2023年广东省广州市天河区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省广州市天河区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )

A. 长方体
B. 圆柱
C. 圆锥
D. 三棱柱

2.  下列图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  分式方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  点在一次函数的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  二次函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“”，“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要根小棒，搭两个小正方形需要根小棒，则搭个这样的小正方形需要小棒(    )
 

A. 根 B. 根 C. 根 D. 根

10.  如图，在正方形中，点在边上，且，连接，，平分，过点作于点，若正方形的边长为，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  的绝对值是        ．

12.  若是方程的一个根，则______．

13.  分解因式：______．

14.  如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接若，则的度数是       

15.  如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为        ．

16.  如图，中，，，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式：．

18.  本小题分
如图，点，，，在同一直线上，点和点分别位于直线的两侧，且，，求证：≌．

19.  本小题分
某校共有名学生，准备成立四个球类活动小组：篮球，足球，排球，羽毛球，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：
填空：本次调查中，抽查的学生总数是        ；扇形统计图中的值是        ；
补全条形统计图，并估计该校学生喜爱羽毛球的学生人数．

20.  本小题分
一辆客车从地出发前往地，平均速度千米小时与所用时间小时的函数关系如图所示，其中．
求与的函数关系式及的取值范围；
客车上午点从地出发客车需在当天点至点分含点与点分间到达地，求客车行驶速度的取值范围．

21.  本小题分
已知代数式．
化简；
若一个矩形两条对角线的长为的两根，求的值．

22.  本小题分
如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．
尺规作图：作劣弧的中点不写作法，保留作图痕迹
若与相切，求中作图得到的的度数．

23.  本小题分
北京时间年月日时分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为的励志条幅即小亮同学想知道条幅的底端到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼条幅方向前行到达点处楼底部点与点，在一条直线上，在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若，均为即四边形为矩形，请你帮助小亮计算条幅底端到地面的距离的长度．结果精确到参考数据：，，

24.  本小题分
已知，如图，在中，，，，过作，点在射线上、连接，交边于点．
当时，求的长；
当时，求的长；
当是等腰三角形时，求的长．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，顶点为点．
求与的数量关系；
设抛物线的对称轴为直线，过作，垂足为，且．
当时，求抛物线的最高点的纵坐标用含的式子表示；
平移抛物线，当它与直线最多只有一个交点时，求平移的最短距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，图中展开图为圆锥的展开图，
故选：．
根据圆锥的展开图得出结论即可．
本题主要考查圆锥的展开图，熟练掌握圆锥的展开图是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

4.【答案】 

【解析】解：点在一次函数的图象上，
，
的值为．
故选：．
代入，即可求出值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据二次根式的减法法则，，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据同底数幂的除法法则，，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据积的乘方与幂的乘方，，那么C正确，故C符合题意．
D.根据分式的减法法则，，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的减法则法、同底数幂的除法法则、积的乘方与幂的乘方、分式的减法法则解决此题．
本题主要考查二次根式的减法、同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、分式的减法，熟练掌握二次根式的减法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与幂的乘方、分式的减法法则是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图示，可得：，，
，
选项A不符合题意；

，，
，
选项B不符合题意；

，
，
又，
，
选项C不符合题意；

，
，
又，
，
选项D符合题意．
故选：．
根据图示，可得：，，据此逐项判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，，
点在二次函数的图象上，
故选：．
根据题意，点在二次函数的图象上，可知符合题意的选项．
此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图，总共有四种等可能结果，其中两次次记录的数字之和为的情况有种，

两次记录的数字之和为的概率是：，
故选：．
结合题意，根据树状图法求解概率，即可得到答案．
本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图法求解概率的性质，从而完成求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：搭一个小正方形需要根小棒，
搭两个小正方形需要根小棒，
搭三个小正方形需要根小棒，
，
搭个小正方形需要根小棒，
则搭个这样的小正方形需要小棒：根，
故选：．
先计算前几个图形中所需的小棒数，找出规律，再代入求值．
本题考查了图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长交于，过作于，
平分，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
延长交于，过作于，根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故答案为：．
根据绝对值的定义进行求解即可．
本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的直径，是的切线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用圆的切线的性质定理和圆周角定理解答即可．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质定理和圆周角定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，
分别与，相切于，两点，
，，
为的中点，，
，
在与中，
，
≌，
，
又，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
即的半径长为，
故答案为：．
连接，，由证明≌得出，再结合证明是等边三角形，得出，最后根据三角函数关系求解即可．
本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数关系，证明是等边三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，可得点在过点且垂直的直线上运动，则当时，的值最小，即可求解．
【解答】
解：在中，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
点在过点且垂直的直线上运动，
当时，的值最小，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．  

17.【答案】解：，
，
，
则． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

18.【答案】证明：，
，
即，
在与中，
，
≌． 

【解析】由已知条件及结合图形，可求得，利用即可判定≌．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是结合图形求得．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次调查中，抽查的学生总数是：人；
扇形统计图中的值是．
故答案为：；；
样本中的人数为：，补全条形统计图如下：

名，
答：估计该校学生喜爱羽毛球的学生人数大约有名．
由的人数及其所占百分比可得总人数；用的人数除以抽查的学生总数可得的值；
抽查的学生总数减去、、的人数可得的人数，进而补全条形统计图；用乘样本中喜爱羽毛球的学生人数所占百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】解：设与的函数关系式为，将代入，
得：，
解得：，
与的函数表达式为；
当点到下午点时，
千米小时，
当时，千米小时，
客车行驶速度的范围为千米小时千米小时． 

【解析】用待定系数法即可求解；
当点到下午点时，千米小时，当时，千米小时，即可求解．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键正确理解题意，利用待定系数法求出反比例函数关系式．
 

21.【答案】解：


；
一个矩形两条对角线的长为的两根，
，
，
当时，． 

【解析】先计算括号里面的减法，然后把除法变为乘法，约分化简即可；
由矩形的对角线相等可知，方程的两根相等，根据，求得的值，代入中化简后的，即可求解．
本题考查了分式的化简求值，根与系数的关系，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，点即为所求；
是的切线，
，
，
，
，
，
． 

【解析】过点作交于点，点即为所求；
证明，再证明，可得结论．
本题考查作图复杂作图，垂径定理，等腰三角形的性质，切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】解：设与相交于点，

由题意得：
米，米，，
设米，
米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
条幅底端到地面的距离的长度约为米． 

【解析】设与相交于点，根据题意可得：米，米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，

在中，，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
；
，
，
当时，作于，交于点，

则，，
，
，
∽，
，
，
，
当时，作，交的延长线于，

则，
，
，
，
设，，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
，
，
综上：或． 

【解析】根据两个角相等，证明∽，利用对应边成比例即可得出答案；
利用等角的余角相等，说明，则；
根据垂线段最短可得，则，分或两种情况，分别画出图形，进而解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：；

如下图，抛物线的对称轴为，

由得，点，
则抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
当时，，
设抛物线的最高点的纵坐标为：，
当时，
则抛物线在时取得最大值，
即；
当时，
则抛物线在时取得最大值，
即；
当时，
则抛物线在时取得最大值，
即；
当时，
则抛物线在时取得最大值，
即；
综上，抛物线的最高点的纵坐标为；

将直线向右平移个单位，则新的直线表达式为：，
联立得：，
整理得：，
则，
解得，
此时，新的直线表达式为：，
设直线和新直线和轴的交点分别为点、，

则，
过点作，则为平移的最小距离，
由直线的表达式知，，则，
则
故平移的最短距离为：． 

【解析】将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
当时，则抛物线在时取得最大值，即可求解；当时、时、时，同理可解；
将直线向右平移个单位，则新的直线表达式为：，联立得：，由，进而求解．
本题主要考查了二次函数综合运用，只要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，其中，分类讨论的思想方法是解题的重要方法．