湖南省五市十校教研教改共同体2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

湖南省五市十校教研教改共同体2022-2023年高一下学期

期中联考数学试题

一､单选题

1. 复数的虚部是（    ）

A.  B.  C. －1 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数虚部的定义即可求解.

【详解】由已知条件得，复数的虚部是，

故选：.

2. 若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得取最大值时的值.

【详解】因为正实数、满足，则，可得，

当且仅当时，即当时，等号成立.

故选：A.

3. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.

【详解】因为，所以

则．

故选：B.

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出，再根据指数函数的单调性和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.

【详解】∵，，，

∴．

故选：A.

5. 下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（    ）

A. 等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形

B. 若某一平面图形的直观图面积为，则原图形面积为

C. 原图形中相等的线段，其直观图也一定相等

D. 若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6

【答案】B

【解析】

【分析】根据斜二测画法相关知识可解.

【详解】等腰三角形的直观图仍是一个三角形，但不一定有两边相等，故A，C说法错误；原图形中，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半，故D说法错误；直观图的面积是原面积的倍，故B正确．

故选：B

6. 函数的零点所在的区间为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用零点存在定理求解.

【详解】解：因为，，，

所以，

所以函数的零点所在的区间为，

故选：C．

7. 若为锐角三角形，则（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据锐角三角形内角的取值范围，由正弦函数、余弦函数的性质进行辨析即可.

【详解】∵为锐角三角形，∴，，

∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴对于A，当时，，故选项A错误；

对于B，当时，，故选项B错误；

对于C，∵，，，∴，∴，

∴，即，

∴，故选项C错误；

对于D，由选项C中判断，，∴，故选项D正确.

故选：D.

8. 已知向量，，设函数，若为图象的对称轴，为图象的对称中心，且在区间 上单调，则ω的值为（    ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

【答案】A

【解析】

【分析】由两角的正弦公式可知，先利用对称轴与对称中心的距离和函数周期的关系可知为正奇数，再利用函数的单调性与周期的关系求出，由函数的对称中心可知，即可知或，最后带入验证即可求解.

【详解】，

∵的一条对称轴为，一个对称中心为，

∴,,∴，，∴为正奇数，

∵函数在区间上具有单调性，∴，∴，

∴，

又∵为图象的对称中心，∴，

∴，，，，

∴或，

∴当时，，

∵，∴，此时与在上单调矛盾；

综上可得：∴，

故选：.

二､多选题

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B. 棱台的侧面都是等腰梯形

C. 底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形

D. 棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面

【答案】CD

【解析】

【分析】根据圆锥、棱台、棱柱的定义及结构特征逐一判断即可.

【详解】圆锥是以直角三角形的某一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体，

当绕斜边旋转时，不是棱锥，故A错误；

棱台的侧面都是梯形，但棱台的侧棱不一定都相等，故B错误；

圆锥的轴截面是等腰三角形，其腰长为2r，又底面半径为r，故等腰三角形的底边为2r，

即该圆锥的轴截面为等边三角形，故C正确；

棱柱的侧面都为平行四边形，所以侧棱都相等，棱柱包含直棱柱与斜棱柱，

故侧棱不一定都垂直于底面，故D正确.

故选：CD.

10. 下列命题错误的是（    ）

A. 复数不能比较大小

B. ，

C. 若实数a，b互为相反数，则在复平面内对应的点位于第二或第四象限

D. 若复数，，其中a，b，c都实数，则可能为实数

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据复数的定义及分类，复数的乘方及复数的几何意义逐一分析判断即可.

【详解】复数包含实数和虚数，实数可以比较大小，故A错误；

若，则，故B错误；

当时，，其在复平面的对应点为原点，

不在第二象限，也不在第四象限，故C错误；

，若，则为实数，

若，则为纯虚数，故D正确．

故选：ABC.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 方向为北偏西60°的向量与方向为东偏南30°的向量是共线向量

B. 的内角A，B，C的对边分别a，b，c，若，则△ABC一定是等腰直角三角形

C. 若，则△ABC是锐角三角形

D. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若△ABC有两解，则b的取值范围是

【答案】AD

【解析】

【分析】根据共线向量定义判断A选项，应用正弦定理边角互化判断B选项，结合向量的数量积判断C选项，根据解的数量与边角的关系判断D选项.

【详解】对于A，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故A正确；

对于B，在中，若，由正弦定理可得，

∴，

∴或，

∴或，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，B错误；

对于C，由，得，

又，所以角A为锐角，但不一定为锐角三角形，故C错误．

对于D，若有两解，则，所以，故D正确．

故选：AD.

12. 已知函数，若对满足的，，且的最小值为，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 若函数为偶函数，则

C. 方程在上有4个相异的实数根

D. 若函数在上的最小值为－2，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，利用辅助角公式化简为，根据题意可得，从而求得即可判断；对于B，得到，令即可判断；对于C，由可得，从而可确定根的个数即可判断；对于D，由可得，从而令求解即可判断.

【详解】∵，且的最小值为，

∴，∴，∴， ∴，

对于A，，故A正确；

对于B，∵为偶函数，

∴，∴，

∵，∴，故B正确；

对于C，∵，，

∵，∴，

∴方程在上有3个相异的实数根，故C错误；

对于D，∵，∴，

∴，∴，故D正确．

故选：ABD

三､填空题

13. 写出一个最小正周期为的偶函数：_________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】结合余弦型函数的奇偶性和最小正周期可确定满足题意的函数.

【详解】为偶函数，令其最小正周期，解得：，

满足题意的一个函数为.

故答案为：（答案不唯一）.

14. 已知向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为_____（用坐标表示）．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解.

【详解】向量在向量上的投影向量是，

故答案为：.

15. 已知函数，若，恒成立，则实数t的取值范围是___________．

【答案】

【解析】

【分析】由，，分离参数可得，再由函数单调性可求t的取值范围.

【详解】，，，

，

∵在上递减，，

∴．

故答案为：

16. 如图，在Rt△AOC中，，圆O为单位圆．

（1）若点P在圆O上，，则______________

（2）若点P在△AOC与圆O的公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为__________

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】（1）根据结合数量积的运算律即可求出；

（2）法一：根据，结合余弦函数的性质即可得解.

法二：以O为原点，OA所在直线为y轴，OC所在直线为x轴建立坐标系，设，再根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得解.

【详解】（1）在△AOP中，，，，

，

则，

即

（2）法一：

，

因为，所以，

故的取值范围为．

法二：

以O为原点，OA所在直线为y轴，OC所在直线为x轴建立坐标系，

设，，，

所以，，

则

，

∵，则，∴，

，

即．

故答案为：（1）；（2）.

【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：

（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方；

（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；

（3）一些常见的等式应熟记：如，等.

四､解答题

17. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．

（1）求，的值；

（2）求的值．

【答案】（1），；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角函数的定义求解；

（2）利用诱导公式化简求值即可.

小问1详解】

由题意知，，

∴，

；

小问2详解】

原式，

由（1）知，，

∴．

18. 已知向量，，．

（1）求与垂直的单位向量的坐标；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，利用向量模长和垂直关系的坐标表示可构造方程组求得结果；

（2）利用向量平行的坐标表示可构造方程求得的值.

【小问1详解】

设与垂直的单位向量，

则，解得：或，

或.

【小问2详解】

，，又，

，解得：.

19. 已知复数，其中为实数且．

（1）若，求；

（2）若为纯虚数，且，求的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据共轭复数定义、复数运算法则和复数相等的条件可构造方程组求得结果；

（2）根据复数运算法则化简得到，由纯虚数定义可构造方程求得，由复数模长的范围可求得结果.

【小问1详解】

，，，

，解得：或，或.

【小问2详解】

为纯虚数，

，又，，则，即，

，，解得：，即的取值范围为.

20. 年湖南省油菜花节，益阳市南县罗文村（湖南省首个涂鸦艺术村）通过层层遴选，最终在全省个申办村庄中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图（如图）．

已知：四点共圆，，，，，其中（不计宽度）是观赏路线，与是油菜花区域．

（1）求观赏路线的长度；

（2）因为场地原因，只能使，求区域面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得，由此可得结果；

（2）在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果.

【小问1详解】

四点共圆，，，

，；

在中，由正弦定理得：，

，，，；

在中，由余弦定理知：，

即，解得：或（舍），

【小问2详解】

在中，，；

在中，由余弦定理得：，

（当且仅当时取等号），

，

即区域面积的最大值为.

21. 对于函数，，若存在实数k使得函数，那么称函数为，的k积函数．

（1）设函数，，，试判断是否为，的k积函数？若是，请求出k的值；若不是，请说明理由；

（2）设函数（其中，，），且函数图象的最低点坐标为，若函数，是，的1积函数，且对于任意实数，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）是，   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简，根据与的关系得出结论；

（2）根据函数图象的最低点求出，化简的解析式，再换元令，根据对勾函数的调性求出最小值即可得解.

【小问1详解】

因为

，

，

所以是、的k积函数，且；

【小问2详解】

由题意可得（，，），

因为函数图象的最低点坐标为，

由基本不等式得，

当且仅当，即当时，等号成立，

则，解得，

所以，

，

令，，

由对勾函数的单调性知，函数在上单调递减，

则，所以，

因此，实数a的取值范围为．

22. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，

．

（1）求角B；

（2）若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；

（3）若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）当且仅当时等号成立，；   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变形即可求解，或者先利用余弦定理可得，再利用正弦定理边化角即可求解；

（2）先利用向量的线性运算将用△的边长表示出来，再利用余弦定理以及基本不等式即可求解；

（3）由可知BD平分∠ABC，利用三角形面积公式可得，最后利用正弦定理及三角恒等变形即可求解.

【小问1详解】

法1：

∵，∴，

由正弦定理得,

即，

∴，

∴，

又∵，∴，∴，

又∵，∴；

法2：

∵，∴，

∴①，

在△ABC中，由余弦定理得，②，

由①②得，即

∴由正弦定理得，

又∵，∴，∴，

又∵，∴；

【小问2详解】

点是△内一动点，，

∴，

∴，∴，

由余弦定理知,

由基本不等式可得，即，，

∴，当且仅当时等号成立，

∴；

【小问3详解】

∵，∴，

∴，

又∵余弦函数在上单调，∴，即BD平分∠ABC，

又∵，，∴①，

又∵，，∴②，

由①②可得，

所以

，

又∵，且△为锐角三角形，∴，

∴，∴，

∴．