河南省普高联考2023年高三下学期理数测评试卷【含答案】

 高三下学期理数测评试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．若复数z的共轭复数为，且，则z的虚部为（　　）

A． B． C． D．2

3．已知等比数列的前n项和为，且，，则（　　）

A． B．5 C． D．

4．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度约为（　　）（参考数据：，）

A．13米 B．24米 C．39米 D．45米

5．函数的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

6．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为（　　）

A．0.9 B．0.7 C．0.6 D．0.3

7．记不等式组的解集为D，现有下面四个命题：

，；，；

，；，．

其中真命题的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，，则（　　）

A． B． C． D．

9．任意写出一个正整数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成，如果是个偶数，则下一步变成，无论是怎样一个数字，最终必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列（为正整数），，若，则的所有可能取值之和为（　　）

A．188 B．190 C．192 D．201

10．在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A． B． C． D．

11．设双曲线的左、右焦点分别为，，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且，若，则双曲线E的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

12．已知，，，其中e为自然对数的底数，则（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．二项式的展开式中的系数为　     　．

14．如图，在矩形ABCD中，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则的最大值为　     　．

15．圆与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足，直线与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为　     　．

16．先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是　         　．

三、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）若的面积为，点D在线段AC上，且，求BD的最小值．

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M在底面ABCD上的射影为CD的中点O，E为线段AD上的点(含端点)．

（1）若E为线段AD的中点，证明：平面平面MAD；

（2）若，求二面角的余弦值．

19．某公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．

表中，，，．已知可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程．

参考数据：，．

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

（1）求y关于x的回归方程；

（2）若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售利润营销费用固定成本）

20．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且点在㮋圆上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的取值范围．

21．已知函数．

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）当时，，求实数m的取值范围．

22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为其中t为参数，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，其中为参数．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并画出曲线C的简图（无需写出作图过程）；

（2）直线与曲线C相交于A，B两点，且，求的值．

23．已知函数的最小值为m．

（1）在直角坐标系中画出的图象，并求出m的值；

（2）a，b，c均为正数，且，求的最小值．

1．B

2．D

3．B

4．C

5．A

6．B

7．C

8．A

9．B

10．B

11．D

12．D

13．90

14．

15．

16．

17．（1）解：由正弦定理得，

又，则，

化简得．

又，所以，则．

因为，所以．

（2）解：由（1）知，则的面积为，解得．

在中，，

由余弦定理得，

当且仅当，即，时等号成立，

所以BD的最小值为．

18．（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴．

∵O为线段CD的中点，E为线段AD的中点，∴，，

∵，由余弦定理得，

则，则．

∵，平面MOE，∴平面MOE，

又∵平面MAD，∴平面平面MAD．

（2）解：连接OA，由(1)知当E为线段AD的中点时，，

则A、O、D三点在以AD为直径的圆上，故．

故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

又，则，

∴，，，．

又，则，

∴，，，．

设平面MAD的法向量为，则解得

取，则平面MAD的一个法向量为．

设平面MEO的法向量为，则解得

取，则平面MEO的一个法向量为．

则，

则二面角的余弦值为．

19．（1）解：由得，，令，，，则．

由表中数据可得，，

则，所以．

即，因为，所以，

故所求的回归方程为．

（2）解：设年收益为W万元，则，

对求导，得，

令，解得，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

因此，当时W有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大．

20．（1）解：设椭圆右焦点的坐标为，则，即，

又，则，

因为点在椭圆上，

所以，即，解得，

则，，所以椭圆C的标准方程为．

（2）解：由（1）知，因为直线l的斜率不为0，所以可设直线l的方程为，

代入椭圆C的方程，消去x化简得，

设，，则，．

设线段AB的中点为，则，，即，则直线m的方程为，

代入椭圆C的方程可得，不妨设，．

，

点M，N到直线l的距离分别为，，

则四边形AMBN的面积为．

因为点M，N在直线l的两侧，所以，

因为，所以．

因此，四边形AMBN的面积的取值范围为．

21．（1）解：因为，所以，

因为，，所以切线方程为，即．

（2）解：方法一：i.若，

由，可得，

设，则，

当时，，所以单调递增，则；

当时，，所以，

所以恒成立，符合题意；

ii.若，，

当时，，不合题意．

iii.若，，

设，则，

当时，，所以在上单调递增，

因为，，所以存在，使得，

当时，，则在上单调递减，，不合题意．

综上所述，m的取值范围为．

方法二：由题知当时，，即，

因为，所以．

设，因为，所以为周期函数，且周期为．

，

令，则或，，

所以当，时，，则单调递增；

当，时，，则单调递减．

当时，令，则，则单调递减，∴.

当时，直线与曲线相切，如图，

根据图象可知，要使，只需，故实数m的取值范围为．

22．（1）解：将直线的参数方程消去t，得普通方程为．

曲线C的极坐标方程为，即，

又，，，所以曲线C的直角坐标方程为．

则曲线C的简图如图所示．

（2）解：不妨设点A位于第一象限，结合图形和直线可知，

，，

则，

所以.

又，所以，

则或，所以或．

23．（1）解：由题知

描点，，，，连线得的图象如图所示．

通过图象可知，当时，函数的最小值为，即．

（2）解：由(1)知，，

，，，

三个式子相加得，当且仅当时等式成立，

∴的最小值为3．