广东省珠海市广东实验中学金湾学校2022-2023学年高二数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

珠海市广东实验中学金湾学校2022-2023学年下学期3月月考

高二数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､考号填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.

一､单选题（每题5分，共40分）

1. 若数列满足：，且，则数列的前5项和为（    ）

A. 7 B. 10 C. 19 D. 22

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意求，进而可得结果.

【详解】根据题意可得：，

故前5项和为.

故选：D.

2. 已知函数，则（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求导，再代入即可求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

故选：A.

3. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（    ）

A.  B. 43 C.  D. 41

【答案】A

【解析】

【分析】利用等比数列性质成等比数列即可求解.

【详解】设，则，

因为为等比数列，

所以，，仍成等比数列．

因为，所以，

所以，故．

故选：A.

4. 函数的大致图像为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用函数奇偶性、特殊点的函数值、解不等式以及导数来研究函数图像进行判断.

【详解】因为函数，定义域为，

又，

所以为偶函数，故B错误；

由得，，

同理，由得，或，故C错误；

因为，，

所以，故D错误；

因为函数，定义域为，

且当时，，，

由有，，

同理，由，解得，

所以当时，在单调递增，在上单调递减，

又，所以A正确.

故选：A.

5. 在数列中，，，则的值为（    ）

A. 5 B.  C.  D. 以上都不对

【答案】C

【解析】

【分析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.

【详解】，，

，

，

，

数列是以3为周期的数列，

，

故选：C．

6. 已知等差数列中，，，则数列的前2022项和为（    ）

A. 1010 B. 1011 C. 2021 D. 2022

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用等差数列性质和公式，求解数列的通项公式，再利用分组转化法求和.

【详解】根据等差数列的性质可知，，所以，

设等差数列的首项为，公差为，

则，解得：，所以，

设数列的前项和为，

则，

.

故选：D

7. 已知数列满足，，则的通项为(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先把，利用累加法和裂项相消法可求答案.

【详解】因为，所以，则当时，，

将个式子相加可得，

因为，则，当时，符合题意，

所以.

故选：D.

8. 已知，，，则下列判断正确是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后利用函数的单调性即可比较大小.

【详解】设，则，

当时，，则为增函数；

当时，，则为减函数．所以，，又，，，且在上单调递减，所以，所以．

故选：C．

二､多选题（每题5分，共20分）

9. 设，分别为等差数列的公差与前n项和，若，则下列论断中正确的有（    ）

A. 当时，取最大值 B. 当时，

C. 当时， D. 当时，

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】设等差数列的首项为，则

由，得，解得，

所以，

当时，当时，取最小值；当时，当时，取最大值；故A错误；

当时，，故B正确；

当时，，故C正确；

当时，，，

所以，故D正确.

故选：BCD.

10. 函数，则下列说法正确的是（   ）

A. 在处有最小值

B. 1是的一个极值点

C. 当时，方程有两异根

D. 当时，方程有一根

【答案】BC

【解析】

【分析】对AB，由导数法研究函数的极值及最值判断；

对CD，由导数法研究函数的单调性，由数形结合判断交点个数.

【详解】对AB，，则，

故在处有唯一极大值，即最大值，B对A错；

对CD，，又，.

故当时，图象与图象有两个交点，即方程有两异根；

当，图象与图象无交点，即方程无根，C对D错.

故选：BC

11. 已知数列满足，，则（    ）

A. 为等比数列 B. 的通项公式为

C. 为递增数列 D. 的前n项和

【答案】AD

【解析】

【详解】因为，所以，

又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，

即，所以，所以，

所以为递减数列，

的前n项和．

故选：AD．

12. 已知函数的定义域为，导函数为，满足，（为自然对数的底数），且，则（    ）

A.  B.

C. 在处取得极小值 D. 无极大值

【答案】BCD

【解析】

【分析】设，对其求导可得，因此设，根据题意可得的解析式，对A：利用导数判断的单调性分析判断，对B、C、D：利用导数判断的单调性分析判断.

【详解】设，则，

可设，则，解得，

故，即，

令，则，故上单调递增，

∴，即，则，A错误；

∵，令，解得，

则在上单调递减，在上单调递增，

∴，在处取得极小值，无极大值，

B、C、D均正确

故选：BCD.

【点睛】结论点睛：

（1）形式，联想到；

（2）形式，联想到.

三､填空题（每题5分，共20分）

13. 将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第个图形中“〇”的个数是，则的值是________．

【答案】12

【解析】

【分析】发现规律，再根据数列的前几项，写出其通项公式后，令其等于78，解得即可．

【详解】解：第1个图形中“〇”的个数是1，

第2个图形中“〇”个数是，

第3个图形中“〇”的个数是，

由此推测，第个图形中“〇”的个数是，

令，解得或（舍去）．

故答案为：．

14. 2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：

①甲小区在[0，]，[，]，[，]三段时间中，在[，]的平均分出量最大；

②在[，]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；

③在[，]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；

④在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢．

其中所有正确结论的序号是______________.

【答案】③④

【解析】

【分析】利用平均变化率和瞬时变化率的含义，结合图表，即可进行选项的判断.

【详解】有图可知甲小区在[0，]，[，]，[，]三段时间中平均分出量基本相等，故①错.在[，]这段时间内，甲小区的增长量小于乙小区增长量，所以甲的平均分出量比乙小区的平均分出量小，故②错.在[，]这段时间内，乙小区增长量高于甲小区，所以乙的平均分出量比甲小区的平均分出量大，故③对.在时刻，乙的图像比甲陡，瞬时增长率大，所以④对.

故答案为:③④.

15. 在等比数列中，，，则的值为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算法则计算可得.

【详解】在等比数列中，，，

所以，所以.

故答案为：

16. 已知函数在处有极小值，且极小值为6，则______.

【答案】5

【解析】

【分析】求导得到导函数，根据，解得或，再验证得到答案.

【详解】，则，

根据题意，，

解得或，

当时，，

当和时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故是极小值点，正确；

当时，恒成立，函数无极小值点，排除.

综上所述：.

故答案为：

四､解答题

17. 已知函数．

（1）求的极值和单调区间；

（2）求曲线在点处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．

【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为，，无极小值   

（2）切线方程为，面积为

【解析】

【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求得极值；

（2）先利用导数的几何意义求出切线方程，求得截距，利用三角形面积公式可得答案.

【小问1详解】

，

当时，，当时，，

所以函数的单调减区间为，单调增区间为，

所以，无极小值；

【小问2详解】

由（1）得，，则所求切线的斜率为1，

故所求切线方程为，

当时，，当时，，

故切线与坐标轴所围三角形的面积.

18. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.

（1）求和的调和中项；

（2）已知调和数列，，，求的通项公式.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；

（2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.

小问1详解】

设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，

所以，解得：，

故和的调和中项为；

【小问2详解】

依题意，是等差数列，设其公差为，

则，

所以，

故.

19. 设等差数列的前项和为，，，且有最大值．

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）设数列的前项和为，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等差中项和等差数列的通项公式求解即可；

（2）按和分情况讨论，去绝对值求解即可.

【小问1详解】

因为数列为等差数列，所以，

又，解得或，

又因为有最大值，所以，

所以，

所以，.

【小问2详解】

由，解得

，解得，即

所以当时，，

当时，

综上.

20. 已知函数（为常数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；

（2）分离参变量得在上恒成立，令，问题转化为求函数的最大值的问题，求解即可．

【小问1详解】

定义域为，，

当时，在上恒成立，所以在上单调递增；

当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增.

【小问2详解】

由题意知：在上恒成立，即：在上恒成立，

令，则，由，得，

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，

只需，所以实数的取值范围是.

21. “绿水青山就是金山银山”，中国一直践行创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，着力促进经济实现高质量发展，决心走绿色、低碳、可持续发展之路．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年我国新能源汽车销量占总销量将达20%以上.2021年，某集团以20亿元收购某品牌新能源汽车制造企业，并计划投资30亿元来发展该品牌.2021年该品牌汽车的销售量为10万辆，每辆车的平均销售利润为3000元．据专家预测，以后每年销售量比上一年增加10万辆，每辆车的平均销售利润比上一年减少10%．

（1）若把2021年看作第一年，则第n年的销售利润为多少亿元？

（2）到2027年年底，该集团能否通过该品牌汽车实现盈利？

（实现盈利即销售利润超过总投资，参考数据：，，）

【答案】（1）亿元   

（2）该集团能通过该品牌汽车实现盈利

【解析】

【分析】（1）由题意可求得第n年的销售量，第n年每辆车的平均销售利润，从而可求出第n年的销售利润，

（2）利用错位相减法求出到2027年年底销售利润总和，再与总投资额比较即可

【小问1详解】

设第n年的销售量为万辆，则该汽车的年销售量构成首项为10，公差为10的等差数列，所以，

设第n年每辆车的平均销售利润为元，则每辆汽车的平均销售利润构成首项为3000，公比为0.9的等比数列，所以，

记第n年的销售利润为，则万元；

即第n年的销售利润为亿元

【小问2详解】

到2027年年底，设销售利润总和为S亿元，

则①，

②，

①﹣②得亿元，

而总投资为亿元，

因为，则到2027年年底，该集团能通过该品牌汽车实现盈利．

22. 对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”，

（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；

（2）给定函数，

①若函数是区间上的“保值函数”，求实数的取值范围；

②若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析；   

（2）①；②

【解析】

【分析】（1）求解函数的值域，由“保值函数”的定义判断；（2）①由定义域和值域都是，将问题等价于方程有两个不等的实数根，根据判别式大于零计算即可；②将不等式化简为对恒成立，令新函数，，判断函数单调性并求解最值，代入不等式组计算即可.

【小问1详解】

，时，，

根据“保值函数”的定义可知，函数不是定义域上的“保值函数.

【小问2详解】

①由题意易知单调递增，且定义域和值域都是，得，

因此是方程的两个不等实数根，

等价于方程有两个不等的实数根，

即，解得或，

所以实数的取值范围为.

②，则不等式对恒成立，

即，所以对恒成立，

令，则，在上单调递增，

令，可知在上单调递减，

，，

，解得

又，所以实数的取值范围为