2023年九年级中考数学专题训练：动态几何压轴题附答案

2023年九年级中考数学专题训练:动态几何压轴题附答案

1．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．

(1)按小明的思路，求的度数；

(2)如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由；

(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系（并画出相应的图形）．

2．如图，在中，，，．动点P从点A出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线AC﹣CB向终点B运动．当点P不与顶点重合时，作，交边AB于点Q，以CP、PQ为边作．设点P的运动时间为t秒．

(1)求的长．

(2)当点P在边上时，求点Q到边的距离（用含t的代数式表示）；

(3)当的某条对角线与△ABC的直角边垂直时，求的面积；

(4)以点P为直角顶点作等腰直角三角形，使点E与点C在同侧，设的中点为F，的对称中心为点O，连接．当时，直接写出t的值．

3．在中，，点在上方，连接，将绕点顺时针旋转90°到．

(1)如图1，，点在右上方，连接，，若，，，求的长；

(2)如图2，点在的左侧上方，连接交于点，为上一点，若，且为的中点，过作于点，求证：；

(3)如图3，，，，将沿着直线翻折至连接，连接并延长交于点，交于点，当最长时，直接写出此时的面积．

4．已知：如图，在中，．点D是中点，点P从点C出发，沿向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接，将绕点D旋转得．设运动时间为t（s），解答下列问题：

(1)当t为何值时，？

(2)当t为何值时，四边形是菱形？

(3)设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式；

(4)是否存在某一时刻t，使得点T在的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

5．已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接

(1)如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系；

(2)如图2，

①点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；

②若点P在直线上，，，直接写出的长；

(3)设，若点运动到某一位置时使为等边三角形，请直接写出的长．

6．如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接．

(1)求证：是等边三角形；

(2)如图2，当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；

(3)如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

7．如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点．

(1)求证：；

(2)将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长；

(3)连接，在绕点A旋转过程中，求的最大值．

8．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

(1)求证：△ABQ≌△CAP；

(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

9．在△ABC中，AB = AC，∠ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE．

(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE⊥AC.若PC = 4，求PE的长；

(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF ；

(3)如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=AB，O是直线BC上的另一个动点，连接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离．

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E、F分别为BC、AD的中点，等腰直角三角形纸片PQM如图1放置，斜边PM与BE重合，且∠PQM＝90°，将三角形纸片PQM在矩形所在平面内移动，使得顶点P从点B出发沿着BC向点C运动，顶点M在EF上运动．

(1)当点P在线段BE上时，如图2，若BP＝1，求EM的长度；

(2)若tan∠MPE＝2，求BP的长；

(3)在点P从点B运动到点C的过程中，直接写出点Q的运动路径长．

11．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，，连接EC．点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．

(1)如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；

(2)如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：；

(3)如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．

12．将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．

(1)如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．

①求证：BE平分∠AEC．

②取BC的中点P，连接PH，求证：PHCG．

③若BC＝2AB＝2，求BG的长．

(2)若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．

13．在中，，，，点为直线上一点，且．

(1)如图1，点在线段延长线上，若，求的度数；

(2)如图2，与在图示位置时，求证：平分；

(3)如图3，若，，将图3中的（从与重合时开始）绕点按顺时针方向旋转一周，且点与点不重合，当为等腰三角形时，求的值．

14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）AC的长是________，AB的长是________．

（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．

（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？

15．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E为直线CD上一点，连接AE；

（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠ACD＝90°，E为CD中点，，求△BCE的面积；

（2）如图2，若∠ACD＝90°，点E在线段CD上且∠DAE＋∠ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：；

（3）如图3，AB＝1，∠BAC＝90°，∠ACD＝105°，若BE恰好平分∠AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当的值最小时，直接写出CQ的值．

16．如图，等腰ABC的底边BC＝8，高AD＝2，M是AB中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止，另一动点F从点B出发，以相同的速度沿BC运动，到点D停止．已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以EF为边作正方形EFGH，使点G、H和点A在BC的同侧，设点E运动的时间为t秒．

（1）当t≥1时，用含t的代数式表示EF的长；

（2）设正方形EFGH面积为S1，正方形EFGH与ABC重叠面积为S2，当S1：S2＝2时，求t的值；

（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿折线段DM﹣MB﹣BM﹣MD运动，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形EFGH内（含边界）的时长．

17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD交射线CB于点E，设AD＝x．

（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；

（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；

（3）如果，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

18．如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，AB＝AC＝6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，连接AF与CE相交于点G．

（1）求的度数．

（2）如图2，作交CE于点H，若CF＝4，，求GH的值．

（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60°得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长．

参考答案：

1．(1)

(2)；

(3)或者，

2．(1)

(2)点Q到边的距离为3t

(3)的面积为36或

(4)满足条件的t的值为或4

3．(1)

(3)的面积是1

4．(1)；

(2)；

(3)；

(4)存在，

5．(1)；

(2)①成立；②的长为或；

(3)的长为或．

6．(2)存在，；

(3)存在，当t的值为或时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．

7．(2)；

(3)的最大值．

8．(2)点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．∠QMC＝60°

(3)点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．∠QMC＝120°

9．(1)1

(3)

10．(1)

(2)2±

(3)4

11．(1)

(3)

12．(1)③

(2)

13．(1)25°

(3)16或或

14．（1）10；5；（2）不变，EF与AD平行且相等，证明见解析；（3）能，t= ；（4） ；3

15．（1）；（3）

16．（1）当1≤t≤5时，EF＝1，当5＜t≤8时，EF＝t﹣4；（2）ts或s；（3）s

17．（1）；（2）或2；（3）（0＜x＜10）

18．（1）60°；（2）；（3）2或