八年级数学竞赛培优专题及答案 26 相对相称—对称分析法

专题26  相对相称—对称分析法

阅读与思考

    当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.

    对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：

1.代数中的对称式

如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式，表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.

    2.几何图形的对称

    几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.

例题与求解

【例l】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是         .                   (荆门市中考试题)                     

解题思路：作M关于AC的对称点，连MN交AC于点P，则PM+PN的值最小.

【例2】已知，均为正数，且，求W=的最小值.

                                                                     （北京市竞赛试题）

解题思路：用代数的方法求W的最小值较繁，的几何意义是以a，b为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W的最小值.

【例3】已知，求证：                （四川省竞赛试题）

解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．

【例4】 如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，

求证：BC＋AD＞AB＋CD .

                                                        （“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC为对称轴，将部分图形翻折．

【例5】如图，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BM＋MN的值最小，求这个最小值.                                           （北京市竞赛试题） 

解题思路：要使BM＋MN的值最小，应该设法将折线BM＋MN拉直，不妨从作出B点关于AC的对称点入手.

能力训练

1.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC＋∠BCF＝，则∠AFE＋∠BCD的大小是       .                                         (武汉市中考试题)

      (第1题图)                 （第2题图）                   （第3题图）

2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2，点E在BC上，且AE＝EC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是          .

                                                                    (济南市中考试题)

3. 如图，∠AOB＝，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q，P分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长最小值是         .

4. 比大的最小整数是          .                 （西安交通大学少年班入学试题）

5.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE＝2，P在BD上，则PE＋PC的最小值为（   ）.

   A．           B．          C．       D．

6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有(     ) .

 A．1个         B．2个            C．3个            D．4个

              (南京市中考试题)

7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（    ）.

A．英里       B．16英里       C．17英里        D．18英里

                                                             （美国中学生竞赛试题）

    (第5题图)                      （第7题图）                      （第8题图）

8.如图，等边△ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设PA＋PM的最大值和最小值分别为S和L，则等于（    ）

A．           B．          C．           D．

9.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知=，求与的值.                                                    （江苏省竞赛试题）  

10. 求代数式的最小值.

                                         （“希望杯”邀请赛试题）

11. 在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．

观察计算

（1）在方案一中，         km（用含的式子表示）；

（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，         km（用含的式子表示）．

探索归纳

（1）① 当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

     ② 当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）对（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？                           

                                                                 (河北省中考试题)

12．如图，已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）

（1）若P（，0）是轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求的值；

（2）若C（，0），D（，0）是轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；

（3）设M，N分别为轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（，0）、N（0，），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．

13.在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．

（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；

（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．

 (宁夏中考试题)

14. 阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动…如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少？

小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．

   请你参考小贝的思路解决下列问题：

   (1) P点第一次与D点重合前与边相碰      次，P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是      cm．

   (2) 进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为      ．

                      专题26      相对相称

                             ————对称分析法

例1   5

例2     提示：将b=2-a代入    得，构造图形如下图，可得 W的最小值为.                                                                                                   

例3  提示：设  ，则，

即  ，可得 .

例4   证明   以AC为对称轴，将△ADO翻转，D点必落在BO上，设为，则 =AD，=OD；同理，将△BCO翻转，C点必落在AO上，设为，则,连接、、，交于E，则，

在△ABE和△中，有

①       +②得，，即AD+BC>AB+CD.                                                                               

例5   作B关于AC的对称点，连，则N关于AC的对称点在上的，这时 ，B到M的最小值等于 的最小值,等于B到的距离，即BM+MN的最小值为BH’。连接B与AB’和DC的交点P，则cm2

设AP=x，则PC=x，DP=20-x，由 ，得x=12.5，故cm，即BM+MN的最小值为16cm。

能力训练

1．300º   

2．4

3．提示：分别作点P关于OB，OA的对称点P1，P2，连P1P2分别交OB，OA于R，Q，则△PQR周长=PR+RQ+PQ= P1R+RQ+ P2QP1P2，连OP1，OP2，则OP1=OP2=OP=10，

，

所以 ，即△PQR的周长的最小值为

4．10582  提示：设，，则，，

5．B

6．C

7．C

8．B  提示：作点A关于BC的对称点D，在取BD的中点，

9． ，

10．13  提示：作线段AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AC=2，DB=3，在AB上去AP=x，则BP=12-x，即在AB上求点P，使PC+PD值最小，运用对称分析法可求。

11．提示：观察计算：（1）（a+2）      （2）

探究归纳：（1）①<    ②>

（2）

①当，即时，，，∴；

②当，即时，，，∴；

②当，即时，，，∴；

综上可知：当时，选方案二；当时，选方案一或方案二；当时，选方案一。

12．（1）作B（4，-1）关于x轴的对称点B’（4，1），连AB’，交x轴于点P，△PAB的周长最短，P（3.5，0），即x=3.5。

（2）将点B（4，-1）向左平移3个单位到，再作B1关于x轴的对称点，连AB，交x轴于点C，再将点C向右平移3个单位得到点D，得C（1.25，0），即a=1.25。

（3）作点A（2，-3）关于y轴的对称点A’（-2，-3），作点B（4，-1）关于x轴的对称点B’（4，1），连A’B’交x轴于点M，交y轴于点N，则四边形ABMN的周长最短，M（2.5，0），N（0，），即m=2.5，。

13．（1）正方形   （2）

14．（1）5；        （2）4：5