2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．2

【答案】C

【分析】利用并集的计算方法讨论即可.

【详解】由题意可得：

若，则，此时，，若，则或符合题意；

若，则，不符合题意.

故选:C

2．若复数是纯虚数，则z的共轭复数（    ）

A．－1 B．－i C．i D．1

【答案】C

【分析】由复数的乘、除法运算化简复数z，再由共轭复数的定义即可得出答案.

【详解】，

因为复数是纯虚数，所以，

则，所以.

故选：C.

3．“ ”是“函数为偶函数”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据充分必有条件的定义求解.

【详解】若 ，则 ，是偶函数；

若 是偶函数，对于任意的x，有 ，即 ，

，  ，不能推出 ，

所以“ ”是“是偶函数 ”的充分不必有条件；

故选：A.

4．下列各式中，其值为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式化简，即可求解.

【详解】由余弦的倍角公式，可得，

所以A不正确；

由正切的倍角公式，可得，

所以B不正确；

由正弦的倍角公式，可得，

所以C不正确；

由，

所以D正确.

故选：D.

5．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）之间的关系为，若要使牛奶保鲜时长超过96h，则应储藏在温度低于（    ）℃的环境中．（附：，，答案采取四舍五入精确到0.1）

A．10.0 B．10.3 C．10.5 D．10.7

【答案】A

【分析】解不等式即得解.

【详解】由题得，

所以.

所以应储藏在温度低于的环境中.

故选：A

6．已知向量，，则下列说法错误的是（   ）

A．若，则 B．

C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则

【答案】D

【分析】根据向量平行、模长的坐标公式以及数量积的几何意义一一判断求解.

【详解】对于A，若，则有，所以，A正确；

对于B，因为，，所以，

所以，所以当时，，B正确；

对于C，，所以，

又，

由得，，解得，C正确；

若与的夹角为钝角，则，即，

又与不能共线，由A选项可知，当时，，此时与共线且反向，

所以若与的夹角为钝角，则且，D错误.

故选：D.

7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象．若在上单调递增，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】原题意等价于在上单调递增，根据单调性，结合余弦函数的性质写出关于m的不等式组，求解即得.

【详解】原题意等价于在上单调递增，

∵，∴，

又∵，∴，

结合余弦函数可得，解得，

∴m的取值范围为.

故选：D.

8．已知△ABC满足，，则△ABC面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，利用面积公式和余弦定理表示出三角形的面积为，根据的范围即可讨论最大面积.

【详解】设，

所以，

又由余弦定理得，

所以，

由三角形的三边关系可得解得，

所以当时，面积有最大值为，

故选：B.

二、多选题

9．已知复数，，则下列结论中错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据复数运算的规则，逐项分析即可.

【详解】设 ，

对于A，有 ，正确；

对于B，若 ，则有 ，

比如 ，则有 ，但 ，错误；

对于C，若 ，则有 ，不妨设 ，并且 ，

则 ， 代入①，整理得 ， ， ；

若 ，则 或 ，若 代入①得 ，

若 代入①得 ，

综上， 正确；

对于D，若 ，表示 在复平面上对应的点到原点的距离相等，显然不能推出 ，

比如 ，则 ， ，错误；

故选：BD.

10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（    ）

A．筒车转动的角速度

B．当筒车旋转50秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为

C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为

D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒

【答案】ABD

【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质逐一判断即可.

【详解】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，

所以，因此A正确；

B：因为当时，盛水筒位于点，所以，

所以有，因为，所以，

即，

所以，因此B正确；

C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，

所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此C错误；

D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中，

盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是，因此D正确.

故选：ABD.

11．已知函数,下列说法正确的是(    )

A．若定义域为R,则 B．若值域为R,则

C．若最小值为0,则 D．若最大值为2,则

【答案】BCD

【分析】根据对数函数的单调性以及二次函数的性质逐项分析计算即可.

【详解】对于A，若函数定义域为R,则恒成立,

当时,恒成立,满足题意,

当时,则有,解得,

所以实数的取值范围为,故选项错误；

对于B，若函数值域为R,则能取尽大于零的所有实数，

当时,,不满足题意，

当时,则有,解得，

所以若值域为R,则,故选项正确；

对于C，若函数最小值为0,则有最小值1，

由二次函数的图象和性质得,解得,故选项正确;

对于D，若函数最大值为2,则有最大值4,

由二次函数的图象和性质得,解得,故选项正确.

故选:BCD.

12．已知函数，的定义域均为R，且，．若的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据抽象函数的奇偶性，对称性，结合条件，化简变形，再利用赋值法，判断ABC；判断函数的周期性，结合条件，即可判断D.

【详解】由题意知函数，的定义域均为R，

∵的图象关于直线x＝2对称，则，

∵，

∴，

∴，

故为偶函数，

由，得，

代入，得，

令，则，

∴，则，故B正确，C错误；

因为，令，则，

即，A正确；

由，故，

故由得，

∴，故．

所以是以4为周期的周期函数，

由，，令，则，得，

则，

又，令得，得，

又，

故，D正确．

故选：ABD．

【点睛】本题考察抽象函数的性质，以及化简变形，本题的关键是抽象函数性质的相关等式的变形，以及采用赋值法，可以赋值变量，也可以赋值常数.

三、填空题

13．已知，则的值为_______________．

【答案】

【分析】代入求解分段函数的函数值.

【详解】∵，

∴

故答案为：.

14．已知向量，，则在方向上的投影向量坐标是_______________．

【答案】

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】因为，，

所以向量在方向的投影向量为.

故答案为：.

15．在中，，，则_______________．

【答案】或

【分析】利用同角三角函数关系式先求出，的值，再利用展开求解即可.

【详解】在中，，，

所以，

又，，

所以，

所以，

当时，

，

当时，

，

故答案为：或.

16．在 中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段OA，OB于E，F两点，若，（，），则的最小值为_______________．

【答案】##1.6

【分析】以 为基底，求出 的表达式，再利用基本不等式求解.

【详解】如图：

由A，M，D三点共线，可得存在实数t，使得，

由B，M，C三点共线，可得存在实数m，使得，

所以，解得，所以，

因为E，M，F三点共线，所以存在实数x，使得，

所以，解得，

所以，

当且仅当，时，取等号；

故答案为：

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2) ．

【答案】(1)3

(2)10

【分析】根据指对幂的运算规则计算.

【详解】（1）

；

（2）原式；

综上，（1）原式=3；（2）原式=10.

18．已知函数．

(1)当，时，将函数解析式化为的形式；

(2)若当时，成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）去绝对值后，利用降幂公式，和辅助角公式，化简函数解析式；

（2）将不等式转化为恒成立，转化为求函数的最大值，即可求解.

【详解】（1）当，时，．

∴

；

（2）恒成立

①当时，由（1）知

∵，

∴当即时，；

②当时，

，当

∴当即时，；

综上可知，．

依题意得，解得，即为所求．

19．在△ABC中，已知，，角A的平分线AD与BC交于点D且．

(1)求的值；

(2)若___，求．

①，②，③，请从这三个条件任选一个，补充到上面问题的横线中解答．

【答案】(1)

(2)若选①， ；若选②，；若选③，.

【分析】（1）根据角平分线的性质求出点D的位置，再利用平面向量求模的方法求解；

（2）对3个条件逐一分析，找出点P的几何意义，建立坐标系求解.

【详解】（1）∵AD平分角A，由角平分线定理∴，∴，

设 ，则 ，

，  ，解得 ，

∴，， ，

解得；

（2）由及，得，

如图，建立平面直角坐标系xAy，

则，，．

选①，显然条件 表示点P为 的重心，

则AC的中点 ， ，设 ，根据重心的几何性质有 ，

，则重心，，；

；

选②，显然条件表示 的外接圆的圆心，则P在直线上，可设，

由，得，解得，

∴，，

所以 ；

选③，由条件 可得： ， ，即点P是 的垂心，

过B点作AC的垂线，则垂线方程为 ，垂心P在直线上，可设，

则，，

由，得，

∴，∴，，，

；

20．设函数，若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为R，．

(1)若，求B；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)先利用三角恒等变换化简，解出，再用正弦定理解三角形即可；

(2)先得出，再利用正弦定理将化为，最后利用三角函数的性质得出范围即可.

【详解】（1）由题意得

又，所以，解得．

又根据正弦定理，有，，，

由，有，得，

因为A，，所以，

∴．

（2）由（1）知，，

所以，

因为，即，所以，

则

，

，有，

所以，

所以的取值范围为．

21．如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角为45°（即），已知两座高塔的高AD为30m，BC为75m，塔底A，B在同一水平面上，且，．

(1)求两座高塔底部A，B之间的距离；

(2)为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？

【答案】(1)90m

(2)在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．

【分析】（1）分析图中的几何关系，运用正切的两角和公式求解；

（2）设 为变量，运用正切两角和公式和基本不等式求解.

【详解】（1）由题知，AD⊥AB，BC⊥AB，BC＝75，AD＝30，

如图，作DE⊥BC，垂足为E，

则四边形ABED为矩形，所以BE＝30，CE＝45，

设，，，则，，

，

，  ， （舍）， ，

两座高塔底部A，B之间的距离为90m；

（2）设AP＝t（0≤t≤60），则，

所以，，

所以

，

设（60≤m≤150），则，

所以

，

当且仅当即时，等号成立．

又因为在锐角范围内，越大，DPC越大，

所以当时，DPC取得最大值，此时，

在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果；

综上，两座高塔底部A，B之间的距离为90m；在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果.

22．已知函数．

(1)求值：；

(2)判断函数的单调性，并证明你的结论：

(3)求证有且仅有两个零点并求的值．

【答案】(1)0

(2)在和上单调递增，证明见解析；

(3)证明见解析；．

【分析】（1）计算即可发现和的规律；

（2）利用作差法即可判定其单调性；

（3）先根据单调性及零点存在性定理判定有两个零点，再由（1）判定两个零点的关系.

【详解】（1）由解析式可得定义域为：，有

∴

（2）函数的定义域为，记为区间，

在和上单调递增，

证明如下：

设，，则

①当时，，

∴，于是，

∴在上单调递增；

②当时，同理可得，，

即，

∴在上单调递增；

故在和上单调递增，

（3）由于在上单调递增，且，，

∴在上有且仅有一个零点；

由于在上单调递增，且，，

∴在上有且仅有一个零点．

因此有且仅有两个零点、．

由（1）知，

又∵，∴，

不妨设，则∴是在上的零点，而是在上的唯一零点，∴．

【点睛】本题考查函数的综合，属于压轴题.关键在于发现两个互为倒数的自变量其函数值的关系，以及零点存在性定理的使用.