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高中数学新教材必修第一册 第2章 习题课 不等式恒成立、能成立问题课件PPT
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高中数学新教材 同步课件（必修第一册）习题课 不等式恒成立、能成立问题第二章 一元二次函数、方程和不等式会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题.学习目标随堂演练课时对点练一、在R上的恒成立问题二、在给定区间上恒成立的问题三、解决简单的能成立问题内容索引一、在R上的恒成立问题例1 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.解 当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.综上，实数k的取值范围是{k|－10时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.(2)a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.跟踪训练2 若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是________.三、解决简单的能成立问题例3 当10有解，则实数m的取值范围为__________.{m|m>－5}解析 记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5.反思感悟 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}.1.知识清单：(1)在R上的恒成立问题.(2)给定区间上的恒成立问题.(3)解决简单的能成立问题.2.方法归纳：等价转换，数形结合.3.常见误区：要注意端点值的取舍.课堂小结随堂演练1234解析 不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，∴实数m的取值范围是－2≤m≤2.1.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是A.m≥2 B.m≤－2C.m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2√1234A.m≥2 B.00恒成立，则实数a的取值范围是A.a≥1 B.a>1C.a≤1 D.a<1解析 因为1≤x≤2，故x>0，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1.√1234－42} D.{m|－24}√解析 由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.123456789101112131415164.已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为A.{a|－1≤a≤4} B.{a|－13}C.{m|－44}√12345678910111213141516解得m>4或m<－1.123456789101112131415166.(多选)不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是A.a<1 B.a≤1C.a<2 D.a<0√√解析 因为ax2－2x＋1<0的解集非空，显然a≤0成立，综上，ax2－2x＋1<0的解集非空的充要条件为a<1.123456789101112131415167.若不等式x2＋(m－3)x＋m<0无解，则实数m的取值范围是________.1≤m≤9解析 x2＋(m－3)x＋m<0无解，Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9.123456789101112131415168.若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是____________.{k|－30，1234567891011121314151610.已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围.12345678910111213141516解 y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0.∵1≤m≤3，12345678910111213141516综合运用11.设p：“∀x∈R，x2－mx＋1>0”，q：“－2≤m≤2”，则p是q成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析 ∵∀x∈R，x2－mx＋1>0，∴Δ＝m2－4<0，∴－21成立，1234567891011121314151613.对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是A.a<－3 B.a<－4C.a<0 D.a>0√12345678910111213141516解析 因为x2－2x＋a<0，所以a<－x2＋2x，又因为－1≤x≤2，－x2＋2x＝－x(x－2)≥－3，所以a<－3，又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件”.所以C正确.1234567891011121314151614.若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为_________________.解析 令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，是关于a的函数，由题意得(x2＋x)－2x－2＞0或 (x2＋x)·3－2x－2＞0.即x2 －x－2＞0①，或3x2＋x－2＞0②. 拓广探究1234567891011121314151615.关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是________________.12345678910111213141516解析 当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1，若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立，若a＝－1，不等式为2x－1≤0，当a2－1≠0时，若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0，1234567891011121314151616.不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围.解 因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.即实数λ的取值范围为{λ|－8≤λ≤4}.
高中数学新教材 同步课件（必修第一册）习题课 不等式恒成立、能成立问题第二章 一元二次函数、方程和不等式会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题.学习目标随堂演练课时对点练一、在R上的恒成立问题二、在给定区间上恒成立的问题三、解决简单的能成立问题内容索引一、在R上的恒成立问题例1 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.解 当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.综上，实数k的取值范围是{k|－1
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