专题14 动量与动量定理及其应用（解析版）

专题14 动量与动量定理及其应用 目录 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc8065" 题型一 动量和冲量的理解  PAGEREF _Toc8065 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc10678" 类型1 动量与动能的比较及换算  PAGEREF _Toc10678 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc14168" 类型2 对动量和冲量的定性分析  PAGEREF _Toc14168 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc15200" 类型3 恒力冲量的计算  PAGEREF _Toc15200 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc21358" 类型3 利用F－t图像求冲量  PAGEREF _Toc21358 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc24065" 题型二 动量定理的理解和应用  PAGEREF _Toc24065 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc18560" 类型1 用动量定理解释生活中的现象  PAGEREF _Toc18560 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc8975" 类型2 应用动量定理求解瞬时平均力  PAGEREF _Toc8975 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc23340" 题型三 动量定理和图像问题的结合  PAGEREF _Toc23340 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc22952" 题型四 应用动量定理处理“流体模型”  PAGEREF _Toc22952 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc12077" 模型一　流体类问题  PAGEREF _Toc12077 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc11109" 模型二　微粒类问题  PAGEREF _Toc11109 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc12631" 题型五 应用动量定理处理分析多过程问题  PAGEREF _Toc12631 \h 16  HYPERLINK \l "_Toc7396" 题型六 动量定理与动能定理的类比及综合应用  PAGEREF _Toc7396 \h 18  题型一 动量和冲量的理解 【解题指导】1．动量与动能的比较 2.冲量的计算方法 (1)恒力的冲量：直接用定义式I＝Ft计算． (2)变力的冲量 ①作出F－t图线，图线与t轴所围的面积即为变力的冲量，如图所示． ②对于易确定始、末时刻动量的情况，可用动量定理求解． 类型1 动量与动能的比较及换算． 【例1】(多选)在光滑水平面上，原来静止的物体在水平力F的作用下，经过时间t、通过位移L后动量变为p、动能变为Ek.以下说法正确的是(　　) A．在F作用下，若这个物体经过位移2L，其动量等于2p B．在F作用下，若这个物体经过位移2L，其动能等于2Ek C．在F作用下，若这个物体经过时间2t，其动能等于2Ek D．在F作用下，若这个物体经过时间2t，其动量等于2p 【答案】　BD 【解析】　在光滑水平面上，合力大小等于F的大小，根据动能定理知FL＝eq \f(1,2)mv2，位移变为原来的2倍，动能变为原来的2倍，根据p＝eq \r(2mEk)，知动量变为原来的eq \r(2)倍，故A错误，B正确；根据动量定理知，Ft＝mv，时间变为原来的2倍，则动量变为原来的2倍，根据Ek＝eq \f(p2,2m)知，动能变为原来的4倍，故C错误，D正确． 【例2】高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动。在启动阶段，列车的动能(　　) A.与它所经历的时间成正比 　 B.与它的位移成正比 C.与它的速度成正比 　 D.与它的动量成正比 【答案】　B 【解析】　列车启动的过程中加速度恒定，由匀变速直线运动的速度与时间关系可知v＝at，且列车的动能为Ek＝eq \f(1,2)mv2，由以上整理得Ek＝eq \f(1,2)ma2t2，动能与时间的平方成正比，动能与速度的平方成正比，A、C错误；将x＝eq \f(1,2)at2代入上式得Ek＝max，则列车的动能与位移成正比，B正确；由动能与动量的关系式Ek＝eq \f(p2,2m)可知，列车的动能与动量的平方成正比，D错误。 【例3】．对于一定质量的某物体而言，下列关于动能和动量的关系正确的是(　　) A．物体的动能改变，其动量不一定改变 B．物体动量改变，则其动能一定改变 C．物体的速度不变，则其动量不变，动能也不变 D．动量是标量，动能是矢量 【答案】　C 【解析】　物体的动能改变，则物体的速度大小一定改变，则其动量一定改变，A错误；动量表达式为p＝mv，动量改变可能只是速度方向改变，其动能不一定改变，故B错误；物体的速度不变，则其动量不变，动能也不变，C正确；动量是矢量，动能是标量，D错误． 类型2 对动量和冲量的定性分析 【例1】(2022·江苏七市调研)北京冬奥会2 000米短道速滑接力热身赛上，在光滑冰面上交接时，后方运动员用力推前方运动员。则交接过程中(　　) A．两运动员的总机械能守恒 B．两运动员的总动量增大 C．每个运动员的动量变化相同 D．每个运动员所受推力的冲量大小相同 【答案】　D 【解析】　在光滑冰面上交接时，后方运动员用力推前方运动员，导致机械能增加，A错误；两运动员合力为零，动量守恒，B错误；因为动量守恒，所以两个运动员的动量变化等大反向，C错误；两运动员的相互作用力大小相等，力的作用时间相同，则每个运动员所受推力的冲量大小相同，D正确。 【例2】(多选)(2022·福建高三期末)第二届进博会展出了一种乒乓球陪练机器人，如图所示。若乒乓球被机器人以原速率斜向上击回，在空中运动一段时间后落到台面上，忽略空气阻力和乒乓球的旋转，下列说法正确的是(　　) A.击球过程合外力对乒乓球做功为零 B.击球过程合外力对乒乓球的冲量为零 C.乒乓球运动至最高点时，动量为零 D.乒乓球下落过程中，在相等时间内动量变化相同 【答案】　AD 【解析】　乒乓球被机器人以原速率斜向上击回，可知乒乓球的动能不变，由动能定理可知，合外力对乒乓球做功为零，故A正确；乒乓球被机器人以原速率斜向上击回，可知乒乓球速度变化量不为零，所以动量的变化量不为零，由动量定理可知，击球过程合外力对乒乓球的冲量不为零，故B错误；乒乓球运动至最高点时，还具有水平方向的速度，故在最高点动量不为零，故C错误；乒乓球下落过程中，只受重力作用，则在相等的时间内重力的冲量相等，由动量定理可知，在相等时间内动量变化相同，故D正确。 【例3】(2022·边城高级中学高三月考)篮球运动深受同学们的喜爱，打篮球时某同学伸出双手接传来的篮球，双手随篮球迅速收缩至胸前，如图所示。下列说法正确的是(　　) A.手对篮球的作用力大于篮球对手的作用力 B.手对篮球的作用力与篮球对手的作用力是一对平衡力 C.这样做的目的是减小篮球动量的变化量 D.这样做的目的是减小篮球对手的冲击力 【答案】　D 【解析】　手对篮球的作用力与篮球对手的作用力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，故A、B错误；先伸出两臂迎接，手接触到球后，两臂随球引至胸前，这样可以增加球与手接触的时间，根据动量定理得－Ft＝0－mv解得F＝eq \f(mv,t)，当时间增大时，作用力减小，而冲量和动量的变化量都不变，所以C错误，D正确。 类型3 恒力冲量的计算 【例1】如图所示，质量为m的滑块沿倾角为θ的固定斜面向上滑动，经过时间t1，速度为零并又开始下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为Ff，重力加速度为g.在整个运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．重力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)sin θ B．支持力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)cos θ C．合外力的冲量为0 D．摩擦力的总冲量为Ff(t1＋t2) 【答案】　B 【解析】　重力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)，A项错误；支持力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)cos θ，B项正确；整个过程中滑块的动量发生了改变，故合外力的总冲量不为0，C项错误；上滑过程和下滑过程摩擦力的方向相反，故若以沿斜面向上为正方向，摩擦力的总冲量为Ff(t2－t1)，D项错误． 【例2】(2022·陕西临渭高二期末)如图所示，质量为m的物体在一个与水平方向成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平面向右匀速运动，则下列关于物体在时间t内所受力的冲量正确的是(　　) A.拉力F的冲量大小为Ftcos θ B.摩擦力的冲量大小为Ftsin θ C.重力的冲量大小为mgt D.物体所受支持力的冲量是mgt 【答案】　C 【解析】　拉力F的冲量大小为Ft，故A错误；物体做匀速直线运动，可知摩擦力f＝Fcos θ，则摩擦力的冲量大小为ft＝Ftcos θ，故B错误；重力的冲量大小为mgt，故C正确；物体所受支持力的大小为FN＝mg－Fsin θ，则支持力的冲量为(mg－Fsin θ)t，故D错误。 类型3 利用F－t图像求冲量 【例1】(多选) (2021·广东深圳市调研)如图所示，物体从t＝0时刻开始由静止做直线运动，0～4 s内其合外力随时间变化的关系图线为正弦曲线，下列表述正确的是 (　　) A．0～2 s内合外力的冲量一直增大 B．0～4 s内合外力的冲量为零 C．2 s末物体的动量方向发生变化 D．0～4 s内物体动量的方向一直不变 【答案】　ABD 【解析】　根据F－t图像中图线与t轴围成的面积表示冲量，可知在0～2 s内合外力的冲量一直增大，故A正确；0～4 s内合外力的冲量为零，故B正确；2 s末冲量方向发生变化，物体的动量开始减小，但方向不发生变化，0～4 s内物体动量的方向一直不变，故C错误，D正确。 【例2】.(2022·山东省日照一中月考)质量m＝1 kg的物体在合外力F的作用下从静止开始做直线运动．物体所受的合外力F随时间t变化图像如图所示．下列说法正确的是(　　) A．物体先做匀加速直线运动，再做加速度减小的减速运动 B．4 s末物体的速度为零 C．0～6 s内合外力的冲量为8 N·s D．0～6 s内合外力做功为8 J 【答案】　D 【解析】　由题图可知，0～4 s内合外力方向不变，则物体先做匀加速直线运动，再做加速度减小的加速运动，最后做加速度增大的减速运动，故A错误；由题图可知，0～4 s内合外力方向不变，则物体一直做加速运动，4 s末物体的速度不为0，故B错误；F－t图线与横坐标轴所围面积表示合外力的冲量，0～2 s合外力冲量为I1＝2×2 N·s＝4 N·s,2～6 s合外力的冲量为0，则0～6 s内合外力的冲量为4 N·s，故C错误；0～2 s内，由动量定理可得I1＝mv1，即mv1＝4 kg·m/s，此时的动能为Ek＝eq \f(mv12,2m)＝eq \f(42,2×1) J＝8 J，由于2～6 s合外力的冲量为0，即动量不变，则动能也不变，所以0～6 s内合外力做功为8 J，故D正确． 题型二 动量定理的理解和应用 【核心归纳】1．对动量定理的理解 (1)Ft＝p′－p是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同．式中Ft是物体所受的合外力的冲量． (2)Ft＝p′－p除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动量变化的原因． (3)由Ft＝p′－p，得F＝eq \f(p′－p,t)＝eq \f(Δp,t)，即物体所受的合外力等于物体动量的变化率． (4)当物体运动包含多个不同过程时，可分段应用动量定理求解，也可以全过程应用动量定理． 2．解题基本思路 (1)确定研究对象． (2)对物体进行受力分析．可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；或先求合力，再求其冲量． (3)抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号． (4)根据动量定理列方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解． 类型1 用动量定理解释生活中的现象 【例1】(2020·全国Ⅰ卷，14)行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是(　　) A．增加了司机单位面积的受力大小 B．减少了碰撞前后司机动量的变化量 C．将司机的动能全部转换成汽车的动能 D．延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积 【答案】　D 【解析】　行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内安全气囊被弹出并瞬间充满气体，增大了司机的受力面积，减少了司机单位面积的受力大小，延长了司机的受力时间，A项错误，D项正确；碰撞前司机的动量等于其质量与速度的乘积，碰撞后司机的动量为零，所以安全气囊不能减少碰撞前后司机动量的变化量，B项错误；司机与气囊的碰撞为非弹性碰撞，有能量损失，司机的动能未完全转换成汽车的动能，C项错误。 【例2】(2022·山东烟台市期中)跳水运动一直是我国传统的优势体育项目，我们的国家跳水队享有“梦之队”的赞誉．在某次训练中，跳水运动员在跳台上由静止开始竖直落下，进入水中后在水中做减速运动，速度减为零时并未到达池底．不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．运动员在空中运动时，其动量变化量大于重力的冲量 B．运动员从刚进入水中到速度减为零的过程中，其重力的冲量等于水的作用力的冲量 C．运动员从开始下落到速度减为零的过程中，其动量的改变量等于水的作用力的冲量 D．运动员从开始下落到速度减为零的过程中，其重力的冲量与水的作用力的冲量等大反向 【答案】　D 【解析】　运动员在空中运动过程中只受重力作用，根据动量定理可知运动员在空中动量的变化量等于重力的冲量，故A错误；运动员在水中运动过程中受到重力和水对他的作用力，动量的变化量方向向上，则其重力的冲量小于水的作用力的冲量，故B错误；整个过程根据动量定理可得I＝mΔv＝0，故运动员整个向下运动过程中合外力的冲量为零，故C错误；整个过程根据动量定理可得I＝IG＋IF＝mΔv＝0，所以IG＝－IF，即运动员整个运动过程中重力的冲量与水的作用力的冲量等大反向，故D正确． 【例3】．(多选) (2022·北京西城区5月统测)蹦床是体操运动的一种，有“空中芭蕾”之称。为了能够更好地完成空中动作，在网上准备阶段运动员要设法使自己弹得足够高。如图所示，蹦床的中心由弹性网面组成，若运动员从离水平网面3 m高处由静止自由下落，着网后沿竖直方向回到离水平网面5 m高处，则在此过程中(　　) A．只有重力对运动员做功，运动员的机械能守恒 B．运动员的机械能增加，是因为弹性网弹力对运动员做正功 C．弹性网弹力对运动员的冲量大小等于运动员重力的冲量大小 D．弹性网弹力对运动员的冲量大小大于运动员重力的冲量大小 【答案】　BC 【解析】　运动员从离水平网面3 m高处由静止自由下落，着网后沿竖直方向回到离水平网面5 m高处，初末位置动能都为0，但末位置重力势能大于初位置重力势能，即运动员的机械能增加了，机械能不守恒，故A错误；运动员的机械能增加，弹性网弹力先对运动员做负功，再做正功，但总体做正功，故B正确；根据动量定理可知IF－IG＝0，即弹性网弹力对运动员的冲量大小等于运动员重力的冲量大小，故C正确，D错误。 类型2 应用动量定理求解瞬时平均力 【例1】高空作业须系安全带．如果质量为m的高空作业人员不慎跌落，从开始跌落到安全带对人刚产生作用力前，人下落的距离为h(可视为自由落体运动)，此后经历时间t安全带达到最大伸长量，若在此过程中该作用力始终竖直向上．重力加速度为g，忽略空气阻力，则该段时间安全带对人的平均作用力大小为(　　) A.eq \f(m\r(2gh),t)＋mg B.eq \f(m\r(2gh),t)－mg C.eq \f(m\r(gh),t)＋mg D.eq \f(m\r(gh),t)－mg 【答案】　A 【解析】　安全带对人起作用之前，人做自由落体运动；由v2＝2gh可得，安全带对人起作用前瞬间，人的速度v＝eq \r(2gh)；安全带达到最大伸长量时，人的速度为零；从安全带开始对人起作用到安全带伸长量最大，取竖直向下为正方向，由动量定理可得(mg－eq \x\to(F))t＝0－mv，故eq \x\to(F)＝eq \f(mv,t)＋mg＝eq \f(m\r(2gh),t)＋mg，故选项A正确． 【例2】. (2022·辽宁葫芦岛市期末)质量为0.5 kg的足球以8 m/s的速度水平飞来，运动员把它以12 m/s的速度用脚反向踢回，作用时间为0.2 s，运动员脚部受到足球的作用力大小约为(　　) A．2 N B．10 N C．20 N D．50 N 【答案】　D 【解析】　设足球踢回速度方向为正，根据动量定理可知Ft＝mv2－mv1，则F＝eq \f(mv2－mv1,t)＝eq \f(0.5×12－0.5×（－8）,0.2) N＝50 N，故D正确，A、B、C错误。 【例3】．(2022·山东青岛教学质量检测)2021年7月30日，在东京奥运会蹦床女子决赛中，中国选手朱雪莹获得金牌。蹦床属于体操运动的一种，有“空中芭蕾”之称。一名体重为50 kg的运动员在比赛中某次离开床面后在空中的运动时间为1.6 s，之后与蹦床经1 s的接触，再次获得1.6 s的空中动作时间。不计空气阻力影响，g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A．运动员与蹦床间的平均作用力为800 N B．运动员与蹦床间的平均作用力为1 300 N C．运动员与蹦床接触的1 s时间里处于超重状态 D．运动员与蹦床接触的1 s时间里处于失重状态 【答案】　B 【解析】　由题意可知，运动员从最高点经t1＝0.8 s 与蹦床接触t2＝1 s，再经t3＝0.8 s到达最高点，整个过程中，对运动员应用动量定理得mg(t1＋t2＋t3)－eq \o(F,\s\up6(－))t2＝0，解得eq \o(F,\s\up6(－))＝1 300 N，A项错误，B项正确；运动员与蹦床接触的1 s内，蹦床对运动员的弹力逐渐变化，运动员向下先加速后减速，然后向上先加速后减速，在这1 s内，运动员先失重再超重最后再失重，C、D项错误。 【例4】 (2022·江苏扬州市调研)《民法典》明确提出“禁止从建筑物中抛掷物品”，如果一瓶500 mL的矿泉水从教学楼4楼窗户坠下，与地面的撞击时间约为7×10－3 s，未反弹，则矿泉水瓶对地面的冲击力约为(　　) A．10 N B．102 N C．103 N D．104 N 【答案】　C 【解析】　矿泉水的质量约为m＝0.5 kg，4楼窗户离地高度约为h＝3×3 m＝9 m，矿泉水瓶做自由落体运动，落地速度为v＝eq \r(2gh)＝6eq \r(5) m/s，未反弹，则末速度为零，对矿泉水瓶撞地的过程，取向下为正，由动量定理有mgΔt－FΔt＝0－mv，由牛顿第三定律可知地面对瓶的支持力等于瓶对地面的冲击力F′＝F，联立可得F′≈9.6×102 N，故选项C正确。 题型三 动量定理和图像问题的结合 【例1】一个质量为2 kg的物体静止在水平桌面上，如图甲所示，现在对物体施加一个水平向右的拉力F，拉力F随时间t变化的图像如图乙所示，已知物体在第1 s内保持静止状态，第2 s初开始做匀加速直线运动，第3 s末撤去拉力，第5 s末物体速度减小为0。求： (1)第1 s内拉力F的冲量； (2)前3 s内拉力F的冲量； (3)第3 s末物体的速度。 【答案】　(1)5 N·s　(2)25 N·s　(3)5 m/s 【解析】　(1)第1 s内物体静止，受恒力作用，拉力F的冲量为I1＝F1t1＝5 N·s。 (2)前3 s内，拉力F的冲量为I3＝F1t1＋F2t2＝25 N·s (3)设物体在运动过程中所受滑动摩擦力大小为Ff，则在1～5 s内，由动量定理有F2t2－Ff(t2＋t3)＝0 在1～3 s内利用动量定理可求第3 s末物体的速度F2t2－Fft2＝mv 联立解得第3 s末物体的速度为v＝5 m/s。 【例2】质量为2 kg的物体静止于光滑水平面上，从某一时刻开始，物体所受的水平冲量与时间的关系如图所示，则在6 s内物体的位移为(　　) A.0 B.3 m C.6 m D.12 m 【答案】　C 【解析】　由题图可知，0～3 s内以及3～6 s内物体受到的冲量都与时间呈线性关系，可知在0～3 s内和3～6 s内物体受到的力都不变，物体做匀变速直线运动，在0～3 s内物体做初速度等于0的匀加速直线运动，在3～6 s内物体做匀减速直线运动，由运动的对称性可知，6 s末物体的速度又等于0。在0～3 s，根据动量定理可得I1＝Δp＝mv，所以v＝eq \f(I1,m)＝eq \f(4,2) m/s＝2 m/s，物体在t＝6 s内的位移x＝eq \f(v,2)t1＋eq \f(v,2)t2＝eq \f(v,2)t＝eq \f(2,2)×6 m＝6 m，选项C正确。 【例3】(2022·福建福州一中期末)水平面上有质量相等的a、b两个物体，水平推力F1、F2分别作用在a、b上。一段时间后撤去推力，物体继续运动一段距离后停下。两物体的v－t图线如图所示，图中AB∥CD。则整个过程中(　　) A.F1的冲量等于F2的冲量 B.F1的冲量大于F2的冲量 C.摩擦力对a物体的冲量等于摩擦力对b物体的冲量 D.合外力对a物体的冲量等于合外力对b物体的冲量 【答案】　D 【解析】　因AB与CD平行，说明撤去推力后两物体的加速度相同，而撤去推力后物体的合力等于摩擦力，根据牛顿第二定律可知，两物体受到的摩擦力大小相等。但a运动的总时间小于b运动的总时间，根据I＝Fft，可知，摩擦力对a物体的冲量小于摩擦力对b物体的冲量，故C错误；根据动量定理，对整个过程研究得F1t1－FftOB＝0，F2t2－FftOD＝0，由图看出tOB