2023届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学（文）试题含解析

2023届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解不等式，得到，进而求出交集.

【详解】，

故.

故选：C

2．满足（为虚数单位）的复数（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法化简可得复数.

【详解】由复数的除法可得.

故选：A.

3．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线的焦点为求解.

【详解】因为抛物线，

所以，所以焦点坐标为

故选：B

4．下图为2012年─2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（    ）

A．2012年─2021年电子信息制造业企业利润总额逐年递增

B．2012年─2021年工业企业利润总额逐年递增

C．2012年─2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速

D．2012年─2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值

【答案】C

【分析】根据折线图给出的数据进行计算可判断出答案.

【详解】对于A，2018年电子信息制造业企业利润总额增速为负数，从2017到2018利润总额下降，故A不正确；

对于B，2015年工业企业利润总额增速为负数，从2014到2015利润总额下降，2019年工业企业利润总额增速为负数，从2018到2019利润总额下降，故B不正确；

对于C，2012年─2017年电子信息制造业企业利润总额增速均为正数，所以利润总额均较上一年实现增长，且其增速均大于当年工业企业利润总额增速，故C正确；

对于D，2012年─2021年工业企业利润总额增速的均值为，2012年─2021年电子信息制造业企业利润总额增速的均值为，，故D不正确.

故选：C

5．若实数满足约束条件则的最大值是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义，确定目标函数的最优解.

【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

目标函数，可化为直线，

当直线过点时在上的截距最大，此时目标函数取得最大值，

又由，解得，

所以目标函数的最大值为.

故选：C.

6．若圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则它的底面面积与侧面面积之比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，可得出、的等量关系，再利用圆锥的侧面积和底面积公式计算可得结果.

【详解】设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，由题意可得，，

所以，该圆锥的侧面积为，底面积为，

所以，该圆锥的底面面积与侧面面积之比是.

故选：D.

7．下列命题中错误的是（    ）

A．在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强

B．对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大

C．线性回归直线恒过样本中心

D．在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

【答案】B

【分析】相关系数来说，越接近，相关程度越大，说明拟合效果更好可判断A；由随机变量的观测值可判断B；由线性回归直线一定恒过样本中心可判断C；由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断D.

【详解】对于A，回归分析中，对于相关系数，

越接近，相关程度越大，说明拟合效果更好，A对；

对于B，对分类变量与，它们的随机变量的

观测值越小，说明“与有关系”的可能性越小，B错；

对于C，由线性回归直线，其中，

所以一定恒过样本中心，所以C正确；

对于D，在回归分析中，残差平方和越小，模型的

拟合效果越好，D正确.

故选：B

8．若函数在处有极大值，则实数的值为（    ）

A．1 B．或 C． D．

【答案】D

【分析】根据极大值的定义进行求解即可.

【详解】由，

因为函数在处有极大值，

所以有，或，

当时，，

当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以是函数的极小值点，不符合题意；

当时，，

当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以是函数的极大值点，符合题意，

故选：D

9．已知直线和平面．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系即可判断.

【详解】因为，

若，则可得，必要性成立；

若，则或都有可能，但是不一定成立，充分性不成立.

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选:B.

10．已知数列的前项和为．若，则（    ）

A．512 B．510 C．256 D．254

【答案】C

【分析】根据与的关系，结合等比数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】由，

所以数列是以2为首项，2为公式的等比数列，于是，

故选：C

11．日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射．因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是平均消光系数（也称衰减系数），（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海区10米深处的光强是海面光强的，则该海区消光系数的值约为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，列出方程，得到，两边取对数后，求出的值.

【详解】由题意得：，即，

两边取对数得：，

故.

故选：A

12．已知侧棱长为的正四棱锥各顶点都在同一球面上．若该球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作图，分外接球的球心在锥内和锥外2种情况，运用勾股定理分别计算.

【详解】设四棱锥为 ，底面 的中心为O，

设外接球的半径为R，底面正方形的边长为2a，四棱锥的高为 ，则 ， ，

当外接球的球心在锥内时为 ，在 中， ，

即…① ，在 中， ，即 …②，

联立①②，解得 （舍）；

当外接球的球心在锥外时为 ，在 中，，

即…③，在 中， ，即 …④，

联立③④解得 ，四棱锥的体积 ；

故选：D.

二、填空题

13．在公差为d的等差数列中，已知，则__________．

【答案】

【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案.

【详解】由题意公差为d的等差数列中，,

则,即,

故,

故答案为:

14．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________．

【答案】

【分析】求出圆心和半径，及双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出，得到离心率.

【详解】化为，圆心为，半径为1，

的渐近线方程为，

则，解得：，即，

故离心率为2.

故答案为：2.

15．已知平面向量满足，则__________．

【答案】##

【分析】根据所给条件平方后可得，再求出，可知向量与夹角相等，即可求解.

【详解】由平方可得：，又，

，即，

由知，，

又，，

且为锐角，

，

，

解得，

故答案为：

16．已知函数．有下列结论：

①若函数有零点，则的取值范围是；

②若，则函数的零点为；

③函数的零点个数可能为；

④若函数有四个零点，则，且．

其中所有正确结论的编号为__________．

【答案】②③④

【分析】分离常数，，求函数值域得的取值范围.

代入，解得，，.

设的根为，分类讨论方程根的个数，当方程有四个根时，，且，可求得的取值范围，根据的对称性，可求得.

【详解】，

令，，

，故①错误.

当时，，，故②正确.

,

令，

设方程有两个零点，，.

当方程无零点.

当，方程有个零点.

当，且，方程有个零点.

当，方程有个零点.

故③正确.

若函数有四个零点，

有两个零点，

，则，且，

,

又关于对称，

设对应两根，对应两根，

，故④正确.

故答案为：②③④.

三、解答题

17．成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践､社区治理与邻里守望､环境保护等13大领域．已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中的值；

(2)已知评分在的队伍有4支，若从评分在的队伍中任选两支队伍，求这两支队伍至少有一支队伍评分不低于85分的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用直方图中各矩形面积和为1列方程求解即可；

（2）由直方图求得不低于90分的队伍有2支，评分在的队伍有2支．评分在分的队伍有6支，再利用列举法可得两支队伍至少有一支队伍评分不低于85分的概率．

【详解】（1）由，

解得．

（2）由题意知不低于90分的队伍有支，故评分在的队伍有2支．

评分在分的队伍有支．

记评分落在的4支队伍为；评分落在的2支队伍为，．

则从评分在的队伍中任选两支队伍的基本事件有：，，，共15个．

其中两支队伍至少有一支队伍评分不低于85分的基本事件有：，，共9个．

故所求概率为．

18．记的内角所对边分别为．已知．

(1)求的大小；

(2)若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．

条件①：；条件②：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合内角和公式，三角函数恒等变换化简求；

(2)若选①，由正弦定理求，由条件求，结合三角形面积公式求面积，

若选②，由条件可设，利用余弦定理求，结合三角形面积公式求面积.

【详解】（1），

由正弦定理知，即．

在中，由，

．

．

．

．

（2）若选择条件①，由正弦定理，得．

．

又，即．

．

．

若选择条件②，由，即．

设．

则．

由，得．

．

．

19．如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足．将沿折起，得到如图②所示的四棱锥．

(1)若为的中点，平面平面，求四棱锥的体积；

(2)设平面平面，证明：平面．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出平面，再根据棱锥的体积公式可求出结果；

（2）根据线面平行的判定定理和性质定理推出，再根据线面垂直的判定定理可证结论正确.

【详解】（1）由题意得．

平面平面平面，平面平面，

平面．

为的中点，

．

．

四棱锥的体积为．

（2），平面平面，

平面．

平面，平面平面，

．

由图①，得，

．

平面，平面，，

平面．

20．已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形．经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为8．

(1)求椭圆的方程；

(2)求的面积的最大值及此时直线的方程．

【答案】(1)；

(2)最大值3，此时直线的方程为.

【分析】（1）由为等边三角形，得到，由椭圆定义得到的周长为，求出，进而求出，得到椭圆方程；

（2）推理出直线斜率不为0，设出直线，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出的面积，换元后结合基本不等式求出最大值及此时直线的方程.

【详解】（1）由为等边三角形，，，

故，

，

的周长为，得．

，

椭圆的方程为；

（2）由（1）知，且直线斜率不为0．

设直线．

由消去，得，

显然，

，

由面积，

而，

设，则．

在上单调递增，

当时，．

即当时，取得最大值3，此时直线的方程为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．

21．已知函数．

(1)若，求的取值范围；

(2)当时，证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）构造，利用导数的性质判断的单调性进行求解即可；

（2）构造，利用导数的性质判断的单调性，结合函数零点存在原理进行求解即可.

【详解】（1）记．

则恒成立，即．

当，当，

在上单调递增，在上单调递减．

．解得．

实数的取值范围是；

（2）记．

在上单调递增．

令，

则，所以即在上单调递增．

由，知．

．即，

当单调递减；当单调递增．

，

由（*）式，可得．

代入式，得．

由（1）知，当时有，

故．．

由．

故，即，原不等式得证．

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

22．在直角坐标系中，圆心为的圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求圆的极坐标方程；

(2)设点在曲线上，且满足，求点的极径．

【答案】(1)

(2)1或

【分析】（1）根据参数方程，直角坐标方程，极坐标方之间的相互转化关系即可求解；（2）根据极坐标方程和余弦定理以及一元二次方程即可求解.

【详解】（1）由圆的参数方程消去参数，得圆的普通方程为

，圆心．

把代入，

化简得圆的极坐标方程为．

（2）由题意，在极坐标系中，点．

点在曲线上，设．

在中，由余弦定理有，

即．

化简得．

解得或．

故或．

点的极径为1或．

23．已知、为非负实数，函数．

(1)当，时，解不等式；

(2)若函数的最小值为，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当，时，可得出，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式可得出，再利用柯西不等式可求得的最大值.

【详解】（1）解：当，时，．

当时，，解得，此时；

当时，，此时原不等式无解；

当时，，解得，此时．

综上，不等式的解集为.

（2）解：由，

因为，，当且仅当时，等号成立，

．

所以，，即，

所以，，

当且仅当时，即当，时，等号成立，

综上，的最大值为．