥CD的理由．
【解答】解：（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOE＝∠AOC＝∠COE，∠2＝∠BOE＝∠DOE，
∵∠COE+∠DOE＝180°，
∴∠2+∠AOC＝90°，
∵∠COE＝∠3，
∴∠AOC＝∠3，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2：∠3＝2：5，
∴∠3＝∠2，
∴∠2+×∠2＝90°，
∴∠2＝40°，
∴∠3＝100°，
∴∠BOF＝∠2+∠3＝140°；
（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠AOC＝90°，
∴∠1＝∠AOC，
∴AB∥CD．
18．（2022春•普兰店区期中）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，证明：AB∥EF．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
∵∠3+∠4＝180°，
∴CD∥EF．
∴AB∥EF．
19．（2021•齐河县校级开学）如图，已知∠C＝∠1，∠1和∠D互余，∠2和∠D互余．求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1和∠D互余，∠2和∠D互余，
∴∠1+∠D＝90°，∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
20．（2022春•绥江县期中）如图，已知∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴EF∥CD，
∴∠3＝∠4，
∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，
∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4，
∴∠AED＝∠ACB，
∴BC∥DE．
21．（2022春•仙游县校级期末）已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．
求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1＝∠2＝∠E，
∴AD∥BE，∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠3，
∴∠3＝∠BAE，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠BAE，
∴AB∥CD．
22．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝50°，
∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°+50°＝140°，
故答案为：140°；
②∵∠ACB＝135°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝135°﹣90°＝45°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°；
（2）∠ACB与∠DCE互补，理由如下：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．
23．（2022春•白水县期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB上一点，EF⊥BC于点F，点G是AC上一点，连接DG，且∠1＝∠2．求证：AB∥DG．
【解答】证明：∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠2，
∴AB∥DG．
24．（2022春•新罗区期中）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+50°，∠CBD＝80°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD＝∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+50°，∠CBD＝80°，
∴∠3+50°+80°+∠3＝180°，
∴∠3＝25°，
由（1）得：AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°
25.（2022春•东莞市期中）如图，已知AC平分∠BAD，且∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD．
（2）若AC⊥CB，∠D＝120°，求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠D＝120°，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝30°，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝120°，
∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∴∠B＝60°．
26.（2022春•昭平县期末）如图，∠DAC+∠ACB＝180°，CE平分∠BCF，∠FEC＝∠FCE，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝28°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）试求∠DAC、∠FEC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠DAC+∠ACB＝180°，
∴BC∥AD，
∵CE平分∠BCF，
∴∠ECB＝∠FCE，
∵∠FEC＝∠FCE，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴BC∥EF，
∴AD∥EF；
（2）解：设∠BCE＝∠FCE＝x，
则∠BCF＝2∠FCE＝2x，∠DAC＝3∠BCF＝3×∠FCE＝3×2x＝6x，
依题意得：6x+x+x+28°＝180°
解得：x＝19°，
即∠FEC＝∠FCE＝19°，
∴∠DAC＝6x＝6×19°＝114°．
答：∠DAC的度数为114°，∠FEC的度数为19°．
27．（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．
（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．
【解答】（1）证明：∵∠D+∠AED＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DGF＝∠EFG，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠DGF＝∠C，
∴CE∥GF，
∵∠CED＝75°，
∴∠DHG＝75°，
∴∠FHD＝105°．
28．（2022春•江城区期中）如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：（1）∠2＝∠CBD；
（2）MD∥BC．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，
∴∠2＝∠CBD；
（2）∵∠1＝∠2，∠2＝∠CBD，
∴∠1＝∠CBD，
∴GF∥BC，
∵∠AMD＝∠AGF，
∴GF∥MD，
∴MD∥BC．
29．（2022春•老河口市月考）如图，∠B+∠BCD＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠4＝∠BAE，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD，
∴∠4＝∠CAD，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠CAD．
∴AD∥BE．
30．（2022春•双流区校级期中）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．
（1）求证：AE⊥CE；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
【解答】证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF，
∴∠2＝BEF，∠3＝DEF，
∵∠BEF+∠DEF＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥CE；
（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，
∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，
∴AB∥CD．
31．（2022春•二七区校级月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的性质），
所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（ 角平分线的性质），
因为FG平分∠AGC，所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行）．
32．（2022•青山区模拟）如图，E在四边形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于F，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠3＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠3，
∴AB∥CD．
33．（2022秋•驻马店期末）如图，B，F，E，C在同一条直线上，∠A＝∠D．
（1）若∠A＝78°，∠C＝47°，求∠BFD的度数．
（2）若∠AEB+∠BFD＝180°，求证：AB∥CD．
【解答】（1）解：∵∠A＝78°，∠A＝∠D，
∴∠D＝78°，
∵∠C＝47°，
∴∠BFD＝∠D+∠C＝78°+47°＝125°；
（2）证明：∵∠AEB+∠BFD＝180°，∠CFD+∠BFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵∠A＝∠D，
∴（180°﹣∠A﹣∠B）+（∠C+∠D）＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
34．（2022春•青羊区校级月考）如图，∠4+∠ADC＝180°，且∠1＝∠2，说明DG∥AB的理由．
【解答】解：∵∠4+∠ADC＝180°，∠4+∠5＝180° （平角定义），
∴∠5＝∠ADC，
∴EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
∴DG∥AB．
35．（2021秋•商河县期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且∠ECD＝∠EDC．求证：DE∥AC．
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
∵∠ECD＝∠EDC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴DE∥AC．
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