高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质精品精练

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§3  抛物线

3.2  抛物线的简单几何性质

1.已知点F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

A．             B．            C．              D．1

2.抛物线y＝12x2上的点到焦点F的距离的最小值为(　　)

A．3             B．6            C．             D．

3.抛物线x2＝2py（p>0）与椭圆+＝1交于A，B两点，若△AOB的面积为（其中O为坐标原点），则p＝（　）

A. 2             B. 3             C. 4              D. 6

4.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，点M为圆O：x2+y2＝12与C的一个交点，且|MF|＝3，则C的标准方程是（　）

A. y2＝2x         B. y2＝3x         C. y2＝4x         D. y2＝6x

5.[多选题]设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角可能是(　　)

A．             B．              C．            D．

6.如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+xn＝20，则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|＝ （　）

A. n+10          B. n+20           C. 2n+10          D. 2n+20

7.点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（　）

A. x2＝y                          B. x2＝y或x2＝-y

C. x2＝-y                         D. x2＝12y或x2＝-36y

8.已知圆C： +y2＝p2（p>0），若抛物线E：y2＝2px与圆C的交点为A，B，且sin∠ABC＝，则p＝（　）

A. 6             B. 4              C. 3               D. 2

9.一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形如抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）.已知接收天线的口径（直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为（　）

A. m           B. m           C. m            D. m

10.［多选题］设A，B是抛物线x2＝y上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的有 （　）

A.若OA⊥OB，则|OA||OB|≥2

B.若OA⊥OB，则直线AB过定点（1，0）

C.若OA⊥OB，则点O到直线AB的距离不大于1

D.若直线AB过抛物线的焦点F，且|AF|＝，则|BF|＝1

11.线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．

12.已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p>0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O 是AC的中点，则p的值等于　　　　.

13.已知抛物线y＝x2上距离点A（0，a）（a>0）最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是　　　　.

14.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为　　　　.

15.河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱桥拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高为0.75 m，问：水面上涨到与抛物线型拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？

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§3  抛物线

3.2  抛物线的简单几何性质

参考答案

1.B    2.C     3.B     4.C     5.AC     6.B     7.D     8.D     9.A     10.ACD

11. 　    12.     13.（0，1]    14.36

15.解：如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.

设抛物线方程为x2＝-2py（p>0），

由题意可知，点B（4，-5）在抛物线上，故p＝，得x2＝-y.

当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航.

设此时船面宽为AA′，则A（2，yA），由22＝-yA，得yA＝-.

又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|+0.75＝2（m）.

所以水面上涨到与抛物线型拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.