北师大版七年级下册4 平行线的性质精品练习

第五讲        平行线的判定与性质

◎名人引言

事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已. 又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣.

------刘徽

◎知识梳理

一、同位角、内错角与同旁内角

1. 同位角

如图，具有和这样位置关系的角称为同位角.

图中的同位角还有____________________.

2. 内错角

如图，具有和这样位置关系的角称为内错角.

图中的内错角还有_____________.

3. 同旁内角

如图，具有和这样位置关系的角称为同旁内角.

图中的同旁内角还有_____________.

二、平行线的判定方法

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，“平行”用符号“∥”表示. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

1. 根据定义判定.

2. 三个判定定理

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么

这两条直线平行. 简称为：_________________________.

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么

这两条直线平行. 简称为：_________________________.

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么

这两条直线平行. 简称为：_________________________.

3. 平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线_______.

4. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么________________.

三、平行线的性质

1. 平行线的性质1

两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，

简称为：_______________________.

2. 平行线的性质2

两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，

简称为：_______________________.

3. 平行线的性质3

两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，

简称为：___________________________.

平行线的判定是由角的数量关系来判定出两直线平行的位置关系，而平行线的性质是由两直线平行的位置关系得出角的数量关系. 由此可知平行线判定的三个条件与三条性质是互逆的.

在同一问题的推理或求解中，往往既要利用性质又要用到判定. 常常是由性质得到结论又当着判定的条件用，反之亦然.

◎例题精讲

 例题1 如图，请你指出在，，，，，这六个角中，

哪几对角是同位角？哪几对角是内错角？哪几对角是同旁内角？

 例题2 如图，直线，都与直线相交，

下列条件能推出∥的是___________.（填序号）

①；②；③；④.

 例题3 给下列证明过程填写理由:

如图，已知AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点C, ∠1=∠2，

求证：BE∥CF.

证明：∵AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点C（______），

∴∠1+∠3=90°，          

∠2+∠4=90°（               ），

∠1与∠3互余，∠2与∠4互余（               ）.

    又∵∠1=∠2（______），

∴      =      （                    ）；

∴BE∥CF（___________________________）.

 例题4 如图，直线，，被直线所截，，，，

说明∥的理由. 根据下面的推理填空：

解：∵ ，（______），

∴ ，

∴_____∥______（_________________________）.

∵ ，∴ ，

∴ ∥（__________________________）.

∵ ∥， ∥（______），

∴ ∥（________________________________）.

 例题5 如图，平分，平分,，

你能判断∥吗？请说明理由.

例题6 （1）如图①，直线∥，是的平分线，，则的度数是______.

（2）如图②，∥，与、分别相交于点、，，与的平分线相交于点，且，求的度数.

例题7  如图所示，把一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置上，与的交点为点. 若, 求与的度数.

 例题8 如图，已知，，平分，

试说明：平分.

◎夯实基础

1. 如图，直线,被直线所截，下列判断中不正确的是（    ）

               和是同旁内角

和是内错角       和是同位角

2. 如图所示，下列说法中正确的是（    ）

和是内错角  

和是对顶角 

和是同旁内角 

和是同位角

3. 如图，其中内错角的对数是（    ）

5对       4对       3对       2对

4. 如图，点在延长线上，下列条件中不能判定∥的是（　　）

5. 如图，∥，，，则的度数为（    ）

6. 如图，∥，平分，且，则的度数为（    ）

7. 如图所示，将长方形沿折叠. 点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于（    ）

8. 图中有_______对同位角，_______对内错角，_______对同旁内角.
9. 如图，直线，被直线所截，，

（1）当=______时，∥；

（2）当=______时，∥；

（3）当=______时，∥.

10. 如图，某人从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，则的度数是_______.

11. 如下图，若，，，则=______.
12. 如图所示，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点分别落在点处，交于点，若，则________.
13. 找出图中所有的同位角，内错角和同旁内角.

14. 如图，推理填空：

（1）（已知），

     _____∥______（_________________________）.

（2）（已知），

     _____∥______（_________________________）.

（3）______（已知），

     ∥（________________________________）.

15. 如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？请看图填空，并在括号内注明说理依据．

解：∵ ∠1＝35°，∠2＝35°（     ），

∴ ∠1＝∠2．

∴　  ∥　  （_____________________）．

又∵ AC⊥AE（已知），

∴ ∠EAC＝90°（　             ）.

∴ ∠EAB＝∠EAC +∠1＝125°．

同理可得，∠FBG＝∠FBD +∠2＝　   　°．

∴ ∠EAB＝∠FBG（　       　）．

∴ 　    ∥______（同位角相等，两直线平行）．

16. 如图，已知，三点在一条直线上，，

且是的平分线，试说明∥.

17. 如图，∥，∥，试判断与是否相等，并说明理由.

18. 如图，已知∥，，请判断直线与是否平行，

并说明理由.

19. 如下图，已知平分，，试说明：.

◎易错扫雷

对同位角的概念掌握不准确，导致识别时出现错误

1. 下列图形中，与不是同位角的是（    ）

不能准确识别截线和被截线，从而误判两直线平行

2. 如图，下列推理正确的有（    ）

①因为，所以∥；

②因为，所以∥；

③因为，所以∥；

④因为，所以∥；

1个      2个     3个     4个

混淆两角的位置关系，画不出图形而致错

3. 某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，则这两次拐弯的角度可能是（    ）

第一次左拐，第二次右拐      第一次右拐，第二次左拐

第一次右拐，第二次右拐      第一次左拐，第二次左拐

利用平行线的性质时易忽视两直线平行这一前提而出错

4. 已知与是同旁内角. 若，则的度数是（    ）

                  或        不能确定

画图考虑不周导致漏解

5. 如图，已知,请你再画一个，使∥，∥，且交边于点. 探究：与有怎样的数量关系？并说明理由.

◎能力拔高

1. 如图，已知,. 点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，.

（1）求的度数；

（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.

（3）当点运动到使时，的度数是_______.