初中数学第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程导学案

专题1.9 一元二次方程根的判别式及根与系数关系（知识讲解）

【学习目标】

1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；

2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.

【要点梳理】

知识点一、一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式 

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.

要点诠释：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.

2. 一元二次方程根的判别式的逆用    

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根=0；

（3）方程没有实数根﹤0.

要点诠释：

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.

知识点二、一元二次方程的根与系数的关系   

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么，.

注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

    (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

    (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

    (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥；

⑦；

⑧；

⑨；

⑩．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程的两根为、，则

①当△≥0且时，两根同号．

当△≥0且，时，两根同为正数；

当△≥0且，时，两根同为负数．

②当△＞0且时，两根异号．

     当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．

要点诠释：

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；

（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．

【典型例题】

类型一、一元二次方程根的判别式的应用

1． 下列一元二次方程没有实数根的是（　　）

A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0

【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．

【答案】B．

【解析】

解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；

B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；

C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；

D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；

故选：B．

【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

举一反三：

 【变式】不解方程，判别方程根的情况： .                

【答案】无实根.

2． 关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　      　．

【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.

【答案】k＜2且k≠1；

【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，

∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，

解得：k＜2且k≠1．

故答案为：k＜2且k≠1．

【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.

举一反三：

 【变式】m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.

【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m2+10m+37=(m+5)2+12＞0，

        ∴关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.

类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用

3．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．

【思路点拨】

   根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．

【答案与解析】

方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，

得，，从而解得：，k＝-7．

    方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．

设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，

得，从而，

故方程的另一根为，k的值为-7．

【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值．

举一反三：

【变式】已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．
【答案】另一根为-1；的值为-3．　

4． 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

解：（1）△=（m+2）2﹣8m

=m2﹣4m+4

=（m﹣2）2，

∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，

∴△≥0，

∴方程总有实数根；

（2）解方程得，x=，

x1=，x2=1，

∵方程有两个不相等的正整数根，

∴m=1或2，m=2不合题意，

∴m=1．

【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．