专题07 功能关系和能量守恒定律 ——【备考2023】高考物理计算题专题精讲精练学案（原卷版+解析版）

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一、和功有关的基本公式：
①功：；（此公式只适用于恒力做功）
②总功：；；
③重力做功：；（重力做功多少只与物体初、末位置的高度差有关，与运动路径无关）
④功率：；
二、与能量有关的基本公式：
①动能：；
②弹簧弹性势能：；
③重力势能：；
④动能定理：
⑤机械能守恒定律：，，；
⑥功能关系：，；
⑦能量守恒定律：或。
在解与功能关系和能量守恒定律有关的计算题时，应首先正确选取研究对象，确定研究过程；然后对其过程进行分析，①分段或全程，对研究对象进行受力分析，明确各力的做工情况，②分析初、末状态，确定能量变化；最后针对不同的研究对象或研究过程，选择动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律或利用功能关系列出方程求解即可。
一、动能定理
1.若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以视全过程为整体来处理。
2.应用动能定理解题的基本步骤
（1）选取研究对象，明确它的运动过程。
（2）分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力？每个力是否做功？做正功还是做负功？做多少功？然后求各个外力做功的代数和。
（3）明确物体在始、末状态的动能和。
（4）列出动能定理的方程及其他必要的辅助方程，进行求解。
动能定理中的是物体所受各力对物体做的总功，它等于各力做功的代数和，即若物体所受的各力为恒力时，可先求出，再求
3.一个物体动能的变化与合外力做的功具有等量代换的关系。因为动能定理实质上反映了物体动能的变化，是通过外力做功来实现的，并可以用合外力的功来量度。
，表示物体动能增加，其增加量就等于合外力做的功；
，表示物体动能减少，其减少量就等于合外力做负功的绝对值；
，表示物体动能不变，合外力对物体不做功。
这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。
二、机械能守恒定律的应用
1.应用机械能守恒定律与动能定理解决问题的区别：
（1）适用条件不同：机械能守恒定律适用于只有重力和弹力做功的情形；而动能定理没有此条件的限制，它的变化量对应于外力所做的总功。
（2）分析内容不同：机械能守恒定律解题只分析研究对象的初、末状态的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）；而用动能定理解题时，分析研究对象的初、末状态的动能，此外还要分析该过程中所有外力所做的总功。
（3）机械能守恒定律与动能定理解题时的方程不同。
2.机械能守恒定律的几种表述形式：
若某一系统的机械能守恒，则机械能守恒定律可以表示为如下的形式：
（1）初状态的机械能等于末状态的机械能：
（2）系统势能（或动能）的增加量等于动能（或势能）的减少量：
（3）系统内A物体的机械能减少量等于B物体的机械能增加量：。
三、功能关系的主要形式有以下几种：
（1）合外力做功等于物体动能的增加量（动能定理），即。
（2）重力做功对应重力势能的改变，，重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加。
（3）弹簧弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。
（4）除重力以外的其它力做的功与物体机械能的增量相对应，即
①除重力以外的其它力做多少正功，物体的机械能就增加多少；
②除重力以外的其它力做多少负功，物体的机械能就减少多少；
③除重力以外的其它力不做功，物体的机械能守恒。
（5）电场力做功与电势能的关系，，电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
（6）安培力做正功，电能转化为其它形式的能；克服安培力做功，其它形式的能转化为电能。
（7）在应用功能关系时应注意，搞清力对“谁”做功的问题，对“谁”做功就对应“谁”的位移，引起“谁”的能量变化。如子弹物块模型中，摩擦力对子弹的功必须用子弹的位移去解。功引起子弹动能的变化，但不能说功就是能，也不能说“功变成能”。功是能量转化的量度，可以说在能量转化的过程中功扮演着重要角色。
四、用能量守恒解题的步骤：
（1）首先分清有多少种形式的能在变化；
（2）分别列出减少的能量和增加的能量；
（3）列恒等式求解；
五、摩擦力做功与产生内能的关系
1．静摩擦力做功的特点
（1）静摩擦力可以做正功还可以做负功，也可能不做功；
（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其它形式的能量；
（3）相互摩擦的系统，一对静摩擦力所做功的代数和总等于零。
2．滑动摩擦力做功的特点
（1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功（如相对运动的两物体之一相对地面静止，则滑动摩擦力对该物体不做功）；
（2）在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力，对物体系统所做总功的多少与路径有关，其值是负值，等于摩擦力与相对位移的积，即，表示物体系统损失了机械能，克服了摩擦力做功， （摩擦生热）；
（3）一对滑动摩擦力做功的过程中能量的转化和转移的情况：一是相互摩擦的物体通过摩擦力做功将部分机械能转移到另一个物体上，二是部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量。
典例1：（2022·湖北·高考真题）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。
（1）求C的质量；
（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；
（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。
典例2：（2022·北京·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W；
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比；
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。
典例3：（2022·海南·模拟）如图所示，长度的光滑水平轨道BC左端与半径的竖直四分之一光滑圆弧轨道AB在B点平滑连接，右端与竖直半圆形光滑轨道CDE在C点平滑连接。将一质量的小物块从距离A点正上方处由静止释放，小物块恰好能到达E点。重力加速度g取10m/s2，求：
（1）物块通过B处时对轨道的压力大小：
（2）半圆弧轨道CDE的半径；
（3）若水平面BC粗糙且与物块之间的动摩擦因数，通过计算说明小物块在半圆轨道CDE上运动时是否会脱离半圆形轨道：若不会脱离半圆轨道，小物块最终会停在何处。（结果用分式表示）
典例4：（2022·广东惠州·模拟）某快递点的传送装置（传送带与水平面的夹角）因停电而锁止，工人找了块质量为的带钩木板置于传送带上，再在木板上放置货物，通过轻绳与木板钩子相连，工人可在高处工作台对木板施加平行于传送带方向、大小为的拉力，使得货物能从静止开始向上运动。已知木板与传送带间的动摩擦因数，货物质量，货物与木板间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，，求：
（1）货物的加速度大小？
（2）拉力作用（货物未到达顶端）后，货物的机械能增加量？
（3）已知传送带顺时针稳定转动的速度为（k可调，且）。某次工作中，当木板的速度到后，突然来电，工人马上撤去拉力，不计传送带的加速时间。k取何值时，撤去拉力至木板速度减为0的过程中（仍未到达顶端），木板与传送带之间的摩擦所产生的热量最小？
1．（2022·海南·昌江黎族自治县矿区中学二模）如图所示，四分之一光滑圆轨道AB固定在竖直平面内，粗糙水平轨道BC与圆弧AB相切于B点。现将一质量为m=1kg，可视为质点的物块从与圆心等高的A点静止释放，物块滑至圆弧轨道最低点B时的速度大小为，之后物块向右滑上动摩擦因素的粗糙水平轨道BC，取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。
（1）求光滑圆轨道AB的半径大小R；
（2）物块滑至圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小F；
（3）物体最终停下来，求物体在水平面上通过的位移x。
2．（2022·四川省内江市第六中学模拟）中国首艘航母“辽宁号”已投入使用，歼-15 是我国自主研制的重型轰炸机，具备优秀舰载机特点。2012年11月，歼-15舰载机在“辽宁号”上成功完成首次上舰飞行试验，是我国航空、舰船技术发展的重大跨越。假若有一质量的战机在某一航母上采用滑行起动加速达到的起飞速度飞离航母，甲板的水平跑道长。设战机起飞的过程为匀加速运动，运动中地面、空气的平均阻力为机重的倍，且航母保持静止。（） 求：
（1）喷气发动机的平均推力大小。
（2）假若航母跑道只有长，现代航母主要采用弹射系统给战机以一定初速度，求这种方法下弹射系统使战机具有的最小速度和此过程弹射系统对战机所做的功。
3．（2022·浙江·模拟）某游乐场的滑梯可以简化为如图所示竖直面内的ABCD轨道，AB为长、倾角的斜轨，BC为水平轨道，CD为半径、圆心角的圆弧，轨道AB段粗糙其余各段均光滑。一小孩（可视为质点）从A点以初速度下滑，沿轨道运动到D点时的速度恰好为零（不计经过B点时的能量损失）。已知该小孩的质量，取，，不计空气阻力，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）该小孩第一次经过圆弧C点时，对圆弧轨道的压力；
（2）该小孩在轨道AB上第一次从A下滑到B的时间t；
（3）若将AB段轨道改为圆弧形状（图中虚线部分，轨道材质不变），试定性说明题设条件下小孩在轨道上游玩时是否会冲出D点而发生危险？
4．（2022·浙江·模拟）如图，在倾角为37°的绝缘斜面AB段，有垂直斜面向下的匀强电场E。质量，电荷量为的物体（视为质点），以初速度从A开始下滑，经过斜面底端C点后进入绝缘水平面运动，直到停止在D处，已知物体与斜面、水平面的动摩擦因数均为。已知，，物体经过C时没有能量损失，求：
（1）物体到达C时的瞬时速度；
（2）斜面AB段的长度；
（3）从A点运动到D点总时间。
5．（2022·河南信阳·一模）如图所示，竖直平面内固定一半径为R的光滑半圆环，圆心在O点。质量均为m的A、B两小球套在圆环上，用不可形变的轻杆连接，开始时A与圆心O等高，B在圆心O的正下方。已知轻杆对小球的作用力沿杆方向，重力加速度为g。
（1）对B施加水平向左的力F，使A、B静止在图示位置，求力的大小F；
（2）由图示位置静止释放A、B，求此后运动过程中A的最大速度的大小v。
6．（2022·四川巴中·模拟）滑板是同学们喜爱的体育运动，如图所示，一同学正在进行滑板运动。图中ABD是同一水平路面，BC是一段R = 4m的圆弧路面，圆弧的最高点C与其圆心O在同一竖直线上，BC圆弧对应的圆心角为37°，该同学从A点由静止开始在AB路段单脚用力蹬地，然后收腿和滑板一起冲上圆弧路段到达C点，在C点时滑板对路面的压力为300N；已知他和滑板的总质量为50kg，不计滑板与各路段之间的摩擦力以及经过B点时的机械能损失。已知重力加速度g = 10m/s2，cs37° = 0.8，sin37° = 0.6。求∶
（1）从C点水平抛出，其落地点与C点的水平距离x为多少？
（2）该同学在AB段消耗的体能中有多少焦转化为他和滑板的机械能。
7．（2022·广东惠州·模拟）如图所示，水平面与两段半径均为R、圆心角分别为和的竖直光滑圆轨道在B、C两点平滑连接。轻质弹簧左端固定、质量为m可视为质点的小球在外力作用下把弹簧压缩到P处（未拴接），由静止释放小球，小球向右运动脱离弹簧后，从B点进入圆轨道，刚好能从最高点D脱离圆轨道水平飞出。已知重力加速度为g，不计空气阻力。求：
（1）小球从D点做平抛运动的水平位移大小；
（2）改变小球初始释放位置，小球刚好能上升到D点，求从B点进入圆轨道时受到的支持力大小；
（3）在（2）的情景下，处于D点处的小球由于微小扰动继续沿圆弧轨道向右滑动，从Q点（未画出）脱离竖直圆轨道，求Q点到D点的竖直高度h。
8．（2022·海南·昌江黎族自治县矿区中学模拟）在某一旅游景区，建有一山坡滑草运动项目。设山坡AB可看成长度为L=50m、倾角θ=37°的斜面，山坡低端与一段水平缓冲段BC圆滑连接。一名游客连同滑草装置总质量m=80kg，滑草装置与AB段及BC段间动摩擦因数均为µ=0.25。他从A处由静止开始匀加速下滑，通过B点滑入水平缓冲段。 不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°≈0.6。结果保留2位有效数字。求：
（1）游客在山坡上滑行时的加速度大小；
（2）另一游客站在BC段上离B处60m的P处观看，通过计算判断该游客是否安全。
9．（2022·河南安阳·模拟）如图所示，水平直轨道与光滑圆弧轨道相切于B点，处于自然状态的轻弹簧左端与墙壁相连，A是弹簧末端。质量为m的小滑块静止放在B点，A、B之间的距离为5L。某时刻给小滑块施加一个大小等于mg的恒定推力F，F与竖直方向夹角。小滑块在推力F的作用下由静止向左运动并压缩弹簧最短至О点，然后从О点向右反弹，小滑块运动到A点右侧且与A相距2L的位置时速度为零。已知小滑块与水平面间的动摩擦因数，重力加速度大小为g。
（1）求小滑块第一次向左运动到达A点时速度的大小；
（2）求О点与A点的距离以及弹簧的最大弹性势能；
（3）若去掉推力F，将滑块推至О点由静止释放，小滑块运动到圆弧轨道最高点C后做平抛运动，经过与圆心等高的D点（图中未画出），D与圆心水平距离为圆弧半径2倍，求圆弧半径以及滑块经过B点时的速度大小。
10．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）从分解的角度研究某一运动是物理学分析问题的基本方法，其中即可以沿着固定的方向进行分解（固定不动的直角坐标系），也可以始终沿着平行速度与垂直速度方向进行分解（自然坐标系）。
（1）如图1，将一物体以速度水平抛出，若重力加速度为g，且不计空气阻力。那么当物体的速度方向与水平方向夹角为60°时，求：
a．此时物体速率的大小；
b．此时物体运动对应的曲率半径的大小（提示：研究曲线运动时，尽管曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，如图所示）。
（2）如图2所示，把一个有孔的小球A装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在沿水平x轴的光滑杆上，能够在杆上自由振动。另一小球B在竖直平面内以为圆心，在电动机的带动下，沿顺时针方向做半为径R的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球B，然后调节B球转动的角速度，可以实现小球B在x方向上的“影子”和小球A在x轴上的位置时时重合。已知弹簧劲度系数为k，小球A的质量为m，小球B的角速度为。
a．要实现这一现象，请推导角速度与劲度系数k必须满足的关系；
b．结合a的结论，请论证弹簧振子的运动周期与其振幅无关。