高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题11.6   离散型随机变量的均值与方差

1．（2021·全国·高二课时练习）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为，已知他投篮一次得分的均值为2（不计其他得分情况），则ab的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题设可得，结合基本不等式即可求ab的最大值，注意等号成立条件.

【详解】

由题意，得，即，

∴，则，当且仅当时取得等号，

∴ab的最大值为.

故选：D

2．（2021·浙江·模拟预测）已知随机变量的分布列如下：

则的最大值为（    ）

A． B．3

C．6 D．5

【答案】C

【分析】

根据概率和为1得到，再计算，得到，，计算最值得到答案.

【详解】

，只需求的最大值即可，根据题意：，，，

所以，

当时，其最大值为，故的最大值为．

故选：C.

3．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（    ）

A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大

【答案】A

【分析】

由分布列的性质求得，再求、关于的表达式，由及得到关于的二次函数，即可判断的单调性.

【详解】

由分布列的性质：，可得，

∴，，

∴，

又，

∴在上增大时，增大.

故选：A

4．（2021·浙江·高三期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则_______，_______．

【答案】1    1   

【分析】

根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，进而求出和，根据计算即可.

【详解】

解：的所有可能取值为0，1，2，3．

；

；

；

．

得，

所以，

所以．

故答案为：1；1

5．（2021·全国·高二课时练习）已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求．

【答案】

【分析】

利用离散型随机变量期望及方差公式即得.

【详解】

∵随机变量X服从参数为p的两点分布，

∴，

所以．

6.（2021·全国·高二学业考试）阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏省苏州市，蟹身青壳白肚，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：

（1）估计该批大闸蟹有______只；（结果保留整数）；

（2）某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]内的大闸蟹数量为X，则______.

【答案】446

【分析】

（1）由频率直方表求大闸蟹的平均重量，进而求100千克的阳澄湖大闸蟹大概数量.

（2）由题设有X的范围是{0，1，2，3}，进而求其分布列，根据分布列求期望即可.

【详解】

7．（2021·全国·高二课时练习）医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．

（1）求出，；

（2）已知人体体温为时，相当于，求，．

【答案】

（1）38.4，0.64.

（2）101.12，2.0736.

【分析】

（1）利用期望及方差公式即求；

（2）由可得,即求.

（1）

由题可得，

.

（2）

由可知，，

.

8．（2021·全国·高二课时练习）一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品会亏损20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，求这台机器每生产一件产品的平均预期收入．

【答案】37元.

【分析】

根据已知条件，可设这台机器每生产一件产品可获利，且得出的可能值和对应的概率，根据离散型随机变量直接求出数学期望，即可得出这台机器每生产一件产品的平均预期收入.

【详解】

解：由题可知，一台机器生产甲等品、乙等品和次品分别获利50元，30元和-20元，

这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，

可设这台机器每生产一件产品可获利，则的可能值为50，30，-20，

则，，，

所以台机器每生产一件产品的平均预期收入为：

（元）.

9．（2021·全国·高一课时练习）甲、乙两台半自动车床加工同一型号的产品，各生产1000只产品中次品数分别用x和y表示.经过一段时间的观察，发现x和y的频率分布如下表，问：哪一台车床的产品质量较好？

【答案】乙比甲质量好

【分析】

利用数学期望计算公式可得比较其大小即可得得出结论.

【详解】

由表格可得：

，即乙比甲质量好.

10．（2021·全国·高二课时练习）若离散型随机变量X的概率分布是，其中，求证：．

【答案】详见解析.

【分析】

利用离散型随机变量X的概率分布的性质及期望公式即得.

【详解】

1．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）甲盒中装有3个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出（）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】

分别就，2，3计算概率得出数学期望，憨厚逐一分析各选项即可得出结论．

【详解】

解：X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中的红球数，

当时，则，

，

，

∴，

，故A正确，C正确；

当时，，

，

，

∴，

，故B正确；

当时，，

，

，

∴，

∴，故D错误.

故选：ABC.

2．（2021·广东·高三月考）已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．

（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；

（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．

【答案】

（1）分布列见解析；

（2）应从情境开始第一关，理由见解析.

【分析】

（1）确定所有可能的取值，并求出对应的概率，从而得到分布列；

（2）分别求得从两个情境开始的得分期望值，根据大小关系可得结论.

（1）

由题意知：所有可能的取值为，，，

；；，

的分布列为：

（2）由（1）得：从情境开始第一关，则；

若从情境开始第一关，记为经验值累计得分，则所有可能的取值为，，，

；；，

；

，应从情境开始第一关.

3．（2021·全国·高二课时练习）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：

方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．

方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则检查剩下的2只动物中1只动物的血液．分析哪种化验方案更好．

【答案】方案乙更好.

【分析】

用，分别表示两个方案所需化验的次数，通过比较的大小即得.

【详解】

用表示方案甲所需化验的次数，则可取1,2,3,4，

∴；

用表示方案乙所需化验的次数，则可取2,3

若，有两种可能：

先化验3只结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好一次验中的概率为，

先化验3只结果为阴性，再从其余2只中取1只化验的概率为，

故，

若，只有一种可能：先化验3只结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好两次验出时的概率为，

∴，

∴，

故方案乙更好.

4．（2021·全国·模拟预测）2021年7月24日，中国选手杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，为中国代表团揽入本界奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织200名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击技能分数（单位：分），将所得数据分成7组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数；

（2）从样本中射击技能分数在的射击爱好者中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进一步进行射击训练，记抽取的3人中射击技能分数不低于70分的人数为X，求X的分布列与数学期望.

【答案】

（1）

（2）分布列答案见解析，数学期望：

【分析】

（1）先根据频率分布直方图得到射击技能分数低于60分的频率，然后可得射击技能分数低于60分的人数；

（2）根据频率分布直方图及分层抽样的知识得到抽取的8人中射击技能分数不低于70分的人数和射击技能分数低于70分的人数，然后写出X的所有可能取值，根据超几何分布的概率公式分别求出各个取值对应的概率，最后可得分布列和数学期望.

（1）

由频率分布直方图可知，射击技能分数低于60分的频率为，所以这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数为.

（2）

由频率分布直方图可知，射击技能分数在，，的频率分别为0.2，0.4，0.2，

由分层抽样的知识知抽取的8名射击爱好者中，射击技能分数不低于70分的人数为，则射击技能分数低于70分的人数为.

所以X的所有可能取值为1，2，3，

 ；；；

X的分布列为

所以.

5．（2021·福建省福州外国语学校高三月考）某单位组织外出参加公差的12位职工在返回岗位前先让他们进行体检普查某病毒，费用全部由单位承担，假定这12名职工的血液中每个人都不含有病毒（结果呈阴性）的概率都为p，若对每一个人的血样都进行检查，则每一个人都要耗费比较高的一份化验费，经过合理的分析后，提出一份改进方案：先将每一个人的血样各取出一部分，k个人为一组混合后再化验，如果结果都呈阴性，则k个人同时通过，每个人平均化验了次，如果呈阳性再将k个人的血样分别化验，以找出血样中含病毒者，这样每个人化验（1+）次.

（1）当p=时且采用改进方案时取k=2，求此时每位职工化验次数X的分布列

（2）当k=3时，求采用改进方案能达到节约化验费目的，且此时满足条件的p的取值范围

【答案】

（1）详见解析

（2）

【分析】

（1）由题意可知X的可能取值为,，分别求出对应的概率，即得；

（2）当k=3时，设采用改进方案检验次数为Y，则Y可取1,4，可取其期望，列不等式即可解.

（1）

由题意可得，X的可能取值为,，则

，

故X的分布列为：

（2）当k=3时，采用改进方案进行检验，设检验的次数为Y,则Y的可能取值为1,4，

，

，

采用改进方案能达到节约化验费目的，则，解得，

故p的取值范围为.

6.（2020·山西应县一中高二期中（理））甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表

 乙公司送餐员送餐单数频数表

（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；

（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：

①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；

②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】

（1）记抽取的天送餐单数都不小于40为事件，则.

（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，

则当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.

所以的所有可能取值为228，234，240，247，254.故的分布列为：

所以

②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为

所以甲公司送餐员日平均工资为元.

由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为，故推荐小王去乙公司应聘.

7．（2021·湖南·高三月考）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：

对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.

（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.

（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.

【答案】

（1）证明见解析

（2）建议单位选择方案二

【分析】

（1）求得个工种对应职工的每份保单保险公司的收益的期望值，然后结合职工类别的频率以及“每年收益的期望不低于保费的”列不等式，由此证得.

（2）分别求得两种方案单位总支出的期望值，由此作出选择.

（1）

设工种，，对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，，（单位：元），则，，的分布列分别为

，

，

.

所以

，

整理得.

（2）

方案一：单位不与保险公司合作，则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为

（元）.

方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为

（元）.

因为，所以建议单位选择方案二.

8．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为 .现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记.

（1）请将列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关?

（2）为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验（随机抽取且不放回）.设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二等品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望.

参考公式：.

【答案】

（1）答案见解析；

（2）分布列见解析，数学期望为2.

【分析】

（1）分析题意完成2×2列联表,直接套公式求出，对照参数下结论；

（2）直接求出概率，写出分布列，套公式求出数学期望.

（1）

由题意可得，一共抽样50个，产量之比为 ，按分层抽样抽取，故甲生产线抽取，乙生产线抽取，故甲生产线抽取一等品40-2=38，乙生产线抽取二等品10-7=3，填表如下：

所以，

故有97.5％把握认为产品的等级差异与生产线有关

（2）

依题意得，检验顺序的所有可能为甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10种可能.

的所有可能取值为：0，1，2，3.

故，，，，

则的分布列为：

所以

9．（2021·全国·高二课时练习）假设在A军与B军的某次战役中，A军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；B军有8位将领，善用骑兵的将领有4人.

（1）现从A军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；

（2）在A军和B军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的分布列，并求.

【答案】

（1）

（2）分布列见解析，

【分析】

（1）利用对立事件来求得“至多有3名是善用骑兵的将领的概率”.

（2）结合古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得.

（1）

若从A军将领中随机选取4名将领，则有4名是善用骑兵的将领的概率为，故从A军将领中随机选取4名将领，至多有3名是善用骑兵的将领的概率为.

（2）

由题意知，则：

，

，

，，

，

所以X的分布列为：

.

10．（2021·北京通州·高三期中）某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：

以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元） 表示下个销售周期两个市场的销售总利润．

（1）求变量概率分布列；

（2）当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；

（3）以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．

【答案】

（1）分布列见解析

（2），

（3）应选

【分析】

（1）根据题意，列出所有可能的取值，结合频数图象求出相应的概率，即可求解；

（2）根据题意，结合已知数据和（1）中的分布列，即可求解；

（3）根据题意，分别列出与的分布列，求出相应的期望值，即可判断.

（1）

设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得

，，；

，，．

设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得

所有可能的取值为16，17，18，19，20，且    ，

，

，

，

．

所以的分布列如下表．

（2）由题意得，当时，，

当时，．

所以  

设“销售利润不少于8900元”，则

当时，，

当时, ，解得．

由（1）中的分布列可知，．

（3）

由（1）知，，.

当时,的分布列为：

所以；

当时，的分布列为：

所以.

因为，所以应选.

1．（2020·全国高考真题（文））设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（    ）

A．0.01 B．0.1 C．1 D．10

【答案】C

【解析】

因为数据的方差是数据的方差的倍，

所以所求数据方差为

故选：C

2．（2020·全国高考真题（理））在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

对于A选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于B选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于C选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于D选项，该组数据的平均数为，

方差为.

因此，B选项这一组的标准差最大.

故选：B.

3.（2020·浙江省高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．

【答案】       

【解析】

因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以，

随机变量，

，

，

所以.

故答案为：.

4. （2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）类．

【分析】

（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．

【详解】

（1）由题可知，的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以的分布列为

（2）由（1）知，．

若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以．

因为，所以小明应选择先回答类问题．

5.（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E(X).

(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)

【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．

【分析】

（1）①由题设条件还原情境，即可得解；

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.

【详解】

（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；

所以总检测次数为20次；

②由题意，可以取20，30，

，，

则的分布列:

所以；

（2）由题意，可以取25，30，

两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，

则.

6．（2020·江苏省高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．

（1）求p1·q1和p2·q2；

（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1），

，

.

（2），

，

因此，

从而，

即.

又的分布列为

故.