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初中数学人教七下第九章测试卷（1）
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这是一份初中数学人教七下第九章测试卷（1），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元测试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）如果不等式ax＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0
2．（3分）若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（ ）
A．a＜1＜ B．a＜＜1 C．＜a＜1 D．1＜＜a
3．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m=3
4．（3分）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的取值是（ ）
A．0 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．x＜4或x≥﹣2 C．﹣2≤x＜4 D．﹣2＜x≤4
7．（3分）已知ab=4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4 B．a≥﹣2 C．﹣4≤a≤﹣1 D．﹣4≤a≤﹣2
8．（3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）王老师带领学生到植物园参观，门票每张5元，购票才发现所带的钱不足，售票处工作人员告诉他：如果参观人数50人以上（含50人），可以按团体票享受8折优惠，于是王老师买了50张票，结果发现所带的钱还有剩余，那么王老师和他的学生至少有（ ）人．
A．40 B．41 C．42 D．43
10．（3分）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（3分）一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是 ．
12．（3分）不等式2（x﹣3）≤2a+1的自然数解只有0、1、2三个，则a的取值范围是 ．
13．（3分）不等式组的解集是x≤3，那么a的取值范围 ．
14．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 ．
15．（3分）不等式的最小整数解是 ．
16．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围是 ．
17．（3分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2012= ．
18．（3分）已知不等式组，x的整数解是1、2、3，则最大整数解b和最小整数a的差为 ．
19．（3分）若不等式组的解集是空集，则a，b的大小关系是 ．
20．（3分）已知关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是 ．
三、解答题：（共60分）
21．（8分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来并写出非负整数解．
22．（8分）如果关于x的不等式组整数解仅为1、2、3，那么适合条件的有序整数对（a，b）共有多少个？
23．（10分）奥运会期间，某旅行社组团去北京观看某场足球比赛，入住某宾馆．已知该宾馆一楼房间比二楼房间少5间，该旅游团有48人，若全部安排在一楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满．若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则有房间没住满．你能根据以上信息确定宾馆一楼有多少房间吗？
24．（10分）附加题：某校组织部分师生到甲地考察，学校到甲地的全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案供选择：方案1：所有师生按票价的88%购票；方案2：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．你若是组织者，请你根据师生人数讨论选择哪种方案更省钱？
25．（12分）已知关于x、y的方程组，且它的解是一对正数．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m﹣4|+|m+1|．
26．（12分）为了更好地治理水质，保护环境，我县污水处理公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备可供选择，月处理污水分别为240m3/月、200m3/月，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）若污水处理公司购买设备的预算资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
（2）若每月需处理的污水约2040m3，在不突破资金预算的前提下，为了节约资金，又要保证治污效果，请你为污水处理公司设计一种最省钱的方案．
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）如果不等式ax＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0
【考点】C3：不等式的解集．
【分析】根据不等式的解集中不等号的方向不变进而得出a的取值范围．
【解答】解：∵不等式ax＜b的解集是x＜，
∴a＞0，
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出a的符号是解题关键．
2．（3分）若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（ ）
A．a＜1＜ B．a＜＜1 C．＜a＜1 D．1＜＜a
【考点】C2：不等式的性质．
【分析】代入一个特殊值计算比较即可．
【解答】解：当a=0.5时，=2，故选A．
【点评】代入特殊值进行比较可简化运算．
3．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m=3
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【专题】11 ：计算题．
【分析】先解不等式组，然然后根据不等式的解集，得出m的取值范围即可．
【解答】解：，
解①得，x＞3；
解②得，x＞m，
∵不等式组的解集是x＞3，
则m≤3．
故选A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据的法则是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
4．（3分）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的取值是（ ）
A．0 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】11 ：计算题．
【分析】首先根据不等式的性质，解出x≤，由数轴可知，x≤﹣1，所以，=﹣1，解出即可；
【解答】解：不等式2x﹣a≤﹣1，
解得，x≤，
由数轴可知，x≤﹣1，
所以，=﹣1，
解得，a=﹣1；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，并求出其公共解集，在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x≥1；
由②得，x＜2，
故此不等式组的解集为：1≤x＜2．
在数轴上表示为：
故选D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集及解一元一次不等式组，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
6．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．x＜4或x≥﹣2 C．﹣2≤x＜4 D．﹣2＜x≤4
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
解①得：
x≥﹣2，
解②得：
x＜4，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜4，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）已知ab=4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4 B．a≥﹣2 C．﹣4≤a≤﹣1 D．﹣4≤a≤﹣2
【考点】C2：不等式的性质．
【分析】根据已知条件可以求得b=，然后将b的值代入不等式﹣2≤b≤﹣1，通过解该不等式即可求得a的取值范围．
【解答】解：由ab=4，得
b=，
∵﹣2≤b≤﹣1，
∴﹣2≤≤﹣1，
∴﹣4≤a≤﹣2．
故选D．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．（3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】11 ：计算题．
【分析】先得出点M关于x轴对称点的坐标为（1﹣2m，1﹣m），再由第一象限的点的横、纵坐标均为正可得出关于m的不等式，继而可得出m的范围，在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m），
又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：．
故选：A．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识，及关于x轴对称的点的坐标的特点，根据题意得出点M对称点的坐标是解答本题的关键．
9．（3分）王老师带领学生到植物园参观，门票每张5元，购票才发现所带的钱不足，售票处工作人员告诉他：如果参观人数50人以上（含50人），可以按团体票享受8折优惠，于是王老师买了50张票，结果发现所带的钱还有剩余，那么王老师和他的学生至少有（ ）人．
A．40 B．41 C．42 D．43
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【分析】首先设王老师和他的学生共有x人，由题意得：5×人数＞5元×8折×人数，根据不等关系列出不等式，再解不等式即可．
【解答】解：设王老师和他的学生共有x人，由题意得：
5x＞5×80%×50，
解得：x＞40，
因此至少有41人，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出不等式．
10．（3分）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】根据已知得出关于m的不等式，求出即可．
【解答】解：∵x的不等式组无解，
∴m+1≤3﹣m，
解得：m≤1，
故选D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式．
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（3分）一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是 ﹣2＜b＜3 ．
【考点】F5：一次函数的性质．
【分析】将x=1时，y＜1及x=﹣1时，y＞0分别代入y=﹣2x+b，得到关于b的一元一次不等式组，解此不等式组，即可求出b的取值范围．
【解答】解：由题意，得，
解此不等式组，得﹣2＜b＜3．
故答案为﹣2＜b＜3．
【点评】本题考查了一次函数的性质，将已知条件转化为一元一次不等式组是解题的关键．
12．（3分）不等式2（x﹣3）≤2a+1的自然数解只有0、1、2三个，则a的取值范围是 ﹣1.5≤a＜﹣0.5 ．
【考点】C7：一元一次不等式的整数解．
【分析】首先求得不等式的解集，然后根据不等式的自然数解只有0、1、2三个，即可得到一个关于a的不等式，从而求得a的范围．
【解答】解：解不等式得：x≤a+3.5．
不等式的自然数解只有0、1、2三个，则自然数解是：0，1，2．
根据题意得：2≤a+3.5＜3，
解得：﹣1.5≤a＜﹣0.5．
故答案为﹣1.5≤a＜﹣0.5．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
13．（3分）不等式组的解集是x≤3，那么a的取值范围 a＞1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式的同小取小列出不等式，然后求解即可．
【解答】解：，
解不等式②得，x≤3，
∵不等式组的解集是x≤3，
∴2a+1＞3，
解得a＞1，
∴a的取值范围a＞1．
故答案为：a＞1．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
14．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 m≤3 ．
【考点】C3：不等式的解集．
【专题】2B ：探究型．
【分析】根据“同大取较大”的法则进行解答即可．
【解答】解：∵不等式组的解集是x＞3，
∴m≤3．
故答案为：m≤3．
【点评】本题考查的是不等式的解集，熟知“同大取较大”的法则是解答此题的关键．
15．（3分）不等式的最小整数解是 x=3 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据x是整数得出最小整数解．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＞2，
所以不等式组的解集为x＞2，
所以最小整数解为3．
故答案为：x=3．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
16．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围是 a≥2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】根据“大大小小找不到（无解）”的法则求解，但是要注意当两数相等时，解集也是空集即无解，不要漏掉相等这个关系．
【解答】解：不等式组无解，
根据大大小小找不到（无解）可知：2a﹣1≥a+1，
解得a≥2．
故答案为：a≥2．
【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．但是要注意当两数相等时，解集也是空集即无解，不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
17．（3分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2012= 1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【专题】11 ：计算题．
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据解集列出方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：，
解不等式①得，x＜，
解不等式②得，x＞a+2，
所以，不等式组的解集是a+2＜x＜，
∵不等式组的解集是﹣1＜x＜1，
∴a+2=﹣1，=1，
解得a=﹣3，b=2，
∴（a+b）2012=（﹣3+2）2012=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，根据不等式组的解集列出关于a、b的方程是解题的关键．
18．（3分）已知不等式组，x的整数解是1、2、3，则最大整数解b和最小整数a的差为 30 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得a、b的取值范围，得出答案即可．
【解答】解：不等式组
解集为≤x≤，
因为整数解为1、2、3，所以0＜≤1，3≤＜4，即0＜a≤9，24≤b＜32；
所因此b的最大整数为31，a的最小整数为1，差为31﹣1=30．
故答案为：30．
【点评】此题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（3分）若不等式组的解集是空集，则a，b的大小关系是 a≤b ．
【考点】C3：不等式的解集．
【分析】因为不等式组的解集是空集，利用不等式组解集的确定方法即可求出答案．
【解答】解：∵不等式组的解集是空集，
∴a≤b．
故答案为：a≤b．
【点评】本题考查由不等式组解集的表示方法来确定a，b的大小，也可以利用数轴来求解．
20．（3分）已知关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是 ﹣4＜a≤﹣3 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥a，
解不等式②，得x＜2，
∵不等式组有5个整数解，即：1，0，﹣1，﹣2，﹣3，
∴﹣4＜a≤﹣3，
故答案为：﹣4＜a≤﹣3．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围．
三、解答题：（共60分）
21．（8分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来并写出非负整数解．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】11 ：计算题．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣1；
由②得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4，即不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（8分）如果关于x的不等式组整数解仅为1、2、3，那么适合条件的有序整数对（a，b）共有多少个？
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组的解，得出关于a、b的不等式组，求出整数a、b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵解不等式9x﹣a≥0得：x≥，
解不等式8x﹣b＜0得：x＜，
∴不等式组的解集是≤x＜，
∵关于x的不等式组整数解仅有1，2，3，
∴0＜≤1，3＜≤4，
解得：0＜a≤9，24＜b≤32，
即a的值是1，2，3，4，5，6，7，8，9，
b的值是25，26，27，28，29，30，31，32，
即适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有72个．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出a、b的值．
23．（10分）北京奥运会期间，某旅行社组团去北京观看某场足球比赛，入住某宾馆．已知该宾馆一楼房间比二楼房间少5间，该旅游团有48人，若全部安排在一楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满．若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则有房间没住满．你能根据以上信息确定宾馆一楼有多少房间吗？
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【专题】12 ：应用题．
【分析】本题可设1楼有x间房，则2楼有x+5间房，再根据题意可列出不等式：4x＜48，5x＞48，且3（x+5）＜48，4（x+5）＞48，再分别计算出x的取值，在数轴上表示出来，看相交的部分有哪些即为答案．
【解答】解：
设1楼有x间房，则2楼有x+5间房，
根据题意有：4x＜48，x＜12，
5x＞48，x＞9.6，
且3（x+5）＜48，即x＜11，
4（x+5）＞48，x＞7．
在数轴上可表示为：
所以9.6＜x＜11
因此x=10
答：一楼有10间房．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要结合数轴来判断．
24．（10分）附加题：某校组织部分师生到甲地考察，学校到甲地的全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案供选择：方案1：所有师生按票价的88%购票；方案2：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．你若是组织者，请你根据师生人数讨论选择哪种方案更省钱？
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【专题】22 ：方案型．
【分析】方案1的收费=师生人数×25×88%，方案2的收费=20×25+（师生人数﹣20）×25×80%，将两者的收费进行比较，从而可根据师生人数确定选择何种方案．
【解答】解：设师生人数为x人，
则按方案1：收费为25×88%•x=22x
按方案2收费为：25×20+25（x﹣20）80%=20x+100
答：（1）由22x＜20x+100得x＜50，即当师生人数＜50人时，选择方案1更省钱；
（2）由22x=20x+100得x=50，即当师生人数等于50人时，两种方案所需的费用一样多；
（3）由22x＞20x+100得x＞50，即当师生人数＞50人时，选择方案2更省钱．
【点评】本题主要是根据师生人数选择确定选择方案．方案设计的问题是中考数学中就可以．
25．（12分）已知关于x、y的方程组，且它的解是一对正数．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m﹣4|+|m+1|．
【考点】97：二元一次方程组的解；CB：解一元一次不等式组．
【分析】（1）解方程组即可得出方程组的解，
（2）由方程组的解是一对正数，列出不等式组求解即可．
（3）利用m的取值范围求解．
【解答】解：（1）解方程组得，
（2）∵方程组的解是一对正数．
∴解得＜m＜4．
（3）∵＜m＜4．
∴|m﹣4|+|m+1|=4﹣m+m+1=5．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，解题的关键是利用解是一对正数求出m的取值范围．
26．（12分）为了更好地治理水质，保护环境，我县污水处理公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备可供选择，月处理污水分别为240m3/月、200m3/月，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）若污水处理公司购买设备的预算资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
（2）若每月需处理的污水约2040m3，在不突破资金预算的前提下，为了节约资金，又要保证治污效果，请你为污水处理公司设计一种最省钱的方案．
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设每台A型设备和每台B型设备各需要x万元、y万元，由题意得：买一台A型设备的价钱﹣买一台B型设备的价钱=2万元；购买3台B型设备﹣购买2台A型设备比=6万元．根据等量关系列出方程组，解方程组即可；再设应购置A型号的污水处理设备a台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣a）台，由于要求资金不能超过105万元，即购买资金12a+10（10﹣a）≤105万元，根据不等关系列出不等式，再解不等式，求出非负整数解即可；
（2）再设应购置A型号的污水处理设备m台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣m）台，由于要求资金不能超过105万元，即购买资金12m+10（10﹣m）≤105万元，再根据“每台A型设备每月处理污水240吨，每台B型设备每月处理污水200吨，每月处理的污水不低于2040吨”可得不等关系：240m+200（10﹣m）≥2040吨；把两个不等式组成不等式组，由此求出关于A型号处理机购买的几种方案，分类讨论，选择符合题意得那个方案即可．
【解答】解：（1）设每台A型设备和每台B型设备各需要x万元、y万元，由题意得：
，
解得．
设应购置A型号的污水处理设备a台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣a）台，
12a+10（10﹣a）≤105，
解得：a≤2.5，
∵a为非负整数，
∴a=0，1，2，
购买方案：①A型设备1台，B型设备9台；②A型设备2台，B型设备8台；③A型设备0台，B型设备10台；
（2）设应购置A型号的污水处理设备m台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣m）台，
由题意得：，
解得：1≤m≤2.5，
∵m为整数，
∴m=1，2，
则B型购买的台数依次为9台，8台；
∵A型号的污水处理设备12万元一台，比B型的贵，
∴少买A型，多买B型的最省钱，
故买A型1台，B型9台，
答：该公司购买方案A型设备1台，B型设备9台第一种方案最省钱．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的关键语句，列出方程和不等式．
单元测试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）如果不等式ax＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0
2．（3分）若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（ ）
A．a＜1＜ B．a＜＜1 C．＜a＜1 D．1＜＜a
3．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m=3
4．（3分）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的取值是（ ）
A．0 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．x＜4或x≥﹣2 C．﹣2≤x＜4 D．﹣2＜x≤4
7．（3分）已知ab=4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4 B．a≥﹣2 C．﹣4≤a≤﹣1 D．﹣4≤a≤﹣2
8．（3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）王老师带领学生到植物园参观，门票每张5元，购票才发现所带的钱不足，售票处工作人员告诉他：如果参观人数50人以上（含50人），可以按团体票享受8折优惠，于是王老师买了50张票，结果发现所带的钱还有剩余，那么王老师和他的学生至少有（ ）人．
A．40 B．41 C．42 D．43
10．（3分）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（3分）一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是 ．
12．（3分）不等式2（x﹣3）≤2a+1的自然数解只有0、1、2三个，则a的取值范围是 ．
13．（3分）不等式组的解集是x≤3，那么a的取值范围 ．
14．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 ．
15．（3分）不等式的最小整数解是 ．
16．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围是 ．
17．（3分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2012= ．
18．（3分）已知不等式组，x的整数解是1、2、3，则最大整数解b和最小整数a的差为 ．
19．（3分）若不等式组的解集是空集，则a，b的大小关系是 ．
20．（3分）已知关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是 ．
三、解答题：（共60分）
21．（8分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来并写出非负整数解．
22．（8分）如果关于x的不等式组整数解仅为1、2、3，那么适合条件的有序整数对（a，b）共有多少个？
23．（10分）奥运会期间，某旅行社组团去北京观看某场足球比赛，入住某宾馆．已知该宾馆一楼房间比二楼房间少5间，该旅游团有48人，若全部安排在一楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满．若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则有房间没住满．你能根据以上信息确定宾馆一楼有多少房间吗？
24．（10分）附加题：某校组织部分师生到甲地考察，学校到甲地的全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案供选择：方案1：所有师生按票价的88%购票；方案2：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．你若是组织者，请你根据师生人数讨论选择哪种方案更省钱？
25．（12分）已知关于x、y的方程组，且它的解是一对正数．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m﹣4|+|m+1|．
26．（12分）为了更好地治理水质，保护环境，我县污水处理公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备可供选择，月处理污水分别为240m3/月、200m3/月，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）若污水处理公司购买设备的预算资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
（2）若每月需处理的污水约2040m3，在不突破资金预算的前提下，为了节约资金，又要保证治污效果，请你为污水处理公司设计一种最省钱的方案．
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）如果不等式ax＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0
【考点】C3：不等式的解集．
【分析】根据不等式的解集中不等号的方向不变进而得出a的取值范围．
【解答】解：∵不等式ax＜b的解集是x＜，
∴a＞0，
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出a的符号是解题关键．
2．（3分）若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（ ）
A．a＜1＜ B．a＜＜1 C．＜a＜1 D．1＜＜a
【考点】C2：不等式的性质．
【分析】代入一个特殊值计算比较即可．
【解答】解：当a=0.5时，=2，故选A．
【点评】代入特殊值进行比较可简化运算．
3．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m=3
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【专题】11 ：计算题．
【分析】先解不等式组，然然后根据不等式的解集，得出m的取值范围即可．
【解答】解：，
解①得，x＞3；
解②得，x＞m，
∵不等式组的解集是x＞3，
则m≤3．
故选A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据的法则是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
4．（3分）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的取值是（ ）
A．0 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】11 ：计算题．
【分析】首先根据不等式的性质，解出x≤，由数轴可知，x≤﹣1，所以，=﹣1，解出即可；
【解答】解：不等式2x﹣a≤﹣1，
解得，x≤，
由数轴可知，x≤﹣1，
所以，=﹣1，
解得，a=﹣1；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，并求出其公共解集，在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x≥1；
由②得，x＜2，
故此不等式组的解集为：1≤x＜2．
在数轴上表示为：
故选D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集及解一元一次不等式组，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
6．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．x＜4或x≥﹣2 C．﹣2≤x＜4 D．﹣2＜x≤4
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
解①得：
x≥﹣2，
解②得：
x＜4，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜4，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）已知ab=4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4 B．a≥﹣2 C．﹣4≤a≤﹣1 D．﹣4≤a≤﹣2
【考点】C2：不等式的性质．
【分析】根据已知条件可以求得b=，然后将b的值代入不等式﹣2≤b≤﹣1，通过解该不等式即可求得a的取值范围．
【解答】解：由ab=4，得
b=，
∵﹣2≤b≤﹣1，
∴﹣2≤≤﹣1，
∴﹣4≤a≤﹣2．
故选D．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．（3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】11 ：计算题．
【分析】先得出点M关于x轴对称点的坐标为（1﹣2m，1﹣m），再由第一象限的点的横、纵坐标均为正可得出关于m的不等式，继而可得出m的范围，在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m），
又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：．
故选：A．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识，及关于x轴对称的点的坐标的特点，根据题意得出点M对称点的坐标是解答本题的关键．
9．（3分）王老师带领学生到植物园参观，门票每张5元，购票才发现所带的钱不足，售票处工作人员告诉他：如果参观人数50人以上（含50人），可以按团体票享受8折优惠，于是王老师买了50张票，结果发现所带的钱还有剩余，那么王老师和他的学生至少有（ ）人．
A．40 B．41 C．42 D．43
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【分析】首先设王老师和他的学生共有x人，由题意得：5×人数＞5元×8折×人数，根据不等关系列出不等式，再解不等式即可．
【解答】解：设王老师和他的学生共有x人，由题意得：
5x＞5×80%×50，
解得：x＞40，
因此至少有41人，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出不等式．
10．（3分）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】根据已知得出关于m的不等式，求出即可．
【解答】解：∵x的不等式组无解，
∴m+1≤3﹣m，
解得：m≤1，
故选D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式．
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（3分）一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是 ﹣2＜b＜3 ．
【考点】F5：一次函数的性质．
【分析】将x=1时，y＜1及x=﹣1时，y＞0分别代入y=﹣2x+b，得到关于b的一元一次不等式组，解此不等式组，即可求出b的取值范围．
【解答】解：由题意，得，
解此不等式组，得﹣2＜b＜3．
故答案为﹣2＜b＜3．
【点评】本题考查了一次函数的性质，将已知条件转化为一元一次不等式组是解题的关键．
12．（3分）不等式2（x﹣3）≤2a+1的自然数解只有0、1、2三个，则a的取值范围是 ﹣1.5≤a＜﹣0.5 ．
【考点】C7：一元一次不等式的整数解．
【分析】首先求得不等式的解集，然后根据不等式的自然数解只有0、1、2三个，即可得到一个关于a的不等式，从而求得a的范围．
【解答】解：解不等式得：x≤a+3.5．
不等式的自然数解只有0、1、2三个，则自然数解是：0，1，2．
根据题意得：2≤a+3.5＜3，
解得：﹣1.5≤a＜﹣0.5．
故答案为﹣1.5≤a＜﹣0.5．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
13．（3分）不等式组的解集是x≤3，那么a的取值范围 a＞1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式的同小取小列出不等式，然后求解即可．
【解答】解：，
解不等式②得，x≤3，
∵不等式组的解集是x≤3，
∴2a+1＞3，
解得a＞1，
∴a的取值范围a＞1．
故答案为：a＞1．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
14．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 m≤3 ．
【考点】C3：不等式的解集．
【专题】2B ：探究型．
【分析】根据“同大取较大”的法则进行解答即可．
【解答】解：∵不等式组的解集是x＞3，
∴m≤3．
故答案为：m≤3．
【点评】本题考查的是不等式的解集，熟知“同大取较大”的法则是解答此题的关键．
15．（3分）不等式的最小整数解是 x=3 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据x是整数得出最小整数解．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＞2，
所以不等式组的解集为x＞2，
所以最小整数解为3．
故答案为：x=3．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
16．（3分）若不等式组无解，则a的取值范围是 a≥2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】根据“大大小小找不到（无解）”的法则求解，但是要注意当两数相等时，解集也是空集即无解，不要漏掉相等这个关系．
【解答】解：不等式组无解，
根据大大小小找不到（无解）可知：2a﹣1≥a+1，
解得a≥2．
故答案为：a≥2．
【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．但是要注意当两数相等时，解集也是空集即无解，不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
17．（3分）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2012= 1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【专题】11 ：计算题．
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据解集列出方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：，
解不等式①得，x＜，
解不等式②得，x＞a+2，
所以，不等式组的解集是a+2＜x＜，
∵不等式组的解集是﹣1＜x＜1，
∴a+2=﹣1，=1，
解得a=﹣3，b=2，
∴（a+b）2012=（﹣3+2）2012=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，根据不等式组的解集列出关于a、b的方程是解题的关键．
18．（3分）已知不等式组，x的整数解是1、2、3，则最大整数解b和最小整数a的差为 30 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得a、b的取值范围，得出答案即可．
【解答】解：不等式组
解集为≤x≤，
因为整数解为1、2、3，所以0＜≤1，3≤＜4，即0＜a≤9，24≤b＜32；
所因此b的最大整数为31，a的最小整数为1，差为31﹣1=30．
故答案为：30．
【点评】此题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（3分）若不等式组的解集是空集，则a，b的大小关系是 a≤b ．
【考点】C3：不等式的解集．
【分析】因为不等式组的解集是空集，利用不等式组解集的确定方法即可求出答案．
【解答】解：∵不等式组的解集是空集，
∴a≤b．
故答案为：a≤b．
【点评】本题考查由不等式组解集的表示方法来确定a，b的大小，也可以利用数轴来求解．
20．（3分）已知关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是 ﹣4＜a≤﹣3 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥a，
解不等式②，得x＜2，
∵不等式组有5个整数解，即：1，0，﹣1，﹣2，﹣3，
∴﹣4＜a≤﹣3，
故答案为：﹣4＜a≤﹣3．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围．
三、解答题：（共60分）
21．（8分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来并写出非负整数解．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】11 ：计算题．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣1；
由②得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4，即不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（8分）如果关于x的不等式组整数解仅为1、2、3，那么适合条件的有序整数对（a，b）共有多少个？
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组的解，得出关于a、b的不等式组，求出整数a、b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵解不等式9x﹣a≥0得：x≥，
解不等式8x﹣b＜0得：x＜，
∴不等式组的解集是≤x＜，
∵关于x的不等式组整数解仅有1，2，3，
∴0＜≤1，3＜≤4，
解得：0＜a≤9，24＜b≤32，
即a的值是1，2，3，4，5，6，7，8，9，
b的值是25，26，27，28，29，30，31，32，
即适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有72个．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出a、b的值．
23．（10分）北京奥运会期间，某旅行社组团去北京观看某场足球比赛，入住某宾馆．已知该宾馆一楼房间比二楼房间少5间，该旅游团有48人，若全部安排在一楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满．若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则有房间没住满．你能根据以上信息确定宾馆一楼有多少房间吗？
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【专题】12 ：应用题．
【分析】本题可设1楼有x间房，则2楼有x+5间房，再根据题意可列出不等式：4x＜48，5x＞48，且3（x+5）＜48，4（x+5）＞48，再分别计算出x的取值，在数轴上表示出来，看相交的部分有哪些即为答案．
【解答】解：
设1楼有x间房，则2楼有x+5间房，
根据题意有：4x＜48，x＜12，
5x＞48，x＞9.6，
且3（x+5）＜48，即x＜11，
4（x+5）＞48，x＞7．
在数轴上可表示为：
所以9.6＜x＜11
因此x=10
答：一楼有10间房．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要结合数轴来判断．
24．（10分）附加题：某校组织部分师生到甲地考察，学校到甲地的全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案供选择：方案1：所有师生按票价的88%购票；方案2：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．你若是组织者，请你根据师生人数讨论选择哪种方案更省钱？
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【专题】22 ：方案型．
【分析】方案1的收费=师生人数×25×88%，方案2的收费=20×25+（师生人数﹣20）×25×80%，将两者的收费进行比较，从而可根据师生人数确定选择何种方案．
【解答】解：设师生人数为x人，
则按方案1：收费为25×88%•x=22x
按方案2收费为：25×20+25（x﹣20）80%=20x+100
答：（1）由22x＜20x+100得x＜50，即当师生人数＜50人时，选择方案1更省钱；
（2）由22x=20x+100得x=50，即当师生人数等于50人时，两种方案所需的费用一样多；
（3）由22x＞20x+100得x＞50，即当师生人数＞50人时，选择方案2更省钱．
【点评】本题主要是根据师生人数选择确定选择方案．方案设计的问题是中考数学中就可以．
25．（12分）已知关于x、y的方程组，且它的解是一对正数．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m﹣4|+|m+1|．
【考点】97：二元一次方程组的解；CB：解一元一次不等式组．
【分析】（1）解方程组即可得出方程组的解，
（2）由方程组的解是一对正数，列出不等式组求解即可．
（3）利用m的取值范围求解．
【解答】解：（1）解方程组得，
（2）∵方程组的解是一对正数．
∴解得＜m＜4．
（3）∵＜m＜4．
∴|m﹣4|+|m+1|=4﹣m+m+1=5．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，解题的关键是利用解是一对正数求出m的取值范围．
26．（12分）为了更好地治理水质，保护环境，我县污水处理公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备可供选择，月处理污水分别为240m3/月、200m3/月，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
（1）若污水处理公司购买设备的预算资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
（2）若每月需处理的污水约2040m3，在不突破资金预算的前提下，为了节约资金，又要保证治污效果，请你为污水处理公司设计一种最省钱的方案．
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设每台A型设备和每台B型设备各需要x万元、y万元，由题意得：买一台A型设备的价钱﹣买一台B型设备的价钱=2万元；购买3台B型设备﹣购买2台A型设备比=6万元．根据等量关系列出方程组，解方程组即可；再设应购置A型号的污水处理设备a台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣a）台，由于要求资金不能超过105万元，即购买资金12a+10（10﹣a）≤105万元，根据不等关系列出不等式，再解不等式，求出非负整数解即可；
（2）再设应购置A型号的污水处理设备m台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣m）台，由于要求资金不能超过105万元，即购买资金12m+10（10﹣m）≤105万元，再根据“每台A型设备每月处理污水240吨，每台B型设备每月处理污水200吨，每月处理的污水不低于2040吨”可得不等关系：240m+200（10﹣m）≥2040吨；把两个不等式组成不等式组，由此求出关于A型号处理机购买的几种方案，分类讨论，选择符合题意得那个方案即可．
【解答】解：（1）设每台A型设备和每台B型设备各需要x万元、y万元，由题意得：
，
解得．
设应购置A型号的污水处理设备a台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣a）台，
12a+10（10﹣a）≤105，
解得：a≤2.5，
∵a为非负整数，
∴a=0，1，2，
购买方案：①A型设备1台，B型设备9台；②A型设备2台，B型设备8台；③A型设备0台，B型设备10台；
（2）设应购置A型号的污水处理设备m台，则购置B型号的污水处理设备（10﹣m）台，
由题意得：，
解得：1≤m≤2.5，
∵m为整数，
∴m=1，2，
则B型购买的台数依次为9台，8台；
∵A型号的污水处理设备12万元一台，比B型的贵，
∴少买A型，多买B型的最省钱，
故买A型1台，B型9台，
答：该公司购买方案A型设备1台，B型设备9台第一种方案最省钱．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的关键语句，列出方程和不等式．
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