江西省2023届高三第一次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

江西省2023届高三第一次模拟考试数学（文）试卷

学校:___________姓名：___________班级：______________

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．复数的共轭复数为，则（    ）

A． B． C．6 D．8

3．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ）

第1行78  16  62  32  08  02  62  42  62  52  53  69  97  28  01  98

第2行32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81

A．19 B．25 C．26 D．27

4．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝Acosωx的图象，只需把y＝f（x）的图象上所有的点（　　）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

5．若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　）

A． B．

C． D．

6．函数，则=（    ）

A． B．0 C． D．2

7．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．或

8．某四棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（    ）

A． B． C． D．

9．在内任取一个实数，设，则“函数有零点"的概率等于（    ）

A． B． C． D．

10．设同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，现有下述四个结论：

①，则

②，则

③，则的取值范围是

④，则的取值范围是

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

11．已知函数部分图象如图所示，且的面积是面积的2倍，则函数的单调递减区间为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

12．已知函数，若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．直线ax＋y－1＝0与直线2x＋3y－2＝0垂直，则实数a的值为_________.

14．下列命题中，真命题的序号是___________.

①已知函数满足，则函数：

②从分别标有的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，则摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率是；

③用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是；

④的二项展开式中，共有3个有理项.

15．已知函数，则______．

16．正方体的棱长为，为的中点，为线段的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的序号是_________.

①当时，的面积为；        

②当时，为六边形；

③当时，与的交点满足；    

④当时，为等腰梯形；

⑤当时，为四边形.

三、解答题

17．已知数列各项均为正数，且．

(1)求的通项公式

(2)设，求．

18．如图，三棱柱中，是的中点，.

(1)证明：平面；

(2)若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积.

19．近年来，“双11网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11当天的交易额，统计结果如下表：

（1）根据上表数据，计算与的线性相关系数，并说明与的线性相关性强弱．(已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性般；，则认为与线性相关性较弱．)

（2）求出关于的线性回归方程，并预测2021年该网站“双11"当天的交易额．

参考数据：，参考公式：，

20．已知椭圆：的左右焦点分别为，，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于，两点，当倾斜角为时，是椭圆的上顶点，且的周长为6.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.

21．已知函数.

(1)若曲线与直线相切，求a的值；

(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，在第一象限，求．

23．已知，，且.

(1)求的最大值；

(2)若恒成立，求的取值范围.

参考答案

1．B

【分析】解出集合，再根据交集的概念得出结果.

【详解】解：因为，

所以.

故选：B

2．A

【分析】由复数乘方运算及共轭复数概念写出，进而求模.

【详解】由题意，，而，

所以，则.

故选：A.

3．B

【分析】利用随机数表法列举出样本的前个个体的编号，由此可得出结论.

【详解】由随机数表法可知，样本的前个个体的编号分别为、、、、，

因此，选出的第个个体的编号为.

故选：B

4．B

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【详解】根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1， ，∴ω＝2．

再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，∴函数f（x）＝sin（2x+）．

故把y＝f（x）的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x++）＝cos2x＝g（x）的图象.

故选B．

【点睛】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.

5．B

【分析】由题得，解方程即得解.

【详解】由题得抛物线的准线方程为

到准线的距离等于它到焦点的距离，则，所以，

故抛物线方程为，

故选：B．

6．D

【分析】先计算出，再计算的值.

【详解】，故.

故选：D

7．C

【分析】由，利用二倍角的正弦公式和商数关系求得，再利用二倍角的余弦公式和商数关系求解.

【详解】解：，

，

，

即，

解得或，

因为，

所以，

所以，

，

.

故选：C

8．C

【分析】根据给定的三视图还原四棱锥，再利用锥体体积公式计算即得.

【详解】如图，作出棱长为的正方体，其中为所在棱的中点，则图中的四棱锥为题中所给三视图还原成的四棱锥，

四棱锥的底面是直角梯形，面积为，其高为，于是得，

所以所求体积为2.

故选：

9．A

【分析】由判别式求得的范围，然后根据区间长度比可得概率.

【详解】由解得或，又，所以使函数有零点的的取值范围为，由区间长度比可得.

故选：A

10．D

【分析】设，结合椭圆双曲线定义可得，当，可得，进而求出；当时，可得，进而，即可求出范围.

【详解】如图，设，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得.

当时，则，所以，

即，由离心率的公式可得，故②正确.

当时，可得，即，可得，

由，可得，可得，即，则，

可设，则，

由在上单调递增，可得，则，故④正确.

故选：

【点睛】关键点睛：本题考查椭圆双曲线离心率的求解，解题的关键是根据已知条件结合定义正确得出关系式.

11．B

【分析】根据题意和图象求得函数的解析式为，利用整体代换法即可求出函数的单调递减区间.

【详解】由图象可知，，

令，则，即，

因为，由，得，

所以，由，得；

又函数图象过点，则，

得，解得，

又函数的最小正周期满足，

即，所以，当时，满足题意，

所以，

由，，得，，

故函数的单调递减区间为，，

故选：B.

12．A

【分析】根据条件先分析的结果，由此确定出的奇偶性和单调性，再将问题转化为“已知，求解的取值范围”，根据单调性列出关于的不等式并求解出结果.

【详解】由题可知且

，

，

令，则且定义域为关于原点对称，即为奇函数，

函数与在上均单调递增，

与在上单调递增，

在上单调递增，即在上也单调递增且，

又为奇函数，在上单调递增，

不等式等价于，

，

在R上单调递增，

，

解得，

实数a的取值范围是，

故选：A.

【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路：

（1）利用奇偶性将不等式变形为；、

（2）根据单调性得到与的大小关系；

（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.

13．

【解析】由直线垂直的条件列式求解．

【详解】直线与直线垂直，

故，，

故答案为：.

14．②③

【分析】利用换元法求得函数的解析式，要注意定义域，由此判断①；根据古典概型的计算公式求得摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率，判断②；写出和时不等式左边的式子，比较可判断③；利用二项式展开式的通项公式，根据x的指数是否为整数可判断出有理项，判断④.

【详解】对于①，令 ，故，

即，故①不是真命题；

对于②，从分别标有的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，球上数字共有 种可能，其中两个球上数字奇偶性相同的可能为 种，故所求概率为 ，故②正确，是真命题；

对于③，用数学归纳法证明“”，

当时，不等式左边为，

当时，不等式左边式子应为，

故应添加的项是 ，故③是真命题；

对于④，二项式展开式的通项公式为：

，

当 时， 为有理项，共有四项，故④错误；

故答案为：②③

15．4043

【分析】根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解.

【详解】由题意，函数，

可得

，

设，

则

两式相加，可得

，

所以.

故答案为：.

16．①③④⑤

【详解】如图，当时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，故④正确；

由上图当点Q向C移动时，满足，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故⑤正确；

③当CQ=时，如图，

延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；

②由③可知当时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；

①当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为，故正确．

故答案为①③④⑤．

17．(1)

(2)

【分析】（1）由题知，进而得为等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可；

（2）结合（1），根据分组并项求和法求即可.

【详解】（1）解：因为

所以，，

因为数列各项均为正数，即，

所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为.

所以

（2）解：由（1）知，其公差为，

所以，

所以，

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据是的中点得到，利用线面垂直的判定得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定即可证明；

（2）根据线面垂直的判定得到平面，进而得到面面垂直，利用面面垂直的性质，过点作于点，进而得到平面，求出所需的各边长，进而计算即可求解.

【详解】（1）因为是的中点，

所以，因为，平面，

所以平面，又平面，

所以，

因为是的中点，所以，

又因为，平面，

所以平面.

（2）由（1）知，平面，

所以平面，因为，所以，

取的中点，连接，

可得，所以平面即为平面，又平面，

所以平面平面，

过点作于点，则平面，

所以，

在三棱柱中，四边形为平行四边形，

所以，因为，

所以，所以，所以，

又因为，所以，.

因为平面，

所以

因为，所以.

19．（1）；变量与的线性相关性很强；（2）；可预测2021年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元．

【分析】（1）首先根据表中数据求出，再求出相关系数即可判断线性相关性的强弱.

（2）利用最小二乘法求出线性回归方程，再将代入回归方程即可求解.

【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，

可得，，

因为，所以变量与的线性相关性很强．

（2）．

可得关于的线性回归方程为

令，可得y=37.1，

即可预测2021年该网站“双11”当天的交易额数约为37.1亿元．

20．(1)

(2)为定值

【分析】（1）当倾斜角为时，求出直线的方程，令，求出，即可求出，再根据的周长及求出、，即可得解；

（2）由题设可得，设点，的方程设为，利用相切条件可得，联立直线方程可求的坐标，从而可判断在椭圆上，从而可证为定值.

【详解】（1）解：当倾斜角为时，直线为，

令，得，即椭圆的上顶点为，所以，

又的周长为，即，又，解得，，

所以椭圆的方程为 .

（2）解：由（1）可知，，，

因为过与圆相切的直线分别切于、两点，所以，

所以，

设点，则，圆的半径为，

则直线的方程为，

的方程设为，则，化简得，

由，解得，所以点

，所以点在椭圆上，

∴，即．

21．(1)

(2)

【分析】（1）求出函数导数，令求得切点即可得出方程，比较可得出答案；

（2）构造函数，利用导数讨论的单调性，根据函数值变化可得.

【详解】（1）的定义域为，.

令，得，又，

所以曲线的斜率为1的切线为，

由题意知这条切线即，故.

（2）存在，使得成立，即存在，使得成立.

设，则.

设，则.

当时，，当时，，

所以.

若，则，即，所以单调递增，

故当时，，不符合题意.

若，，，

所以存在，使得，

当时，，即，在上单调递减，

所以当时，，符合题意.

综上可知，的取值范围是.

22．（1）；（2）．

【分析】（1）先对曲线的参数方程化简转化为普通方程，然后再利用直角坐标与极坐标的关系，将其化为极坐标方程；

（2）将直线的直角坐标方程化为极坐标方程，然后代入曲线的极坐标方程中，可得，而在第一象限，在第三象限，从而可求出的长

【详解】⑴化简曲线的参数方程得，（为参数，且，）

消去参数得曲线的普通方程

化成极坐标方程为，

∴

（2）易知直线极坐标方程为，代入．得：，

而在第一象限，在第三象限，因此：

【点睛】关键点点睛：此题考查参数方程和极坐标的有关知识，解题的关键是正确理解极坐标的几何意义，利用几何意义求的长，考查计算能力，属于中档题

23．(1)

(2)

【分析】（1）由可直接求得结果；

（2）将不等式化为，由，利用基本不等式可求得结果.

（1）

，，，（当且仅当时取等号），

的最大值为.

（2）

恒成立，，，恒成立；

（当且仅当，即，时取等号），

，即的取值范围为.