陕西省铜川市高三第二次模拟考试理数试题及答案

铜川市 2023 年高三第二次质量检测

理科数学试题参考答案

一、选择题

1.解：依题意得，，于是．故选：．

2.解：，，则，故．
故选：．
3.解：因为，
故该算法的功能是求，
．故选：．
4.解：如图：设，，，
，∴SⅠ=SⅢ=

∴SⅡ=SⅢ=，
∴SⅠ=SⅢ，，故选A．  

5.解：命题：“，”的否定是，．故选：．
6.解：因为，所以，即，
所以，所以，
因为，所以，
结合与的图象，因为，，所以，
所以，即，可得，
所以，故选C．  

7.解：根据题意，甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为，
则两组数据混合后，新数据的平均数，
则新数据的方差，故选：．
8.解：设等比数列的公比为，，，解得，
数列是等比数列，首项为，公比为．
，，．故选：．
9.解：由题意，由，得，
，所以

，
由同理可得，，
根据平面向量基本定理，可得，．故选D．

10.解：不妨设，，
因为在以为直径的圆上，所以，即，则，
因为在的左支上，所以，
即，解得，则，
因为，所以，即，
故，故．故选：．
11.解：由图象可得，，解得周期，，
，代入可得，，
解得，，又，，
，，，
结合三角函数图象可得或，
，或．故选D．

12.解：取中点，由题意，，，
由余弦定理得，
故，即，
而平面，且平面，平面，故A，，
如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，，，，

，其中，
设面的法向量为，而，，
故有，即令，则，故面的一个法向量为，
设面的法向量为，而，，
故有，即令，则
故面的一个法向量为，
而，不恒为，故A错误；
由题意，，
由于为中点，故B，到面距离相等，
从而
，即B正确；
易得面的法向量，而，
设与面所成角为，
故，
当时取最小值，此时取最小值，故C正确；
由题意，，，
故
从而与所成角的余弦值为，故D正确．
故选A．

二．填空题  

13.解：由题意，若说的两句话中，
甲读西游记正确，乙读红楼梦错误，则说的甲读水游传错误，
丙读三国演义正确则说的丙读西游记错误，乙读水游传正确，
则说的乙读西游记错误，丁读三国演义正确
与说的丙读三国演义正确相矛盾，不成立
若说的两句话中，乙读红楼梦正确，甲读西游记错误，
则说的乙读水浒传错误，丙读西游记正确，则说的乙读西游记错误，丁读三国演义正确，则说的丙读三国演义错误，甲读水并传正确，则丁读三国演义．  

14.解：

，

时，，得：

15.解：数列的前项和为，且点总在直线上，所以．
当时，，两式相减得，，
又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，∴n·an=n·2n-1

则，
所以，

两式相减得：．

所以数列的前项和．  

16.解：由椭圆，可得

由对称性可知，，故①正确；
，的坐标分别为，，设，，，，
若时，可得，解得，故②错误；
直线与椭圆交于，两点，，两点的坐标分别为，，
，当且仅当，

即时取等号，故③正确；
设，当时，，设，则，
由余弦定理可得，，，
，又，，，解得，故④正确．故选：
三、解答题：

17.证明：因为，所以，
所以，所以，所以，所以，

由正弦定理得；
解：，当且仅当时等号成立，
则当时，取得最小值，
又，所以角最大值为，
此时为等边三角形，所以的面积为． 

18.解：证明：取的中点，连接，，如图，
在等边中，由题意知，在中，

，则，
，平面，，平面，
平面，，
在三棱柱中，AD∥BE，四边形BCFE是平行四边形，
则，四边形为矩形；
取的中点，连接，，过作，如图，
则，
平面，平面，BC⊥PD，
是平面与平面夹角或其补角，
在等边中，，则，
在中，，
平面，平面，平面平面，
平面平面，且，平面，
是侧棱与底面所成角，即，
在中，，
设，化简得，解得或舍，，
在中，，
平面与平面夹角的余弦值为． 

19.解： 设小区方案一的满意度平均分为，
则．
设小区方案二的满意度平均分为，
则
．
方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎．
由题意可知：小区即方案一中，满意度不低于分的频率为（0.031+0.021+0.010）×10=0.62，以频率估计概率，赞成率为62%。
小区即方案二中，满意度不低于分的频率为，以频率估计概率，赞成率为。小区可继续推行方案二．
（3）现从小区内随机抽取个人，的所有可能取值为，，，，，，则∽
，．，
，，
，，
的分布列为

数学期望． 

20. 解：由题意可知，，
又，，抛物线的标准方程为．
证明：显然直线斜率存在，设直线的方程为，
联立方程，消去得，，
设，，，，，
直线的方程为，
联立方程，化简得，，
设，则，由得，
，
若直线斜率不存在，则，又，，
，直线的方程为，
若直线的斜率存在，为，
直线的方程为，即，
将代入得，，
直线斜率存在时过点，由可知，直线过定点．
，
，
由得，，，
由，且，可得，且，
，
设，，，
，且，，，的取值范围为． 

21解：函数  定义域为  ，  ， 

 在  处取得极值，则  ， 

所以  ，此时  ， 

令  ，  ，则  ， 

所以  在  上单调递增，所以  在  上单调递增，且  ，

所以当  时，  ，  单调递减，当  时，  ，  单调递增．

故  的单调递减区间为  ，单调递增区间为   

依题意即  在  上有两个根，

整理为  ，即  ， 

设函数  ，则上式为  ，

因为H  恒成立，所以H  单调递增，所以  ，

所以只需  在  上有两个根， 

令  ，  ，则  ，

当  时，  ，当  时，  ， 

故  在  处取得极大值即最大值，  ， 

且当  时  ，当  时  ， 

要想  在  上有两个根，只需  ，解得  ，

所以  的取值范围为  ．

选考题：

22. 解：直线的普通方程为，

又曲线的极坐标方程为，，
曲线的普通方程为，即，
又在圆上，圆心到直线的距离为，
到距离的最大值为；
，解得或，
又在第一象限，，
点，在曲线上，设，，
代入曲线的极坐标方程得，
，，
故的面积为． 

23. 解：(1)当时，，即，解得，故；
当时，，即，，则；
当时，，即，解得，故，
综上所述，原不等式的解集为；
证明：若，则；
若，则；
若，则，
所以函数的最小值，故．又、，为正数，
则．当且仅当，时等号成立，
所以．